Семінарське заняття 14

Тема 13. Загальні відомості про диференціальні рівняння. Деякі типи диференціальних рівнянь першого порядку

Питання для усного опитування та дискусії

13.1. Основні поняття і означення теорії диференціальних рівнянь.

13.2. Диференціальні рівняння з відокремленими та з відокремлюваними змінними.

13.3. Задачі на складання диференціальних рівнянь.

13.4. Наближені методи розв’язування диференціальних рівнянь.

13.5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

13.6. Рівняння, що зводяться до однорідних.

13.7. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

13.8. Рівняння Бернуллі.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : диференціальне рівняння, порядок диференціального рівняння, загальний розв’язок диференціального рівняння, задача Коші, частинний розв’язок диференціального рівняння, загальний інтеграл диференціального рівняння, поле напрямків, метод Ейлера, наближене інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів, відокремлення змінних, однорідні диференціальні рівняння першого порядку, лінійні диференціальні рівняння першого порядку, рівняння Бернуллі.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну х, невідому функцію у(х) та її похідні. Найвищий порядок похідної від шуканої функції, що входить до диференціального рівняння, називається його порядком. Загальний вигляд диференціального рівняння n-го порядку такий:

F(x,y,y^/,…,y⁽ⁿ⁾)=0.

Диференціальне рівняння першого порядку , в якому при диференціалах dx та dy стоять відповідно функції, залежні тільки від x чи тільки від у , називаються диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Диференціальне рівняння вигляду

f₁ (x) g₁ (y) dx=f₂ (x) g₂ (y) dy

називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

Рівняння першого порядку

називається однорідним відносно х та у, якщо для будь якого справедлива тотожність

Зауваження. До однорідних рівнянь зводяться диференціальні рівняння виду:

1. У разі, коли слід виконати заміну змінних:деh i k – сталі, підібрані таким чином, щоб дане рівняння перетворилося на однорідне рівняння виду:

Оскільки тасталіh i k слід підібрати так, щоб виконувалися рівняння:

Ця система має єдиний розв’язок (тому що, згідно з умовою, ).

2. Якщо тооскількита. У цьому разі вихідне рівняння подамо у вигляді:

Якщо в цьому рівнянні виконати заміну залежної змінної за формулою ax+by=z , то воно перетвориться у диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції та її похідної:

де Р(х), Q(x) – задані неперервні функції від х.

Якщо, зокрема, Q(x)=0, то рівняння

називається лінійним однорідним (або рівнянням без правої частини), а рівняння (1), в якому Q(x)0 – неоднорідним.

2.2 Рівняння Бернуллі.

Диференціальне рівняння виду:

,

в якому - неперервні функції, а числоn відмінне від нуля та одиниці, називається рівнянням Бернуллі (при n = 0 маємо лінійне рівняння, а при n = 1 – рівняння з відокремлюваними змінними).