RII_OCR[1]

6.22.' (	х+,j;~W dx. (Ответ: ~ i l3						+-
J	х (1 +		-\Гх)		,	',' '	" '
					+6xI/6 _		6 arctg~+ с)
[-VxdХ				(	_ г.:	~г.:	+,
6,23. J	х- W·				Ответ: ,2-V X	+ 6-ух
						+ЗlпlУ;-II+с.)
							Vx+1	"
6.24. (	-Vx		2 ·(Ответ:' ~.rx':"" ~~+..,					' ,
	w					+'2: arctg~{9x", '+. ;,
J 3х+		х							с)
6.25. (	-Vx~x	. (OTв~T: Э In I~-l' 1-
J1--Vx						х+1

~~W -:~-2.rx-6~+C)

6.26.( 'X-~ dx. (Ответ: +~-:V;+

J x(l+ х)

+lnl:V;+II+C)

	-Vxdx			(		4 _4г.;,		4 '~4Гз	-	:
6 . 27 . v; .					Ответ: 5"'Х -			х + "3-ух
}	1+,	Х·,					'
					-2.rx+4~-4In '-\Гх+ I1 + с.)
, ~	-.rз;+I- 1					.	(	, 1 '.
6.28.	3					dx.	Ответ: "3 (Зх +1)-
,	VЗx+l+ -.rз;+I ,
	~ ~ ~(ЗХ+l)5+'~ -\!(зх+l?- ~ v'Зх+l+
+2-\!ЗХ+ 1-4-\!Зх+ 1+41п I-\!зх+ 1+ I1 +с)
	w
6.29. (	-Vx	х	2	.(Ответ: {-';; + ~*+
J	4х-

+~lпI2Vx-II+с.)~

32 2Vx+ 1

,			~'""Х+I - J				(, З ~
	6.30.								'\2
			v;+l	'~ dx. 'OroeT:"2				(х+ 1, -
			С x+I+I)		х+1
			-3{/х+1-6{jx+ I +31п ,""х+1+ 11 +
							+6 arctg-\fx+ I :'- с.)
							7
	71	~	dx	З		•	(о. 1	tg(x/2) + I			+
	••		5 +2 .		cos х		твет. ~ гn arctg'		-{3
			SIП Х +				-уЗ'

7.2.	~	"	,	dx		,,'
			.		2	cosx	.
			5-4sIПХ+

(Ответ: ~ агсtg З tg (х/2)-

. ' ."-vr,.. " -vs

7.3. f	:3 Si~'X~2 COS Х dx. (ответ:	2 tg Х +
J	+COSX	2

+3Inltg2.~ + 11~4 arctg

+ с.)

4 + с.)

~'+С.)

7.4.·~ 5+~COS:x~5~inx' (Ответ: ,~In'::~;~~~=:1+с-)

7.5.

f

5

.

dx О'

•

'с

j

cos .х:+ IslП х

-{51 + с.)

(Ответ:

-

_1_ In I tg (х/2)- 2 -

5-Vs

1, tg (x12) -2 +..j5

,

,'.6.

(.,

,.

,ах".

'.('Otbet,-агсtg tg (х/2) -

1

+ с.)

J

з

+ 2 ros

х -

SIП Х

.

2

7.7. S5 ~~~QSх . (Ответ:. ,~ arctg ( 2 fg. ;) + с)

7••8

~

'8"4. '. ,!

7

..

.' ответ.

...',nJ t ((/2)х/2)

-

3 J'+" с).

" dx

'(

1

tg

5,

-:-

'S1П х + cos х

'

,

,g х

-

7.9. f

'.'dx.

'.(,'ответ: -..!.. In 1tg (х/2) - 21 + с.)

J

З+5соsх

4

tg (х/2) + 2

7.10. f

2'

~x

3 • (Ответ:

21 :lnJ2 tg

Х

+

"

+

2

J

SIП Х +

COS Х

. ,

+з1 + с.)

Щ4

711

r

dx

(()

. 2

t

g

~5tg{x/2)+4

," 'с)

•

') 5+'4sinx'"

,твет·заг~

з

+ .

7

•

12

'

dx

(О'"

1,

t

g

tg (х/2)

с)

"

~

"8

+'4

"

твет."

_r.:: аге

-vз .

+ .

cos х,

2-vЗ

	(Ответ: _._1_ In / зtg (х/2)+7 -						-158/ + с.)
				-158	з tg (х/2)+ 7 +-..f5i
7.15. (	. dx			•
J 2+4sIПХ+ЗСОSХ
		.'		1	1 \tg (X/2)-4--..f2I/+			)
	(ответ.		- ' --		n			С.
	,			~	tg (х/2) ~ 4 +-..f2I
				.		"
	di
7.16. ~ 4соsх+Зsl.ПХ .					_ ~ Inl tg (х/2) -21 + с.)
		( Ответ:
					5	tg(x/2) -1/2
7.17. { 2-siпх+Зсоsх dx. (Ответ: 3x-tg~"':"
j	l+cosx				-ln/tg2 ;		2
							+ 11 + с.)
7.18'(5	.d~з·		Х	.
-j	+ slП Х	cos

(Ответ: _2_ aretg 2 tg (х/2) + 1 + с.)

-fl5. -{15

7.19.~ 4SinX+~X'COSX+5' (ответ: С-:- tg(X/~)+2.)

7.20. (	7 +6 sin х -:- 5 cos х dx. (Ответ:	12 tg ~ +
j	,I+cosx	.. 2

+6Inltg2; + 11~5x+C.)

d	+ sin х •
. 7.21. ~ з+ cos :		2 tg (х/2) + 1 + с.)
	(Ответ: _2_ aretg
	-fi	-fi

r 6 sin х +cos Х d		х.	(о	. 6	l' -1 t	g	2 Х	1-'1	-
7.22.}	1 +COSX			твет..	n		2:'	+,

-tg; +х+с)

7.23. (

3

dx -1 '

• (' Ответ: с-

}

cos х -

SIП Х

_ ~ 'пl tg(x/2)- 1/31.)

5

tg (xj2)

+

3

(

dx

(о'. 1

tg(x/2)

с)

.7.24. J

5+3cosx"

твет. 2aretg

2

+.

7.25. (

4' d\

cosx

.

}

SlПх-

(Ответ: _'' _ In /3 tg (х/2)+ 2- -FзI+ с.)

2Fз

3 tg(x/2)+ 2+ Fз

7.26. ~3+5Sin~\3COSX' (Oтвeт:~ Inl5tg ;+

+з/.+с)

7.27.

.

.

dx

( О

.

1

аге

t

g

tg (х/2)

+

С )

3"

твет.

-3

_г,:;

.

,

~

cos х -

SIП Х

-у3

(

dx

7.28. )

-;4--~4-=si-n-x-;+-=3;:-c-o-s-х•

( Ответ:

1

1tg (х/2) -

71

+ С.

)

3" '"tg (х/2) _

1

7.29.

~

_

dx

.

3 slП Х -

cos х

-!W I+ с.)

(Ответ: - ' - 'пItg (х/2)+ 3 -

,fIO tg (х/2)+ 3 +

-!W

7.30.

~

dx

_ .

2 - 3 cos х +

slП Х

.уб1+ с.)

(Ответ: _1_ 'П15 tg (х/2)+ 1 -

,f6

5 tg (х/2)+ 1 + -{6

8

In Itg х -

2 I+с.)

, 8•1• ~

8 sin

2

х -

dx

: . (ответ;

1

16 sin х cos х

16

tgx

(

dx

8.2.: )

-J-6-si-п-2x--'-::;"В::;"S-iП-ХС'""'о-s~'x•

(Ответ: -}lnI2~gt~; 1 1+ С.)

8.3. ~

dx

2

•

(Ответ: 21

arctg

tg х + с.),

I+Зсоs х

2

.

8.4. r

о

;tg Х+'З

х

•

(Ответ: Inltg2 x+21 +

)

slП x+2cos2

+ -Ф- arctg ~+ с-)

8.5. r

dx

2"

)

З cos2 Х + 4 sin

х

(Ответ: ~ arctg 2_t~x

+ со)

2-Vз

-уЗ

8.6. ~

,tg х2

dx. (Ответ: ~,In Itg4 х -

11+ с.)

1 -

ctg

х

...

8.7.(

4 siп2

Х

dx

.

}

-

5 cos2 Х

'51+ ')..

(

-- In

12 tg х

Ответ:

1

- -~yo

с

8.8. r

4

-f5

2 tg х +.j5

dx

2'

)

7 cos2 Х + 2 sin

х

(Ответ: _1_

аrctg

,гztg х

~

-li

8.9. (

о

4 siп 2х

4

х

dx. (Ответ: arctg (tg2 х)+ с.)

}

SIП

Х

+ cos

8.10. (,

. dxo

3

Х

•

(Ответ: -1-2- +10 jtg хl + с.),

)

cos х slП

2 tg х

,

8.11. r

d~ 2

х

•

(Ответ: -1- arctg(-{i. tg х) +с.)'

)

I

+ Sln

,,Гz

8.12. r

dx

•

}

4 sin 2х +

В siп х cos х

(Ответ: -}Inl tgt; ~21 + с-)

8.13. (

о

4Siп

2х

4'

dx. (Ответ: -21 arctg (2 t~х)+ со)

)

4 SIП

Х + cos

х

8.14. '.		sin 2 х	. ,	dx				'	Х	• (Ответ: arctg (tg х-'-'
,	]		- 4 sin	х cos				х + 5 cos2			' .
											-2)+С.)
8.15.		2	dx		2		•	('		1	-Vзtgх)
	~		•			Х		Ответ:		_г.; aretg - 2 - +с.
		4cos	х+3slП							2"з

~tlx

8.16.3С052 х-2. •

( Ответ: ,-'-In/'+,fitg х 1+с)

.

2,[2

1~ -$tg х,

8.17. f _..,,--_~d..:..x__--,,-_

j

sin2 х +sin 2х + 3 С6э2 Х

•

+ с-)

(ответ: ~arctg tg ~ ,

8.18. r .

2

х

dx

2'

j

5 sin

-

3 cos

х

I-J5tg х-

(Ответ:

_~ 'п

-..гз /+ с.)

2,,15

-J5tg

х +-..Гз

8.19. (

sin 2 х +

3 sin

dx

2

х

•

j

х cos х

- cos

(Ответ: _1_ 'П12 tg х+ 3 -

~/ + с.)

-{iЗ

2 tg х+3 +-Jl3

8.2О..

4

sin 2х

4

d

х.

(о

1, t

tg

2

Х

С )

'

tbet:- агеg--+·

~

slП

x+4cos

х

2

2

8••21

~

2

dx

• 2·

( О

твет:

.

1

't4 tg х + с)

х +

_г.;

аге

g

_г.:;

•

7 cos

16 slП

х

4,,7

,,7

8.22.

~

dx

(

Ответ:

1

aretg

-..гзtg х

+

с.

)

2

х +

3

•

_k

,f5

2 cos

,,5

5

8.23. f

3 -

dX.

2

Х

•

(Ответ: _1г.; aretg

~g:;

+ с.)

j

2 slП

,,3

,,3

8.24. [ . : tg х-

1 2

х

dx. (Ответ:

23

'П Itg2 Х +41-

j

slП

х

+ 4 cos

'

-

~ aretg

t~x

+ с)

8.25.

~

dx .

2

Х

•

(

Ответ:

_1г,:::-агеtg. 2,[2 tg х

+ С.)

5 +3 SIП

2" 10

-J5

128.

8.26. r

cos~~

dx.

(Ответ:

_'г,;- arctg (-..[2

tg х)

+ г.)

J ,- sш х

\/2

.

8.27. [.

.

2

Х -

~x

+ cos

2 . (Ответ: arctg (2 tg х-Г_

J

2 slП

slП 2х

х

1) + с.)

-

8.28. [

6 -

dx

2

х

•

(Ответ: -6' arctg (2 tg х) + с.)

J

3 cos

8.29. r

. 2

tg х

2

х

dx. (Ответ: -2' In Itg2 х + 31 + с.)

J sш

х +3 cos

dx. (Ответ: -3' tg х+

8.30. r

. 2

х

2

J 3 sш

sin2

х -

cos

х

+ f'arctg (-..j3 tg х)+ с.)

9

9.1. ~ cos 4 3х sin 2 3xdx. (Ответ:

,~х -

'~2

sin

12х+

+ '~4 sin 3

6х+ с)

9.2. ~ .?,Jsin 4 х cos3 xdx. (Ответ:

~ .?,Jsin9 х-

-

,~:VsinI9x+ с)

93

r

3

·8

Х

d

х.

(о

твет:

'·9

Х -

, .

11

Х

+с)

. . J COS

х SIП

9

SIП

тт SIП

•

.9.4.

~ cos4 х sin3 xdx.

(Ответ: -} cos7х -

-} cos5Х +

с)

9 5

~

COS3 xdx

(о

твет:

С

-

3

I

••

i!~.

i!~-

уsш4

ху sш Х

-

{-\lsin5 х.)

9.6. ~ .?,Jsin3 2х cos3 2xdx. (Ответ: ,5

.?,Jsin8 2х -

6

-

3~ :Vsinl8 2х +

с)

9.7. r cos

3 х

dx. (Ответ: З-Vsiп х-

J Vsin·

х

~ -Vsin7 х +

с.)

-

129

4

з

9.8. ~ ~ dx.

(Ответ: 3--'- + ~ -YCOS5 Х + с.)

cos

x

~

9• 9•

3 sin4

З

Х d

(о

'

- --3

+

с)

~

cos

х.

твет: --з-

cos х

.

х

cos х

9.10. ~ sin5 х cos4xdx.

(Ответ:

~ cos7 х-

- -.!... cos5 Х -

-.!... cos9

Х + с)

9.11. r 5 sin

5

9

З

х dx. (Ответ: ~'!{jCOsI2 х-

J 'VсоsЗ х

'2

- %'!{jCOS2Х + С.)

9.12.~ -YCOS2 х sin 3 xdx. (Ответ: ,3,-Ycos" х-

-~ ~Соs5 Х+ С.)

9.13.~ -Ysin2 х соsЗ xdx. (Ответ: ~ -Ysin5 х-

- '~ -Ysin 11 х+ с.)

9.14. ~ -{/cos 3 2х sin3 2xdx. (Ответ: 3~ -{/COSI 8 2X-

-

,~ '!{jcos 82х+ С.)

f

еоs

З

хах

.

(о

~ -{/sin

2

х-

твет:

9.15. J

'Vsin

З

х

,52 '!{jsin 1'/. х + С.)

-

9.16. ~ sin 22х cos42xdx. (Ответ: ,~ х -

- '~8 sin 8х+ 916 sin3 4х+ С.)

9.17. r зsin	З	х dx.	(Отве.т: yV COSX	-
			3}~
J Vcos2 х				-з-\1COS х + С.)
9.18. ~ .ycos4х sin3 xdx. (Ответ: ,; '!{jCQS I9 Х ~
			-	~ -{/cos9 Х+ с.)

130

9.19. ~ sin4 2х cos22xdx. (ответ: "6 х-

- '~8 sin 8х+ 9~ sin 3 4х+ с)

9.20. r cos3 2х dx. (ответ: ~ ijsin 2х _

JVsin 2 2х .

- 134 ijsin 7 2х +с)

9.21. r а dx. (Ответ: I~ -{jcos7 2х-

J cos2 2x

9.22. ~ sin4х cos3xdx. 9.23~ ~ sin2хcos4xdx.

9.24. ~ sin 4xcos2 xdx.

- ~.ycos 2х + с.) (Ответ: -} sin 5 x - -} sin7х + с)

(о		16	х	-	641s.ш 4Х +
	твет:	'
					+ 418 sin32х +с)
(Ответ: -х- -sш4х-
		,			1· .
		16			64
					- 418 sin32х + с)

9.25. ~ sin3х cos8xdx. ( OTBe<r: -h cos 11 Х - {cos9Х + с)

9.26. r 3~o~3x dx (Ответ: _._3_ -		- .'-3- + с.)
J slП Х	slП Х	slП	Х
9.27. ~. sin5x-{fcos 3 х dx.	(Ответ:	: -{fcosl 8х -
-	~-{fcos8Х -		~-{fcos28		Х + с.)
	8		28
9.28. ~ sin 4хcos5xdx.	( Ответ:	~sin5х -		~ sin 7х +
		5		7
			+ {sin9 x+ с)
9.29. ~ ~in4~:c~~;.dx. (Ответ: /6 х-			1~2	sin	12х -

- '~4 sin36х+ с)

131

r	siпЗ х d	х.	(о	твет:	3	З_3	г=-5.:	+	С)
9.30. J~					3	+ s-:>ycos·Х			.
	cos4 x				~
	.Решение типового варианта
Наити неопределенные интегралы.'
1. r	7х-х2 -4			dx.
J (х + 1) (х2 - 5х + 6)

~ Подынтегральная функция представляет собой ра­ Цl-lOнальную дробь. Разложим ее знаменатель на множи­

телИ': (х + I)(x - 2)(х - 3). Согласно формуле (8.9), в разложении правильнои дроби на простеишие каждому ~

множителю знаменателя вида х - а соответствует слагае-

мое _А_. Поэтому в данном случае имеем

х-а

7х-х2 -4			7х-х2 -4.
(х + 1) (х2 - 5х + 6) .		(х + 1) (х - 2) (х - 3)
А		В	С
= х+ 1	+ х-2		+ х-З'

Приведя правую часть последнего равенства к Общему знаменателю и приравцяв ЧИ(;JIители дробеи,получим

тождеств'о

7х - х2 - 4 = A(~.,- 2)(х -.,. 3) + 8(х + l)(х - 3) +

+ С(х + I)(x ~2).

Коэффициенты А, 8, С определим с помощью метода

. частных значении (см. § 8.6):

х = - 1 - 12 = 12А, }

		х=2			6=-38,
		х=3			8=4С,
откуда А = -1,		8 =	-2,		С = 2.	Подставив	наид€нные
коэффициеНТQI в разложение подынтеГраЛЬНОЙ фушщии
напростеишие дроби,			получим
r 7х-х2 -4		d- r(-		-	1	2 +	2 )d	_
J (х	+ 1) (х2 - 5х+ 6)	х -	J		х+ 1 -	х - 2	х _ 3	х -
	= -Inlx+ 11-2Inlx-21 +2Inlx-31 +С*=
	= In		(х_З)2			+ С* .
			1х +	11	(х - 2)"	, .
где	С* - постоянная интегрирования. ....

132