RII_OCR[1]

3.1. х

2

2

u

+у2д

2

и, =

О

U =..!L.

+2ху д

2д2и

.

дх

дхду

ду2

'

х

3.2. x~и +удаи = 3(х

З

_

уЗ), u = ln ~ +х

з

_

уЗ.

ах

у

у

3.3. дд2~ +дд2~

= о, U = ln (х2 +(у+ 1)2).

.

Х

у

,

3.4. удд2ди

=

(l

+у ln х)дд

и

"

u =

)СУ.

Х У

Х

3.5. хди

+уди

=

2и

,

u

ху

дх

ду

=x-:ry:

3.6. х2д2и

+у2д2и

=

о,

U =

еХУ.

дх2

ду2

3.7. а2д2и

=

д2~,

U =

sin 2 (х -ау).

дх2

ду

3.8. х2д2и

_

у2

д2и

=

о,

U =

у- ГУ.

дх2

ду2

--ух

д2

и

д2

и

д

2

и

о,

U =г=:===:===::

3.9. -2 +-2 +-2 =

дх

ду

az

-VX2

+у2

+ Z2

3.10. а2д2и = д2и,

U =

e-cos(x + ау).

дх2 .

ду2

'3.11. ~~ +~:+~~ =

о,

u = (х -

у)(у - z)(z -

х).

3.12. х

и

+

и

=

и,

u

=

х ln ..!L .

дх

удд

у

х

3.13. y~~ -

x~: =

о,

и= ln (х2 +у2).

3.14. х2'Ш-

xy~:+ у2=

о,

U = f; +arcsin (ху).

3.15. х

2д2и

2ху д

и

+

у2д

и + 2ху,

u = о,

Ч

2 _

u = е

2

2

дх

дхду

ду2

1

д2и

"0

t

х +у

3.6.

-д

=

, и=агс

g-l--'

х У

-ху

д2

и

д2и

2

.

2

.

3.17. -2+-2-0, u=ln(x

+у

+2x+l).

дх

ду

ди

ди

О

,

2х+3у

3.18. х-+у-+и=

и=--.

дх

ду

х2

+у2

233

3.19. (~)2+(~:)2+(~~)2=

1, u=-../X2 +!I+Z2•

3.20. х

и

и

2и, u =

(х2 +.у2) tg ~.

дх

+удд

=

у

у

д2

и

д и

u=e-(Х+3У)siп(х+Зу).

3.21.9-2 +-2 =0,

дх

ду

3.22. х

2д2ц

2

2

и =

О и'- хеУ/Х.

дх

2

+2ху д

и +у2д

дхду

ду2

'

д и

д и

У

3.23. -2 +-2

=0, u=arctg-.

дх

ду

.

х

3.24: х

и

и

О, u

= arctg ~.

дх

+удд

=

у

.

у

3~25. ди

д2и _

ди д2и, =

О,

U =

ln (х +е-У).

дх дхду

ду дх2

ди

ди

О

.

х

3.26• х- +у-д =

, u=агсslЛ--.

дх

у

х+у

3 27

I

ди

I

ди

u

u

у

. .

х дх

+У ду = у2'

(х2 _у2)5•

3.28. ди + ди = х+у ,

u =х2 +у2.

дх

ду

х-у

х-у

3.29. ди +ди = 2у,

u =-V2xy +у2.

дх

ду

u

3 30

д2и

д2и

=

О

1 (2

2)

.

дх

ду

, и= п х -у

•• - 2 -- 2

4. Исследовать на экстремум следующие функции.

4.1.

z=y-;;_;у2_Х

+ 14у. (отве:: Zmax(~,

4)

28.)

4.2.

Z =

х

+8у -

6ху + 5.

(Ответ.

Zmiп(I,

0,5) -- 4.)

4.3. Z:- 1 + 15х -

2х2 -

ху -

2у2.

(Ответ:

Zmax( -4,

-1)= -97.)

4.4. z= 1 +6х-х2-ху_ у2. (Ответ: Zma~{4, -2)=

=

13.)

х3 +у2 - 6ху -

39х + 18у +20. (Ответ: Zmin(5,

4.5.

Z =

6)= -86.)

.

4.6.

z=2x3+2y 3_6xy+5. (Ответ: Zmiп(I,

1)=3.)

4.7.

Z =

3х

3 +3у3 -

9ху +

10. (Ответ: Zmiп(l,

1) =

7.)

4.8.

Z = х2

+ху +у2 +

х -

у + 1. (Ответ: ZrJlln( -1, 1)=

=

О.)

Z =

4(х - у) -

2

2

~OTвeT:

.'

-2) =

8.)

4.9.

х -

у.

zmax(2,

4.10.

Z = 6(х - у) -

3х2 -

3у . (Ответ: Zmax(l,

-1) = 6.)

234

4.11. Z = х2 +ху +у2 -	6х9у. (Ответ: Zmiп(1,	4) '.,-
= -21.)	'.	.

4.12.z=(x-2)2+2~2-10. (Ответ: Zmiп(2, 0)= -10.)

4.13.z=(X-5)2+ у + 1. (Ответ: Zmiп(5, 0)= 1.)

4.14.z=хЗ +уЗ_3ху. (Ответ: Zmiп(l, 1)= -1.)

	4.15. Z = 2ху -			2х2 - 4у2. (Ответ: Zrлах(О,			О) = о.)
	4.16. z=x-VY-x2-y+6x+3. (Ответ: zmax(4, 4)=
=	15.)			.
	4.17. Z = 2ху -			5х2 - 3у2 +2. (Ответ:		Zmax (О,		0).= 2.)
	4.18. z=xy(12-x-y). (Ответ: zmax(4, 4)=64.)
	4.19. z=xy-x2_				y 2+9. (Ответ: Zrлах(О, 0)=9.)
=	10.)			.	+ 10. (Ответ:		Zmax(O, О) =
			+		6ху + 1. (Ответ:	Zmiп(l;		0,5) = о.)
	4.21. Z = х	З		8уЗ -
	4.22. z=y-J;- y 2- x +6y. (Ответ:					Zmax(4,		4)=12.)
	4.23. Z =х2 -			ху +у2 + 9х - 6у+ 20. (Ответ: Zriliл(-4,
1)=-1.)
	'4.24. z=xy(6"2x-y). (Ответ: zmax(2, 2)=8.) .
	4.25. Z = r		+	у -ху + х +у. (Ответ: Zmiп( -1, -1) =
=	-1.)				.

2. 2

4.26.z=x +ху+у -2х-у. (Ответ: Zmiп(I, 0)=

=-1.)

4.27.z=(x-I)2+2y2. (Ответ: Zmiп(l, O}=O~)

. 4.28. Z = x~ - Зх2 - 2м2. (Ответ: Zmax(O, .оу='0.)

4.29. z=x +3(y+2~. (О2твет: Zmiп(О, -2)=0.)

4.30. Z = 2(х +у) - х - у. (Ответ: zmax(l, 1) =2.)

5. Найти наибольшее и наменьшее значения функции

Z = z(x, у) в области Ь, ограниченной заданными линиями.

, . 5.1.			z=3x+y-xy, Ь: у=х, у=4, х=О.(Ответ:
ZнаНб(2,			2) = 4,		ZHaH" (О, О) =		z(4,	4) =	о.)
	5.2. z=xy-x-2y, Ь: х=3, у=х.. у=О. (ответ:
ZнаНб(О,			О) = z(3, 3) =			О, ZHaH"(3'		О).:	- 3.) .		.
.	5.3.		z=x2 +2xg-4х+8у,D: х==о,								x=l: у=О,
у=2. (Ответ: ZнаИб(l, 2)= 17, Zнаи.. (I, 0)= -3.)
	5.4.-		z::::5x2-3xy+y2,				Ь: х=о, Х= 1,				у=О, у= 1.
(Ответ:			Zиаllб(l,		О) = 5, ZHaH"(O, 0)..:- о.)
	5.5., z=x2+2.xy_ g2_4x,							D:	х-у+ 1 =0, х=3,
g =	о. (Ответ: ZнаНб(3,					3) =	6, Zнаи.. (2,О) = -4.)
	5.6.		Z = х2	+у2 -		2х -	2у + 8, D: х =			О, У = О, х + у -
-	1 = о. (Ответ: ZнаНб(О, О) = 8,							Zиан.. (0,5;		0,5) = 6,5.)
•	5.7.	.	z=2x	З	2'		-	.			у=О, у=6.
					-ху +у,		D: х=о, Х= 1,
(Ответ:			ZнаНб(О,		6) = 36, ZHaH"(O,			О) =	о.)

235

5.8. z=3x+6y-x2-xy_ y2, Ъ: х=о, Х= 1", у=О,

у= 1. (Ответ: ZиаИб(l, 1)=6, Zиаи.. (О, 0)=0.)

5.9. z=x2- 2y2+4xy-6x-l, Ъ: х=о, у=О, х+
+ у - 3 = б. (Ответ: ZнаНб(О, О) = -1,		Zнаи.. (О,		3) =	-19.)
. 5.10.	Z = х2 + 2ху - 10, Ь; у = О,	У =	х2 -	4.	(Ответ:
Zнанб( -	~, - ;) = - ~;, ~HaH.. (l, -3) =		-15.)

5.11. z=xy-2x-y, D: х=о, х=3, у=О, у=4.

(Ответ: ZнаИб(3, 4) = 2, Zиан,,(3, О) = - 6:)

5.12. Z = -}х2 - ху, D: у = 8, у -.:. 2х2. (Ответ: ZнаИб(-2,

8) = 18, Zиаим(2, 8) = -14.)

5..13. z=3x2+3y2_2x-2y+2, D: х=о, у=О,

х +у -

1 =0. (Ответ:

ZиаИб(О,

1) =

z(l, О) = 3, Zнаим({-,

~)=~)

3

з'

5.14.

z=2x2+3y 2+ 1,

Ъ:

y=-.

J9-: х2

,

у=о.

(Ответ:

ZиаНб(О, 3) = 28,

ZHaH"(O,

О) =

1.)

5.15.

z=x2 -2ху-у2 +4х+ 1,

-D: х= -3,

у=О,

х+у+ 1 =0. (Ответ:

ZнаНб(-3,' 2)=6,

Zhahm(-2,

0)=

= -3.)

3х2 + 3у2 -

у + 1,

-D:

5.16. Z =

х -

х =

5, у =

О,

х-

-

у - 1 = О.

(Ответ: ZнаНб(5,

4) = 115,

ZHaH.. (l, О) =

3.)

212 -

5.17.z=2x +2ху-ту -4х, D:y=2x,y=2,x=0.

(Ответ: ZН!lIiб(О, O)=z(l, 2)=0, ZHaH"(O, 2)= -2.)

5.18. z=x2 -2ху+ту5 2 -2х, -D: х=о, х=2, у=О,

У = 2.

(Ответ:

Zнаиб(О, 2) = 10,

zнаи.. ( ~,

;) =

-1,67.)

5.19.

Z =

ху -

3х -

2у,

Ь: х =

о,

х =

4, У =

О, У =

4.

(Ответ:

ZнаИб(О, О) = О,

Zнаи.. (4, О) =

-12.)

. 5.20.

Z =х2 +ху -

2,

Ь: у =

4х2 _ 4,

У =

О. (Ответ:

ZиаИб(-

~,

-

2,22) =

- 0,07, Zнзи"(0,5,

- 3) =

- з,25-)

5.21. z=x2y(4-x-y): D: х=о, у=о,

у=6-х.

(Ответ: ZиаИб(2,

1) = 4,

ZHaH"('1, 2) =

-64.)

.

5.22:

Z =

х

З

+уЗ -

3ху, Ъ: х =

О, х = 2, у =

-

1, У =

2.

(Ответ:

ZнаИб(2,

-1)= 132 Zианr(<1

-1)= -1.)

5.23.

z =4(х -у) -х - у, D: х+2у=4, х- 2у =

4,

х = о.

(Ответ:

Zнаllб(:,

~). ~

Zиан,,(О,

2) = -12.)

236

5.24. z = х	2	+ 2ху - У	2	- ,			-	х + 1.
			- 4х, D:		х	= 3, У =	О, У =
(Ответ: Z"а"б(3'		3) = б,Zиаиы(2,		О) =	-	4.)
5:25. z=бху-9х2 -9у2+4х+4у, Ь: х=О,								х= 1,
У= О, У = 2. ( Ответ: ZнаИб(+'+) = : ' Zнаим(0,2) -								- 28.)
5.26. z = х2 + 2хуу2 -2х+ 2у, Ь: у=х + 2,								У = О,
х=2. (Ответ: ZнаUб(2, 3)=9, Zнаим(l,						0)= ~1.)

5.27. z=4-2x2 - y2, Ь: y~0,y=-Jl-x2. (Ответ:

Zнайб(О, 0)=4, Zнаим{-I, O)=z(l, 0)=2.)

5.28.

z = 5х2 -

3ху +

у2 + 4,

Ь:

х =

-

1,

х = 1,

~ = -

1,

У = 1.

(Ответ:

Zнаиб(-

1,

1) =

z(l, ,

-

i) _ 13,

Zнаим(0,0)=4.]

-

-

_

х = О,

5.29.

z = х2

+ 2ху + 4х -

у2,. D: х +у + 2 == О,

У = о.

(Ответ:

Zиаиб(О, О) = О,

Z"аим( -2, О) =

z(O,

-4) =

= -4.)

"

5,30.

z = 2х2у_ х3у -

х2!/, Ь: х =

О; У =

О, х'+у ~ 6.

(Ответ: Zиаиб(l,

0,5)--:- 0,25, Zнаим(4,

2) = -128.)

Решение типового варианта

1.

Найти УравнеН:ия.'касательноЙ плоскОСти и нСормали

К поверхности S: z~ х2 -

у2 +3ху -

4х + 2у -

4 в точке

Мо( -1, о, 1[.

~На~юдим чаq-ные ПРOlрводные:

-~;=2x+3Y-4, ~;= -2у+3х+2..

,Подставляя 8 -, полученные,' выражения .!кььрдМнаты tочки Mo(-I, 0,1), вычисляем, согласно формуле (10.8), координаты вектора п,перпеНДИКУЛЯРНОГdК поверхности

S в данной точке: '							,	.
А =aZ!	О	= -6,	B= az l'		Ма•	=	~ 1, С= -1.
дХ М			_	-ду			.
Следовате.l!ЬНО, .К~lCательная						ПЛОСКQСТЬ имеет урав-
нение
-6(х+ 1)-y-(z-I)=O или 6x+y+z+5=0,
а уравнение нормали на основании							формулы (10.9)	за­
пишется в виде

x+I _ y _ z - l ...

-б--Т--I-· .....

237

2. Найти вторые частные производные функции z =

= arccos-.,jx/y. Убедиться в том, что z':y = z';x.

~ Вначале находим первые частные производные дан­

ной функции:

zi=-	1	_I_J...=_ 1
-V1 - xjy		2';;;; -у	2-Гx-.jy - х'
,	1	1 (х)	-гх
Zy = ~I	_ xjy	2';;;;; - у9.	= 2Y-.jy _ х .

Дифференцируя каждую из полученных производных

по Х' И по у, находим вторые частные производные

данной функции:

	_1_. -.jy _ х_	-гх
" . 2-";;		2-.jy -х _	у -х-х	-
zxx=	2х(у -	х)	4X-Гx-.jy _ х(у - х)
..

у-2х

_ у-х+х _

у-х	4у(у - x)-Гx-Vy- х

Как видно, смешанные частные производные z':y и z';x

равны. ~

3. Проверить, удовлетворяет ли уравнению

д2u _2xy~U +д2u =~		дu
дх2	дхду ду2 х2 +у2	дх

функция и = ln (х2 +у2).

~Находим частные производные первого и второго

порядка:

238

дu	_	2х	дu	_	2у		tflu	_	2(у2_ х2)
дх	- х2	+у2'	ду	-	х2 +у2'		дх2	-	(х2 +у2)2 ,
	д2u = _			4ху		д2u _ 2(х2 _ у2)
	дхеу		(х2 + у2)2'			ду2	-	(х2 + if)2 .

Подставляем полученные значения производных в ле­

вую часть исходного уравнения:
2(у2_х2) + 8х2у2 + 2(х2 _ у2)	8х2у2
(х2 +у2)2 (х2 + у2? (х2 +у2)2	(х2 + у2? .

Тогда в первой части уравнения имеем

Сравнивая полученные результаты, видим, что данная

функция не удовлетворяет исходному уравнению. ~

4. Исследовать		на	локальный	экстремум	функцию
Z = ху(х +у -	2).
~ Находим первые частные производные данной
функции:
Z~ = 2ху +у2 - 2у, Zg = х2 + 2ху - 2х.
Приравнивая	их	нулю, получаем		систему	уравнений
		у(2х +У - 2) = О,}
		х(х	+ 2у - 2) = О,

из КО1'ороЙ определяем стационарные точки данной

функции: M1{O, О), М2(2, О), Мз(О, 2), М.(2/3, 2/3). С по­

мощью теоремы 2 из i 10.4 выясним, какие из этих точек являются точками экстремума. Для этого вначале найдем вторые частные производные данной функции:

Z:x = 2у, Z~y = 2х + 2у - 2, z:!y = 2х.

Подставляя в полученные выражения для производных

координаты стационарных точек и используя достаточные

условия экстремума			(см. § 10.4), имеем: для			точки МI
/),. =	-4 < О, т. е. экстремума нет, для точки М2 /),.= - 4<
< О,		т. е. экстремума нет, для точки Мз			/),. = - 4< О,
т.	е.	экстремума	нет, для точки М4		/),. =	12/9 > О,
А =	4/3 > О, т. е.		имеем	точку локального		минимума
функции, в которой z",iп =				z(2/3, 2/3):- - 8/27. ~
	5.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Z = ху - у2 + 3х + 4у в области Ь, ограниченной линиями
х=О, у=О, х+у-I =0				(рис. 10.5).

239

у

М{

А

х

Рис. 10.5

~Выясним, существуют ли стационарные точки, ле­

жащ'ие внутри данной области Ь, т. е. внутри треуголь­

ника ОАВ.. Имеем:

zi=y+3=O, .}

zy = х - 2у +.4 = О.

Решая полученную систему уравнений, находим. ста­

!!ионарную точку М( -10, -3). Она лежит вне облаети

D, следовательно, при решении задачи мы ее не учит-ываем.

Исследуем значени~ функции на гр~нице облCiСТИ Ь. На.

стороне ОА (у = О, О ~ х ~ 1). треугольника ОАВ. функция

z имеет. вид z = 3х.	Стационарных. точек на. отрезке
ОА нет, так как z' =	3. В точках О и А C~OTBeTCTBeHHO

?(О, 0)-:-0, z(l, 0):-3. На СТОР9не ОВ(х=О, O~y~ 1)
треугольника функция z =	- у2	+ 4у, z' =	- 2у + 4.' На­
ходим стационарltую точку	из	уравнения	-'- 2у +.4'= О;,

получаем, что у . 2. Таким образом, точка М 1(0, 2) не

принадлежцт области			Ь.	3качение	функции		.в точке
В z(O, 1) =		3: Находим наибольшее и наименьшее значения
на СТОРОflе АВ: х +у =			1.	Здесь у = 1-'- Х,' z = :-2х2 +
+	2х +3,	тогда z' =	-4х +2 и		из	z' = о	следует
х =	1/2, т. е. стационарная'точка М2(1/2,					1/2)прmщв.ле­

жит границе области Ь. 3Юf'tение функции В','неЙ i{I/2, 1/2)' 3,5. Сравнивая все 'полученные значения

фунiщиц, видим, что

Zиаиб = z( 1/2, 1/2), = 3,5, Zиаи.. = z(O,O) = О. ~

10.6.ДОПОЛНИТЕJlЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 10 .

1.Найти область определения функции (l =..;г(2"':"г)+

-г In (4 - х2) - 3у. (Ответ: Ixl < 2, О ~ z~2.)

24(}

2. Доказать, что функция

3

{~ если х6 +у2 =1= О

Нх, у) = х6+о,У2' если х = у = о, ,

разрывна при х =

у = о,

но

имеет

частные

производные

в точке 0(0, о).

3.

Доказать, что для функции,

ху(х2 -

у2)

если

2

+у

2

{(х, у) = {

х2 +

2

,

х

=1= о,

оУ, если х =

у=

о,

ВЫПОJIНЯется lfepaBeHcTj}o {~MO,

О} =1= {~X(O,

Щ..

,

~. Доказать, что Функция z =хуух у;Довлетворяет урав-

нению

"'

х:: +y~; ;:= (х+ у +Inz)z.

5. Найти наибольшие и наименьшие значения функции

z~ 'х + уl --JI - х2 ~ у2 в

области

ее

непрерывности.

(Ответ: Zнаиб ,

-/2,

Zнаим =

-1.)

,

'

"

, ,6. Через щчку А(4,

1, 5) пространства' проведена

плоскость' параллельно плоскости2х +6у + 3г '- 12 'е.

Описать

системой

неравенств

область,

отсекаемую'~ой

плоtкостьюот параболоидзnращения z =

х2 +'у2. (Ответ:

X2+y2~Z~2x+'6y+зz~29.)'

,',

.'

. 7. 'Записать уравнение YZ;:y +2z~ .'

г/х в ноЬых пере'-

Me~HЫX

И=х/У.и, ' v =

~- у. (ответ:,r(~-IУ4!~UС+

+

2uz" +

и, г"

2u(u -

1) z:.

2z' _ 2(.u -

1))."

"

ии

и _

1

rJV -

V

-

0' -

ии

}"

8.

Записатьв полярн~х координат~хвыра~ение~"+

,

"

+ I д2г

.+

',(,дх2, ,

a2Z (о'тв

.

д2;

ldZ)

,

, " '

- .

ет.

-

-

__

о

+ ду2

др2

р2 д.,2

Р

др .

1'"

9. Найти ура,внение касатеЛЬJiОЙ плоскости

к Э4'lип-

~

I

~

,

"

соиду

а2

+ IY

+ с2 = 1, отсекающей

на'

oc1tX

КО0рдина~

равные

отрезки.

(Ответ:

+х ± у + z =-\!a2 -fb2 + l;t.)

10. Доказать, что касателЫЦ1Я плщхость к поверхности xyz = аЗ в любой ее точке' образует с координатными

плоскостями тетраэдр постоянного объема. ВычислитЬ этот

объем. (Ответ: V = ~ аЗ)

.

11. Найти стороны треугольника данного периметра 2р,

который при вращении вокруг одной ИЗ своих сторон

образует тело наибольшего объема. (Ответ: а = Ь = 3р/4,

с=р/2.) .

12. На эллипсе х2 +4у2 = 4 даны две точки А( --/3,

1/2) и 8(1, -/3/2). Найти на этом эллнпсе третью точ­

ку С,

такую, чтобы треугольник Аве имел наибольшую

'.

(

Ответ: С

(-13~ I

--13- 1)

.

)

площадь.

- 2 - ;

2

хз +уЗ -

13.

Исследовать на экстремум функцию z =

-

9ху

+ 27. (Ответ: ZmiП(3' 3) = О.)

и = xz +

.

Доказать, что

д4х

=

д4u

, если

14.

2

+eYz +у.

дх дудг

дхдудгдх

.

х +у + z

15.

Найти условный экстремум функции u =

при условиях

xyz = 8,

xy/z = 8.

(Ответ: х = у = zifб,

z

'-V2/3.)

,

16.

Найти второй дифференциал d 2z в точке (2, 1 2)

ДЛЯ функции, заданной неявно уравнением 3х2у2

+ 2xyz2-

-

2х3г +

4уЗz -

4 =

О.

(Ответ:

-31,5dx2 + 206dxdy-

-

306dy2.)

.

17. Квадратная доска состоит из 2 белых и 2 черных клеток, расположенных в 'шахматном порядке; Сторона каждой клетки равна единице длины. Рассмотрим прямо­

угольник со сторонами, параллельными сторонам доски,

один из углов которого совпадает с 'черным углом

доски. Площадь S черной частиэтоro прямоугольника

является функцией длин его сторон х и у. Записать' эту функцию аналитически. (Ответ: S(x, у) =

ху"		если О ~ х ~ 1,	О ~У ~ 1, )
= . x~		если О ~ х ~ 1,	1 ~ У ~ 2,
{ у,	.	если 1 ~ х ~ 2,	О ~ У ~ 1,

,	1 +(x-I)(y-l), если		1 ~x~2,! ~y~2.
\8.		Кас~тельная плоскость к		поверхностн	х2/3 +
+ У	-	Z2 = - 1 проходит	Через	точки А(1,	О, О) и

В(I, t~ О). Записать уравнение этой ПЛОСКGСТИ. (Ответ:

x+2z..::...1 =0 или x-2z-1 =0.)

"

242,