RII_OCR[1]

8.14. а)

8.16.а)

8.17.а)

8.18.а)

8.19.а)

8.20.а)

8.21.а)

8.22.а)

8.23.а)

8.24.а)

8.25.а)

00

(х + 2)dx

л/2

f

б)

f

etgx

dx.

J !.J<X2+ 4х+ 1)4

J cos2x

О

о

1

2 _

dx.

б)

r

2еl --;;агс"пх

J

л~

_

о

dx;

{_ (2 ,jarctg 2х

J

---у-п

1

+ 4r

о

_00

'л

~

4dx

б)

f

siл xdx

+ Iл2х)

,

J !,Jcos2 х

х(l

л/2

""

о

/.f+з'

о

б)

.~

1х siп xdx;

-3/4

-1

2

~

7dx

б)

f

xdx

(х2 -

4x)ln 5 '

J ,f{x2 -

')31п 2

- ""-

1

OO~

лdх

1/3

,

.

б) _-~ ,

dx

.

---=---;--;2-;;-::" ;

о

9х2 ' - 9.\"+ 2

(1

+9x~arctg 3х

1/3

'dx

I

л/2

б) f

3 siп

З

xdx

(4 +x2)~11 arctg

;

2

J

.ycos х

о

00

3V9.

~

dx

.

б)

~

9xdx

.

1

(х2

+

2х) IпЗ

'

о

V9-x 2

""~ e-ЗХхdх;

1

б) ~

x 4 dx

.

о

о

Vl-~

((

х2

_

Х

)dx;

3

~-I

~

1

(

2х2 _

dx

.

б)

(

dx

J

2х+

1 '

J VI-2x'

о

1/2

183

00

5

2

8.26;

~

~

а)

dx

.

б)

x dx

-УЗ1 (хз -

1

х2(х+ 1) ,

1

1) .

00

3/2

8.27.

а)

~

dx

б)

~

dx

x(ln х- 1)2 '

1

~Зх - х2

- 2 .

е'

00

4

8.28. а)

~

dx

б)

~

IOxdx

1

(6х2 -

5х+ 1) In ~

о

l/<16_х2)З·

00

1/4

8.21).

а)

~

dx

б)

~

dx

1

9х2 -

9х + 2 '

о

V, - 4'x-~

00

1/2

8.30. а)

~

dx

б)

~

dx

3

х2 -Зх+2 '

(2x_I)2·

О

Решение типового варианта

Вычислить определенные интегралы с точностью до

двух знаков после запятой.

2

1. ~ X(I~X2) .

1

~ Используя			формулу		Ньютона -	Лейбница
ь
~ f(x)dx =	Р(Ь) - Р(а),		Вычисляем. ":reFP~. о.т..в.pOOiю-ра--
а
циональной функции:
	2		2
	f	dx	(( А + Вх + С ) dx =
	)	x(l + х2)	= ) -;-		I + х2
	1		1
		1 =А(l +x2)-t(8х+С)х,
		х=2О	l=А,	"}A=l,
	=	х	О=А+В, 8=-1,=
		х	о=с,		с=о
2 _		2			. _
= r~ _ f~2 = Iп 'Х112 _ ~ '~(1 +х2)12 =
)	Х	) ,+х		I	2	I
1 -		1			"	-

.184

I	. I	3	1		I
= 1n 2- 2 1п 5+ 2		1п 2=2 n		2- 2 1п 5=
3		I	'		~
=2·0,69-2 ·1,61 =0,24.

е

2. ~ 1п2 xdx.

1

~ Дважды применив метод интегрирования по ча­

стям, получим

е		U = 1п2 Х,	du =	2 Iп x~ dx,			1=х ,п2 Х If-
~1	,п2	xdx =Id[,/= dХ,	и=х		х
		е	Iu = 1п х,			I	dx, '1
					du = -			=
		- 2 r 1п xdx =	dv =dx, и=х			х	.
		l

=е1n2е-2(х1пх-х) 11=е-2е+2е-2=0,72. ~

4

3. ( 9x2 -14x+ I dx:

J Х3 -2х2 -х+2 .

3

~ Подынтегральная функция представляет собой пра­ вильную рациональную дробь.

Разложив знаменатель на простые множители, а за­

тем полученную дробь -					на простые дроби, имеем
4		, 2'		•	4	2	dx _
(		9х	-	14х + 1 dx _ f		9х - 14х + I
	J хЗ -2х2 -х+2				- J (х+ 1)(x-I)(x-2)		-
3					3
				4
			= ((_А_ +_В_ +_C_)dx=
				J х+1	х-I	х-2
				3
	9x2 -14x+ 1 =A(x-I)(x-2)+B(x+ I)X
	хх-		1l'- 4 - -28,6А,}			А8-_2,
	Х(х-2)+ с(х+ 1) (x-l),
		_ -		24 _		4,}
	Х=		2	9=	зс,	С=3

4

=~(X~I + Х-=-I + x~2)dx=(41nlx+ll+

3

+ 2lnlxI1 + 3Inlx-21)11=-4-ln 5+ 21п 3+

185

+31п 2 - 41п 4 - 2 lп 2 = lп(54 • 32.2) -lп 44 =

=.п 54. з2 . 2

= lп 11 250

=

3 78.

~

44

256'

~

1

4.

~

хЗdх .

o~

-1-.Jх2 + 1 = t,

х2 + 1 =

12,

xdx = tdl, I

-

1 =1

пр'И

х= О,

1=

-.J2

при

х=

1 . =

=

)(t2 _/)t

di =

~2 -l}dt =( ~p-

t)1; =

0,20...

-у2

-{2

1·1

.

,,/4

5.

r

dx .

)

4-Зсоs2 х+5Siп2 х·

о

~ ПодынтеГРСlJlьиая·ФункIUlЯ. является четной -относи-

1'eJIЬЖ':)

sm х

н

cos х

(рациоиа~ыю'

,зависит от

sin 2 хн

cos~ х),

ПОЭ'rому

применим, ~тmювху

'=tgx (Cl\1t.

формулы's~~1+"

:

,,/4

~

4 --.:. 3 cos2tt;+ 5 sin 2 х =;::

I_

О

.

1= t

gx,

d Х=--dt2' COS

2

--12'

I+t

Х=

l+t

siп2 Х =

2

t = О при х = О

1=

1 при х =

л/4

-

_ t-

1 + t2 '

,

1

J

=

. =

r

dt

+~)

=

(

9t

dt

){I +t2 )(4 ___

)

2

+ 1

3

. 1 + t2

О

1 + t2

Q

=

{- arctg 3/1: =

{- (arctg 3 -

arctg О)=

0,42. ~

1

6.

r

2х-1I

dx.

~ .)3 -

2х-х2

186

~ Разобь-ем данный ,интеграл· иа два интеграла та­ -ким образом, чтобы получить в ЧИС.1Пl'feлепервою произ­

водную от квадратного трехчлена, стоящего под знаком

радикала в знаменателе, -и проведем необходимые пре­

обрсазования. В результате имеем

1

d'

1

d

-

2х - 11

4 ~ -2х - 2

~о -Уз - 2х-х2

х=-

о' -Уз - 2х-х2

х-

1

-19 f

dx

+ 1)2

= -8-VЗ-2х-х211-

~ -У4-

(х

.

О

-19агсsiп Х1 1

1: =8-{3- ~9 л+

1: Л~ -6,05. ~.

10/3

7

f

xdx

. J (Зх-I)-УЗх -

1 .

2/З

~ Данный интеграл приводнтся к интегралу от рацио-

нальной функции с помощью подстаиовки

-V3x -

1 = t.

Имеем

10/3

\'

xdx

J (Зх-I) -узх- 1

2/3

= \-Vзх-

1 = t, 3х-

1 =t2, х:- ~ (t2 + l),dx = ~ tdt,\=

t=1 при х=2/3, t=3 при х=lО/З,

3

1

2

2

3

t3 +t dt=2(t_~)13~059. ~

= f

з(t

+ I),зtdt

=

2 f

J

t 2t .

9 J

t 3

9

t

I

'

1

1

8. Вычислить несобственные Jштегралы или доказать

их расходимость:

1

+2 dx.

а)

б)

fЗх2

JW

-1

о

00

~ а)

~

dx

+С

dx

-

-x~2-+":"4:':"'Х-+-.-9

J;

х2 + 4х +9 =

о

187

,

'

о

+ l'1т

-,arcgt Х

р

=,

=

1т

-,arcgt Х--+ 21

--+ 21'

<1."- -

00 -.j5

-\f5

tt

~_ +

00

-.j5

-.j5 о

=

lim (_'г,:-

arctg _2~

-

. 'г,:-

arctg

a..1s2) +

<1.--00 -у5

-у5 -у5

5

+

,

('

13+2'

arctg -

2)'

11т

- , arctg - ,- , -

-

"

~-00

-{s

,

.j5

-.j5

_ v5

=

,

аге

t

2

-

'(

Л)

+

"л

-

-.j5

g -.j5

-.j5

- 2

-.j5

2

-

,

t

2

л

-.j5

аге g

-15 =

-.j5;

1

О

1

б)

r зх2 + 2 dx = f 3х2 + 2 dx

+ r зх2 + 2 dx =

J:eГi

J:eГi

J:eГi

-1

VX'

-1

-ух'

U

-УХ'

~

(3х4/3 +

3)dx + lim

1

=

lim

~

2x- 2/

~ (3х4/3 + 2x- 2/ 3)dx:-

~-o -

_ 1

,<1 . _ 0 + '"

=

lim (~x7/3+ 6х1/3)I~

+ liт (~x7/3 +6Х1/з)сfl =

~-o -

7

-

1.

,,_0+

7

<1.

li~ (~~7/3 +6~1/3 + ~ + 6) +

~-o-

7

7

+ lim

(~+6- 97

а..7/3

_6а..1/3) = 14~, ~

<1.-0+

7

7

ИДЗ-9.2

1. Вычислить (с точностью до двух знаков после запя­ той) площадь фигуры, ограниченной указанными ли­

ниями.

1.1.р = з-Jсоs 2ер, (Отв(?т: 9,00.)

1.2.У = х2, У = 3 - х. -(Ответ: 10,67.)

1.3.	У =..(х, ~ =			х3• (OT~eг 0,42,)		,
1,4.	х = 7 cos		t,	У = 7 sш	t. (Ответ: 57,70.)
1.5.	р = 4 cos 3ер.			(Ответ:	12,56.)
1.6.	р =	3 cos 2ср. (Ответ:			14,13.)
1.7.	р =	2(1 -	cos <1'). (Ответ: 18,84.)

'88

1.8. р2=2siп2q:>. (Ответ: 1,00.)

1.9. х = 4(t - siп '), У = 4(1 - ' cos t). (Ответ: 150,72.)

1.10.р=2(1 +cos q:». (Ответ: 18,84.)

1.11.р = 2 siп 3q:>. (Ответ: 3,14.)

~.12.p =	2 + cos~. (OTвe~: 14,13.)			,
1.13.у= 1/(1 +х} у=х /2. (Ответ: 1,23.)
1.14. у2	х + 1, У	= 9 -	х. (Ответ:	29,87.)
1.15. :у2 -'- хЗ, х ~ О,		У = 4. (Ответ: 6,{)5.)
1.16. р =	4 siп2 q:>. (Ответ:		18,84.)	.
1.17. х = 3 cos t, У = 2 siп t. (Ответ:				18;84.)
1.18. у2 =	9х. у---,. 3х.(ОТвет:О,50.)'			, ,
1.19. х -":"'3(cos t + t siп t),			У = 3(siп t - t cos t), у = О
(О ~ t ~ л~. ,(OTBeT.~ 29,25.)			, ,

1.20.У = 4х. х = 4у. (Ответ: 5,33.)

1.21.у2=хЗ, х=2. (Ответ: 4,51.)

1.22. У = х2, У = 2 - х2 • (Ответ: 2,67.)

1.23.у2 = (4 - хЗ), х = О. (Ответ: 25,60.)

1.24.р = 3 siп 4q:>. (Ответ: 14,13.)

1.25. У =		хЗ,	у =	1, х =	О. (Ответ: 0,75,),
1.26. ху =6,			х +	у ~ 7	. О. (Ответ: 6,76.) .
1.27. У =		2Х,	У =	2х -	х2, Х = О, х =	2. (Ответ: 3,02.)
1.28, х	2 '	4у,	У =	(2)		4,95.) ,
	=			8/ х	+ 4. (Ответ:

1.29.У = х+ 1, у = cos Х, ~ = О. (Ответ: 1,50.)

1.30.х=2соsЗt, у=2siп t. (Ответ: 4,71.)

2.Вычислить (с точностью до двух знаков после запя-

той) ДЛI1НУ Дуги данной линии. '								'	'.
2.1.	х =	2 соs	З	t,	У = 2 siп	З	t. (Ответ: 12,00.) ,
2.2.	х =	2(cos t +			t siп t),		У =2(siп t ~ t cos t)		(О ~

~t ~ л). (Ответ: 9,86.)

2.3.Р -siп~ ~q:>/3) (О ~ q:> ~ л/2). (Ответ; 0,.14.)

2.4.р= 2 slП (q:>/3) (О ~ q:> ~ л/2). (Ответ. 0,27.)

2.5~ -{[;2 +-V;/ =-Н9. (QTBeT:						18,00.)
2.6.	х2/З	+ у2/З		=	4~/З. {Ответ:	24,00.)
" .,2.7. у2-:- (х + 1)3,					отсеченной	прямой	х =	4.	(Ответ'
24,8Ц".									.
2.8. У =		1 -Iп cos х (О ~ х ~ л/6). (Ответ: 0,55.)
2.9.	~ =	6 cos	3				•		'
				~q:>/3) .(0 ~.q:>4~ лj2). (~TвeT.				8,60.)
2.10.	х =	4 cos		t,	У = 4 slП t.	(Ответ.	24,00.)		-v125)
2.11.	у2 = (х""":' I? от точки A(I, О) дО точки В(6,
(Ответ:	8,27.)				. '				.

2.12.у2 = х5, отееченной прямой х= 5. (Ответ: ,Q4,81.)

2.13.р = 3 cos q:>. (Ответ: 9,42.)

2.14. р =	3(1 -		eos q:».	(Ответ:	24,00.)
2.15. р =	2 соs	З	(q:>/3).	(Ответ:	9,42.)

1~9

2.16. x=5cos 2 t,	у=5siп2 t (0:;;;;;t~я/2). (Ответ:
7,05.)
2. t 7. 9у2 = 4 (3 -	х)''' между точками пересечения с осью

Оу. (Ответ: 9,33.)

2.18.Р = 3 siп 'Р. (Ответ: 9,42.)

2.19.У = ln sin х (11.13 ~ х ~ 11.j2). (Ответ: 0,55.)

2.~O. х =9(t -		sin t), у = 9(1 -	cos t)	(О ~ t ~ 2л). (От­
вет: 72,00.)	2(1 -	cos Ч'}. (Ответ:	16,00.)
2.21. Р =
2.22. у2 =	(х -	1)3 от точки А(2,	- 1) до точки В(5, -:- 8).
(Ответ: 7,63.)				(2я ~ t :;;;;;,411.).
2.23. х = 7(/ -		sin t), у = 7(1 -	cos ')

(Ответ: 56,00.)

2.24.У = ех/2 +е-х/2 (О ~x :;;;;; 2). (Ответ: 2,35.)

2.25.х = 4 cos3 " У = 4 sin3 [. (Ответ: 24,00.)

2.26.х=-{3t2, у= t - 13 {петля). (Ответ: 4,00.)

2.27.Р = 5 s1пtp. (Ответ: 15,70.)

2.28.р = 4 cos ер. (Ответ: 12,56.)

2.29.р = 5(1 +cos ср.) (Ответ: 40,00.)

2.30.у2 =? ОТ точки А{О, О) до точки В(4, 8). (Ответ:

9,07.)

3. Вычислить (с точностью до двух знаков после запя­ той) объем тела, полученного вращением фиryры Ф вокруг

указанной	оси координат.	.
. 3.1. Ф:	у2. 4 -х, х = О, Оу. (Ответ:	107,17.)

,3.2. Ф: -,Jj+~=-/2, х=О, у=(}, Ох. (Ответ: 1.68.)
3.3. ф; х 19 +У /4 =		1, Оу. (Ответ: 150,72.)
,3.4. Ф: у3 = х2, У = 1,			Ох. (Ответ:	3,59.)
3.5. Ф: х =	6(! - sin t),		у = 6(1 -	co:s [).	Ох.	(Ответ:
1064,88.)		У = 4 sin2 t
3.6. Ф: х =	3 cos2 t,			(О ~t ~ 11./2),			Оу.
(Ответ: 37,68.)				0,94.)	.
~.7. Ф: у2 =	Х, х2 = у,		Ох. (Ответ:
3.8. Ф: у2 =	(х - 1)3,	Х = 2, Ох. (Ответ:			0,78.)
3.9. Ф: x=~2, у=-!+х, 9=0, Ох. (Отве/'
1,24.}				.
.'3.10. Ф: 92	sin х, V= О (о:;;;;; х:;;;;; 11.), Ох. (Ответ:						4,93.)
3.11. Ф: у = 4х, х = 4у, Ох. (Ответ: 60,29.)						83,73.)
3.42. Ф: x=2eost,		у=5siп [,		Оу. (Ответ:

3.13.Ф: у = х2, 8х = у2, Оу. (Ответ: .-15,07.)

3.14.Ф: у=е", х=о, у=О, х= 1, Ох. (Ответ: 10,05.)

3.15.Ф: у2 = 4xj3, х = 3, Ох. (Ответ: 90,43.)

190

·3.16. Ф: у=2х-х2• у=О. Ох. (ОтдеТ: 3,35.) .
3.17. Ф: р =			2(t + cos q», полярная ось. {Ответ= 66,99.)
3.18. Ф: х =			7 cos3 t, У = 7 sin t. Оу. (Ответ: 328,23.)
3.19. Ф: x2 /16+y2Jl=1, Ох. (Ответ: 16.75.)
3.20. Ф: х	з	=	(у - 1?, х = о, у = о, Ох. (Ответ: 6,44.)
3.21.Ф: ху=4. 2х+у-6=0, Ох. (Ответ; 4,19.)

. 3.22. Ф: х =-/3cos [, у = 2 sin [, Оу. (Oт8eT:25.12.)

3.23. Ф: у=2-х2, у=х2, Ох. (Ответ: 16,75.)
. 3.24. Ф: у =			_х2 +8, у =х2, Ох. (Ответ: 535,89.)
3.25. Ф: у2= (х +4У\ х = О, ОХ. (Ответ: 200~96.}
3.26. Ф: у =			з	х = О, У =	8, Оу. (Ответ: 60,29.) ,
			х ,
3.27.Ф: х =			cos:J [~ У = siп3 t, Ох. (Ответ: 0,.96.)
3..28.	Ф:	2у = х2,		2х + 2у -	3 = О, Ох. (Ответ: 57,10.)
3.29;	Ф:	у = х -		х2, У = О,	Ох. (Ответ: 0,10.)

'3.30. Ф:у=2-~/2, х+у=2, Оу. (Ответ: 4,17.)

4. Вычислить (с точностью до двух знаков после за-

пятой) площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L В,9круг указанной оси..

4.1. L: у=х3/3 (-1/2~x~ 1/2), Ох. (OT'l'Je"f: 4,25.)

4.2. L: р --:' 2 cos ер, полярная .OCb.{()Tseт:12~57.} .

4.3. L: х = 10(t -	siп t), у = 10(1 - cos 1)(0 ~ t ~2Jt),
Ох. (Ответ: 6698,67.)	.

4.4. L: у = х2/2, отсеченная прямой у = 3/2, Оу. (От­

вет: 14,65.)

4.5.L: 3у = х2 (о ~ Х ~ 2), Ох. (Отв-ет: 24,09:)

4.6.L: у =';-;, отсеченная прямой у = Х, ОХ. (Ответ:

5,34.)		2(1 -	siп t).	У = 2(1- cos [) (О ~ t ~ 2л),
. 4.7.. L:	х =
Ох. (Ответ: 267,95.)				3 + siп t, Ох. (Ответ: 118,32.)
4.8. L:	х =	cos t,	У =

4.9.L: 3х = уЗ (о ~ у ~ 2), Оу. (Ответ: 24,09.)

4.10.L: у=хЗ/З (-1 ~x~ 1), Ох. (Ответ: 1,27.)

+siп t, Ох. (Ответ: 32,28.)

+у, отсекаемая прямой у = 2, Оу.

(Ответ: 259,57.)

,С 4.13. L: Х= 3«( - sin t), у = 3(1 - cos () (о ~ t ~ 2л),

Ох. (Ответ: 602,88.)

4.14.L: х = соsЗ [, У = siпЗ t, Ох. (Ответ: 7,54.)

4.15.L: р =-Vcos 2ср, полярная ось. (Ответ: 14,82.)

+х, отсекаемая прямой х = 2, Ох.4.16. L:

(Ответ:	64,89.)
4.17.	L: у = 2х, . отсекаемая прямой 2х = 3, Ох.
(Ответ:	14,65.)

191

4.18.L:		3~ =	х3	(О ~ Х ~ 1), Ох. (Ответ: 0,63.).			'
4.19.	L.	р =	4 cos 2'Р, полярная			ось. (Ответ.	14,80.)
4.20.	L:	р =	6 siп 'Р,		полярная ось. (Ответ:		354,96.)
4.21.	L: х =		t -	sin t,	у = 1 ~ cos t (О ~ t ~ 2л:), Ох.
(Ответ:	66,99.)
4.22.	L:	р =	2 siп 'Р, полярная ось. (Ответ: 39,44.)
4.23.	L:		2		полярная	ось. (Ответ:	7.07.)
		р =3' cos 'Р,
4.24.	L:	х= 3cos3 t,			У = 3siп3 t,	ох. (Ответ:	67,82.)

4.25.L: х = 2 cos t, у,= 3 + 2 siп t, Ох. (Ответ; 236,64.)

4.26.L: р2 = 9 cos 2'Р, полярная ось. (Ответ:' 16,38.)

4.27.	L: у =		х3 между	'ПРЯМЫМII'Х=4 Ц3;Ох.
(O'FвeT:	0,84.)				,
4.28.	L:x =		2 cos3 t,y::'!sm3 t; Ox~"f(ih.er.\:"~,14.)
4.29.	L:	х =	cos t, У =	2+ siп t,	"ох.· '(Orв'et': '~""8.)
4.30.	L:	р =	4 siп 'Р, полярная		ось. (Ответ: 157,76.)

Решение типового варианта

, . 1. Вычислить (с точностью дО ДВУХ знаков после за­

пяТой) площадь фш>уры, ограниченнОЙЛlШIIямИ'i/..:.:...lп х

и у = Iп2 Х (рис. 9.23.)

,

,"

,"" . :

"

ох

Рис. 9.23

~Найдем точки пересечения дащ:IЫХ крнвых: МI (1, О),

М2(е, 1);- Теперь -воспользуемся формулой						,9.1). иMee-w.'
		е
		S =~ (lп х -lп2			x)dx,
~ 1п	2	Iи= I	1п2 х,	du =	2 1п х~ dx, I
	xdx =	q,p =	dx,	V = х'		=
		= х 1п2 Х -		2~ 1п xdx,