145

Змістовий модуль 2

Інтеграли Ряди. Диференціальні рівняння

Семінарське заняття 9

Тема 9. Невизначений інтеграл. Комплексні числа

Питання для усного опитування та дискусії

9.1. Задача інтегрального числення. Первісна.

9.2. Невизначений інтеграл, його властивості. Таблиця інтегралів.

9.3. Заміна змінних та інтегрування по частинах у невизначеному інтегралі.

9.4. Комплексні числа, операції над ними.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.

Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є: первісна, інтеграл, таблиця інтегралів, безпосереднє інтегрування, метод підстановки (заміни змінних), інтегрування по частинах, комплексне число, алгебраїчна форма комплексного числа, тригонометрична форма комплексного числа..

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Невизначений інтеграл

1. Первісна функція, невизначений інтеграл

Основна задача диференціального числення – це знаходження похідної або диференціала заданої функції. Сформулюємо обернену задачу по заданій похідній або диференціалу деякої невідомої функції потрібно знайти цю функцію. Інакше кажучи, маючи абопотрібно знайти невідому функціюЦе – основна задача інтегрального числення.

Первісною функцією для даної функції на даному проміжку називається така функціяпохідна якої дорівнюєабо диференціал якої дорівнюєна розглядуваному проміжку.

Наприклад, однією з первісних для функції є функція, оскількиІншою первісною для цієї ж функції є функціяМає місце

Теорема. Дві різні первісні однієї й тієї ж функції, визначеної в деякому проміжку, відрізняються між собою в цьому проміжку на один і той же сталий доданок.

Дійсно, нехай та– різні первісні для функціївизначеної в деякому проміжку, так щов цьому проміжку. Але якщо дві функціїмають рівні похідніто вони розрізняються між собою на сталий доданок:

,

що і потрібно було довести.

Геометрично це означає, що коли та– дві первісні однієї й тієї ж функції, то дотичні до їх графіків при кожному значенніз даного проміжку паралельні між собою. Таким чином, віддаль міжтавздовж осізалишається сталою:(рис. 1).

y
		М2	y=F2(x)
		с
		М1	y=F1(x)
0	x			x

Рис. 1. та– первісні функції.

Отже, знайшовши одну яку-небудь первісну для даної функціїта додаючи до неї всі можливі сталі, одержуємо всі первісні для функції.

Спільний вираз для всіх первісних даної неперервної функції називаєтьсяневизначеним інтегралом від функції або від диференціального виразуі позначається так:(тут– підінтегральна функція, а– підінтегральний вираз).

Згідно з доведеним, деа– довільна стала.

Геометрично невизначений інтеграл – це сімейство “паралельних” кривих (Рис. 2)

y
0			x

Рис. 2. Геометрична ілюстрація невизначеного інтеграла.