RII_OCR[1]

3.29.Фограничена осями координат и параболой~+

+-YY=-.J;,. (Ответ: хс=ус=а/5.)

3.30. Ф ограничена полукубической параболой ау2 =

= Х3 И прямой Х = а (а> О). (Ответ: ХС = 5аЛ, ус = о.)

Решение типового варианта

1. Определить работу А, которую необходимо затра­

тить на выкачивание воды из резервуара, представляюще­

го собой лежащий на боку круговой цилиндр длиной L

и радиусом основания R, через находящееся вверху от­

верстие (рис. 9.56). Удельный вес воды				у =		9,81	кН/м3•
Вычислить работу А	в случае,		когда			L =	5 м,
R = 1 м. (Результат округлить до целого числа.)
~ На высоте z выделим слой воды dz				(см. рис. 9.5(»).
Его объем
dV =-2 IOIB I Ldz =	2L.j
		R 2-	(R -	Z)2 dz =
= 2L.jz(2R - z)dz.

Оm8ерсmuе

z Оm5ерсmuе

х

Рис. 9.56

Этот слой нужно поднять на высоту Н = 2R - z. Эле­ ментарная работа dA, затраченная на выкачивание слоя dz, определяется формулой

dA =HydV = 2yL(2R - z).j z(2R - z)dz.

Работа А по выкачиванию всей воды равна сумме

всех элементарных работ:

2R	2R
А = ~ dA =	~ 2yL(2R - z)	.jz(2R - z)dz =

оо

2R
= 2yL ~ ZI/2(2R - z?/2dz.	(1)

о

203

Теперь вычислим интеграл (1), который представляет собой интеграл от дифференциального бинома при т =

=1/2, n=l, р=3/2. Так как (m+I)/n+p=3EZ, то

для вычисления интеграла (1) воспользуемся подстанов­
кой а +ьхn =		usxn	(см. § 8.7). Имеем
				2R
		А =	2yL ~ ZI/2(2R -			Z?/2 dz =
			2	о			2	+ 1)-2du,
	2R -	z =		dz =	-4Ru(u
			u z,
=	. 2R/(u2+ 1),			если	z =	О, то		u = = 00,
	r
	если z=2R, то и=О

Подынтегральная функция в последнем несобственном

интеграле является правильной рациональной дробью,

которую, согласно формуле (8.10), можно разложить в сумму простейших дробей четвертого типа (см. § 8.6). Интегралы от, этих дробей легко находятся с помощью ре­

куррентной. формулы (8.4). Последовательно получаем

=~ - 2 .1.~ +~1.~ = ~

4 4464432'

Таким образом,

А = 32уLR3л/32 = луLR3•

Если L = 5 м, R = 1 м, то

А = 3,14·9,81 ·5· 1 ~ 154 кДж. ~

2. Вычислить силу давления воды иа пластину. верти­

кально погруженную в воду, считая, что удельный вес

воды равен 9,81 кН/м3• Форма, размеры и расположе­

ние пластины указаны на рис. 9.57.

~ Выбираем систему координат относительно пласти­

ны так, как показано на рис. 9.57. Тогда простейшее урав­

нение параболы имеет вид х2 = - 2ру. Так как парабола

проходит через точку A(I/2, -1), то Р = 1/8 и х2 = -у/4.

Выделим на глубине х горизонтальную полоску шири­

ной dx и площадью ds = (1 - Iyl dx.	ДаВ-!lение воды на
эту полоску	.
dP = ух(1 - Iyl)dx = yx(l -	4x2)dx.

204

у

Рис. 9.57

Тогда давление воды на всю пластину будет

р= Y~н x(I - 4x2 )dx = У(х; _ х4)1: .У(~2 -о- Н4).

О

При н = 1/2 м и У = 9,81 кН/м3 получим

Р= 9,81(~ -		/6) = 9;~I ~0,61' кН.....
3. Найти координаты центра масс однородной фигуры,
ограниченной кривыми У =				х2 И У=..J;.
.. Координаты центра масс данной фигуры (рис. 9.58)
вычисляются по формулам (9.17), где fl (х) =									х2, f2(X) =-j;.
		\		У
		\
		\
		\
		\ \ ,,
				,'....-			ХС		х
Рис.	9.58
									и В(1, 1), то
				кривых 0(0,
Так как точки	пересечения							О)
а=О, b=l. Тогда имеем:
I	I			.				-} хз)1: .:.- -},
~ (У2"-YI)dx =	~(-j; -	x 2)dx =( ; х3/2 -

оо

~I Х(У2- YI)dJc =~I

x(-j; - x 2)dx =( ~ х5/2 - ~')1: = :0 '

оо

205

I	1
-} ~ (У2 +YI)(Y2 -	YI)dx = -} ~ (х - x4 )dx =

оо

=-}С; _X:)I: =;0'

откуда хс=ус=9/20. ~

9.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 9

1. Решить уравнения:

		Х					Х
8)		r	dx	=~;	б)		r	dx	=~.
		)_X~		12			)	~	6
		';2				'" 2
(Ответ: а) х = 2;				б) х = In 4.)
2.		Доказать справедливость равенства
I			'/Х
r_d_(_=r_d(_ х					>	О	).
J	1	+ (2	J I	+ (2 (

Х1

				11/4
3.	Пусть I n =			~ tgn xdx (n> 1, n -			целое).	Дока-
				о
зать,	что I n +ln -			2 = I/(n-I).
4. Вычислить площадь криволинейной трапеции или
фигуры, ограниченной заданными линиями:
а)	у =	х2/-У(х - 3)(5 - х),				х Е(3; 5);
б) y=(arcsin~/~, хЕ[О; 1);
в)				1
	p=tg<p, р=-, <рЕ[О; л/2);
		хе-Х'/2,		cos <р
г)	у =			х Е [О; 00);
д) у =~/(x+ 1)2,					х Е[1;	00);
е)	ху2 = 8 -		4х и ее асимптотой;
ж)	(х + l)y2 = х2 (х < О) и ее асимптотой.							+ 1/2;
(Ответ: а)		33л/2; б)			2; в)	л/4; г)	1; д) л/4
с) 4л; ж) 8/3.)
5.	Вычислить объем тела, ограниченного поверх-
ностью, полученной вращением указанных линий:
а)	у = е-Х'		и у = О вокруг оси Оу;
б)	(4 -	х)у2	-	х3 =	О вокруг ее асимптоты;
в)	у =	1/(1 +х2) вокруг ее асимптоты;
г)	у =	е-К siп лх и х ~ О вокруг оси					ох.
(Ответ: а)		л; б)		16л2;	в) л2/2; г) л3/(4(1 +л2)}.)

206

6. В цилиндрическом баке, наполненном водой и рас­

положенном вертикально, имеется малое отверстие в дне.

Половина воды из бака вытекла за t мин. За какое время

вытечет вся вода? (Считать f-t = I и v = f-t,j2gh, где

v - скорость истечения жидкости из отверстия. (Ответ:

(2 +-.f2)t мин.)

7. На резистор с постоянным сопротивлением R подано

переменное напряжение U = ИО siп ffit. Какое постоянное

напряжение следует подать на резистор R, чтобы вы­

деляющееся в нем за время Т = 2п/ю количество теплоты

было равно количеству теплоты, выделяющемуся за тот же

период при подаче переменного напряжения? (Ответ:

Uo/-.f2.)

8.Электрическая цепь имеет в начальный J\1!OMeHT вре­ мени сопротивление R Ом, которое в дальнейшем равно­

мерно возрастает со скоростью v Ом/с. В цепь подано постоянное напряжение U В. Найти заряд, прошедший

через цепь за t с. (Ответ: ~ lпR~аt-)

9. Вычислить массу земной атмосферы, полагая, что ее

плотность р меняется с увеличением высоты по закону

р = рое-а\ где h - расстояние от поверхности Земли до

рассматриваемой точки. ~Земля считается шаром ра­

диусом R). (Ответ: (4про(а R 2 +2aR +2))/а3.)

10.Тело окружено средой с постоянной температурой

т= 20 ос. За 20 мин температура тела в результате

охлаждения понизилась от 100 до 60 ос. За какое время

сначала охлаждения тела его температура снизится до

30 ОС? (Ответ: 1 ч.)

11.Материальная точка массой т расположена на

расстоянии l от однородного бесконечного стержня линей­

ной плотностью р. С какой силой стержень притягивает точку? (Ответ: nypm/l, у - гравитационная постоян­

ная.)

12.Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою

скорость от и, до и2. Считая силу сопротивления

пропорциональной квадрату скорости, найти время движе-

ния пули внутри доски. (Ответ: h(v, .,-'-и2)/(и,и2 lп ~:)-)

207

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

10.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ЧАСТНЫЕ ПРОИ3ВОДНЫЕ

Пусть каждой упорядоченной паре чисел (х, у) из некоторой области D(x, у) COOT~eTCTByeT определенное число z Е Е с R. Тогда z называется функцией двух nеременных х и у, х, у - независимыми nеременными или аргументами, D - областью определения или су­ щеСтвования функции, а множество Е всех значений фуикции­ областью ее значений. Символически функция двух переменных записы­ вается в виде равенства z = {(х, у), в котором f обозначает закон соответствия. Этот закон может быть задан аналитически (формулой), с помощью таблицы или графика. Так как всякое уравнение z = {(х, у)

определяет, вообще говоря, в. пространстве, в котором введена

декартова система координат Oxyz, некоторую поверхность, тО' под гра­ фиком функции двух nеременных будем понимать поверхность, обра­

зованную множеством точек М(Х, у, z) пространства, координаты

которых удовлетворяют уравнению z = НХ, у) (рис. 10.1). Геометрически область определения функции D обычио представ­

ляет собой некоторую часть плоскости Оху, ограинченную линиями,

которые		могут		прннадлежать		или	не	при.надлежать	этой' области.
В	первом случае область D					называется' замкнутой н			обозначается
Ь, во втором -				открытой.
	Прнмер 1. Найти область определения D и область значений Е
функции z =			Iп (у -:- х2 + 2х).					. .	.;
	~	Даниая функция определена					в тех точках плоскости Оху, в ко­
торых у.- х2			+ 2х > О,		или у> х2 -		2х. Точки' плоскости, для которых
у =	х2 -	2х,	образуют		границу области D. Уравнение у = х2 -					2х
задает		параболу (рис.			10.2; поскольку			парабола не принадлежит		об·

ласти D. то она изображена штриховой линией). Дал~е, .легко про­

верить непосредственно, что точки, для которых у > х2 - 2х, распо­

ложеиы выше параболы. Область D является открытой (на рис. 10.2 она

заштрихована) и ее можно задать с помощью системы неравенств:

D: {-оо <х< +00, х2 -2х<у< +оо}.

Так как выражение под знаком логарифма может принимать

сколь угодцо малые и сколь угодно большие положительные значения,

то область значений функции

Е: (-00 <z< +оо). ~

Определеиие функции двух переменных легко обобщить на случай

''QJexи большего числа переменных. Велнчина у называется функцией nepf;MeHHblx XI, Х2, •.. , Хn, еСЛИ,каждой совокупности (XI, Х2. "0, Хn) пере­

менных XI, Х2, ... , ХN из некоторой области n-мерного простран­

ства cOQ.TBeTCТByeT определенное значение у, что символическн запи­

сывается' 1ic виде у = f(XI, Xz, ...,	Хn).	Так как 'совокупность значе­
ний независi:щых переменных XI, xz,	... ,	Хn определяет точку n-мерного

208

z

у

х

Рис. 10.1

Рис. 10.2

пространства M(xl, Х2, ..., х.), то всякую функцию иескольких пере~

менных обычно рассматривают как фуикцию точек М простраиства

соответствующей размерности: у = {(М).

Число А называется пределом функции z = '(х, у) в'точке Мо(Хо, уо),

если для лIOбоro 8 > О существует б > О, такое, что при' всех к, у,

удовлетворяющих уеловиям 'х - Хоl < б и 'у - Уоl < б, справедливо

неравенство

"(х, у) - АI < 8.

Если А - предел функции {(х, у) в точке Мо(Хо. уо), то пишут:

А = Iim {(х, у) == lim '(х, у}.'

х-хо М-Мв'

9-Уо

Пример 2. Вычислить предел

~ Преобрззовав 'выражеиие под знакОм предела; получим

А =	.	(х2 +у2) (-..jx2 +у2+ 1 + 1)			==
	Llm		1) (v/x2+у2 + 1 +
	;:oiv/x2 + у2 + 1 _				1)
Iim (X2 +y2)(-..jХ2		+у2+ 1 + 1)	Iim (-..			+ 1)=2. ~
				jХ2 +у2+ 1
x~o	X 2 +y2+1_1		X~O
y~o			у-+(]

Функция z = f(x, у) называется непрерывной в точке Мо(хо, уо),

если справедливо равенство

Iim {(х, у) = '(хо, Уа).

х-хо

У-УО

Например, функция z = Ij{2x2 +у2) непрерывна в любой точке плоско­

сти, за исключением точки М(О, О), в которой функция терпит бесконеч­

ный разрыв.

209

Фуикция, иепрерывнаи во всех точках иекоторой области D, называется непрерывной в данной области.

Если переменной х дать некоторое приращение ~x, а у оставить постояниой, то функция z = f(x, у) получит приращение ~xZ, называемое

частным приращением функции z по переменной х:

~xz = f(x + ~x, у) - f(x, у).

Аналогично, если переменная у получает приращение ~y, а х

остается постояниой, то частное приращенне функции z по переменной у

~yZ = '(х, у + ~y) - {(х, у).

Если существуют пределы:

l'	~xZ -		az -	, -	f' (	)
д;~o~		=	дх =	Zx =	х х, у,
.	~ z		az			у),'
д~~о:'у		= ду == z~ = f~(x,
они называются частными nроизводными					функции z = f(x, у) по nе­

ременным х и у соответственно.

Аналогично определяются частные производные функций любого

числа независимых переменных.

Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что осталь­

иые переменные - постоянны, то все правила и формулы дифферен­

цирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных.

Пример 3. Найти частные производные функции z = arctg .JL.

х

~Находим:

-~-;

= -1-+-;y-/-X-)2"" ( - :2) = -

-x""2-'~'---y""2'

az

1

х

ду

1 + (у/ 4 -:;- = х2 + у2' ~

Iп2 (х2 +

Пример

4.

Найти частные пронзводные

функцин w =

+ у2 + Z2).

~ Находим:

aw

2 Iп(х

2

+ у2

+ 22)

+ у2 + Z2 .2х,

_дх

=

х2

aw

=

2 Iп(х

2

+ у2

+ 22)

2

1

2' 2у,

-

2'

ду

х

+ у

+ 2

aw =

2 Iп (х2 + у2 + 22)

1

• 22.

~

az

х2

+ у2

+ Z2

Дифференциал

функции

z = f(x,

у), найденный при условии,

что одна из

независимых

переменных

изменяется, а

вторая

остается

постоянной, называется частным дифференциалом, т. е. по определению

dx2 = fi(x, y)dx, dyz = f~(x, y)dy,

где dx = ~x, dy = ~y - произвольные приращения .независимых пере­ менных, называемые их дифференциалами. Это справедливо и для функции трех переменных w = f(x, у, 2).

210

Пример 5. Найти частные днфференциалы функции w = (xy2)z'.

~Имеем:

dxW =Z3(xy2)z' - 'y 2dx. dyw =Z3(xy2)z' - '2xydy, dzw = (xy2)z' Iп (ху2) . 3z2dz. ~

Пример 6. Вычислить значения частных производных функции

w =..;х2 +у2 + z3 - xyz

9 точке М(2, -2, 1).

~Находим частные производные:

дw	х	дw	у
дх =	';х2 + у2 + Z2 - yz, ду = -Jx2+ у2 + Z2 - хг,
	дw	z
	(Г=	';х2 + у2 + г2	-ху.
	z

В полученные выражения подставляем координаты данной точки:

дWI

2

+ 2 =

8

дWI

2

8

ддWZ I

дх м, = "3

"'З'

ду м. =

-"3 - 2

= -"3'

=~+4=~. ~

м,

3

3

А3-10.1

1.

Найти области определения следующих функций:

а)

z=.jy2-2x+4;

б)

z=

1

_+".jx

у;

-;r;+y

В)

z=lпх+lпсоsу;

г) z=.jX2+y2_9.

2.

Найти

частные производные

указанных функций:

а)

z = (х3 +у3 - ху2)3;

б)

z = arcsin JL;

z = х-{У+y/~;

х

В)

г)

z = ln (х +.jx2+у2);

д)

Z = lп(ху + lп ху);

е)

u = arctg(xy/z);

ж)

u = In.j(x2+у2)/(х2 + Z2;

з)

U = (ху)".

3

Вычислить

и~ + и~ + ui В

точке Mo(l, 1,

1), если

u =

In (1

+х

+у2

+ Z3).

(Ответ: 3/2.)

4.

Вычислить значения частных производных функции

z =

х +у +.jx2+у2 В

точке Мо(3,

4). (Ответ: 2/5, 1/5.)

5.

Найти

частные

дифференциалы

следующих

функций:

а)

б)

z=arctg х+ у

;

z = Iп .jx2+у2;

I-ху

211

Самостоятельиаяработа

1. Найти:

а) области определения и значений функции z = 'П (4 _ х2 +у2);

б) частные производные функции

z = siп2 (х cos2 У +У siп2 х);

в) частные дифференциалы функции

2 Найти:

а) об,ласти определения и значений функции

z =-..j4 _х2 +у;

б) частные производные функции

u = arcsin -..jxy2z3;

в) частные дифференциалы функции

Z = -..j(х2 +y'J) / (х2 -' у2).

3. Найти:

а) области определения и значенийфункции

z . -r;;+-..jx у;

б) частные производные функции

u = tg2 (х ~ у2 +'Z3);

в) частные дифференциалы ФУНКции

z-Y(x2:""'- у3?

10.2. пОлный ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

СЛОЖНЫХ И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ

Полным	приращением	функции z =	{(х, у)	называется	разность
	/}.г = {(х + /}.х, у + /}.у) - {(х,			у).
				."
Главная	часть полного	ПРltращения	функции z = [(х, у),		лннейно

зависящая от приращений независимых переменных /}.Х и /}.у, на­

зывается полным дифференциалом функции и обозначается dz. Если

212