Якщо ряд (1) збігається, то його – ний член прямує до нуля при необмеженому зростанні.

Дійсно, якщо ряд (1) збігається, то та. Таким чином,, або.

Це означає, що , що і потрібно було довести.

Звідси як наслідок випливає достатна ознака розбіжності ряду: якщо – ний член ряду не прямує до нуля при , то ряд розбігається.

Приклад №3. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'яування. Оскільки , то ряд збігається.

Зауважимо, що у випадку, коли , ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

Так, наприклад, далі буде показано, що так званий гармонічний ряд

розбігається, хоча

б) Розглянемо ряди (1) і (3) з додатними членами:

та

Нехай кожен член ряду не більше відповідного члена ряду, тобто. Тоді:

1. якщо збігається ряд , то збігається і ряд.

2. якщо розбігається ряд , то розбігається і ряд.

Це – так звана ознака порівняння.

Дійсно, якщо ряд збігається, то його -на частинна сума не перевищує , де– сума ряду. Але -на частинна сума рядуне перевищуєі, отже, обмежена зверху числом. А це означає, що рядзбігається.

Якщо ж ряд розбігається, то його частинні суми необмежено зростають:. Оскільки, то і. Оскільки, то і. Значить, рядрозбігається, що і потрібно було довести.

Приклад №4. Дослідити на збіжність ряди.

а) б)за допомогою ознаки порівняння.

Розв'язування.

а) Оскільки , а рядрозбігається, то і рядтакож розбігається.

б) Оскільки , а рядзбігається як геометрична прогресія, знаменник якої менший від одиниці, то і рядзбігається.

На практиці часто користуються граничною ознакою порівняння рядів з додатними членами: якщо границя відношення таіснує і не дорівнює нулю

то ряди іабо обидва збігаються, або обидва розбігаються.

в) Розглянемо достатні ознаки збіжності ряду, які використовують лише вирази для його членів.

Ознака Даламбера. Нехай дано ряд з достатними членами. Якщо приіснує границя відношення наступного члена до попереднього, що дорівнює:

то при , ряд збігається, а при– розбігається (приряд може бути як збіжним, так і розбіжним).

Приклад №5. Дослідити на збіжність ряд

Розв'язування. Тут

Тому

Отже, даний ряд збігається.

Зауважимо, що коли аледля всіх номерів, починаючи з деякого, то ряд розбігається, оскількиі загальний член не прямує до нуля при. Ряд буде розбіжним і в тому випадку, коли.

Ознака Коші. Якщо для ряду з додатними членами величинамає скінченну границюпри, тобто

,

то при ряд збігається, при– розбігається (приряд може бути як збіжним, так і розбіжним).

Приклад №6. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язок. Застосуємо ознаку Коші:

Ряд збігається.

Інтегральна ознака збіжності ряду.

Нехай члени ряду додатні та не зростають, тобтоі нехай– така неперервна незростаюча функція, що. Тоді справедливі наступні твердження: якщо невласний інтегралзбігається, то збігається і ряд; якщо вказаний інтеграл розбігається, то розбігається і ряд.

Приклад №7. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язування. Покладемо та застосуємо інтегральну ознаку. маємо:.

Отже, при буде– ряд збігається. У випадку– ряд розбігається. І, нарешті, при(випадок гармонічного ряду)– ряд розбігається.

4. Знакозмінні ряди

Вивчимо питання про ряди з довільними членами.

а) Розглянемо ряд, знаки якого строго чергуються:

(6)

де – додатні числа. Має місце

Теорема Лейбніца. Якщо в ряді (6) абсолютні значення членів ряду спадають, тобто

і загальний член ряду прямує до нуля, то ряд збігається, причому його сума за абсолютною величиною менша від залишок рядуза абсолютною величиною менший за абсолютну величину першого з відкинутих членів:.

Приклад №8. Дослідити на збіжність ряд

Розв'язок. Цей ряд збігається, оскільки таПри цьому частинна сумавідрізняється від сумиряду на величину меншу, ніж.

б) Для рядів з довільними знаками їх членів найчастіше користуються наступною достатньою ознакою збіжності.

Якщо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду, збігається, то збігається і даний ряд.

Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Так, наприклад, ряд

збігається згідно з теоремою Лейбніца, а ряд, складений із абсолютних величин його членів (гармонічний ряд)

розбігається (наприклад, згідно з інтегральною ознакою).

Ряд, абсолютні величини членів якого утворюють збіжний ряд, називається абсолютно збіжним. Якщо ряд збігається, а ряд, утворений з абсолютних величин його членів, розбігається, то даний ряд називається неабсолютно або умовно збіжним.

Розглянутий вище ряд є умовно збіжним.

Виявляється, що коли ряд збігається абсолютно, то він залишається абсолютно збіжним при будь-якій перестановці його членів. При цьому сума ряду не залежить від порядку його членів. Якщо ж ряд збігається умовно, то яким би не було число А, можна так переставити члени цього ряду, щоб його сума виявилась рівною А. Більше того, можна, так переставити члени умовно збіжного ряду, що ряд, одержаний після перестановки, виявиться розбіжним.