6. Економічні застосування інтегралів

Визначений інтеграл має багато інших геометричних, фізичних, механічних застосувань тощо. Зупинимося на деяких його економічних застосуваннях, що пов’язані з сумарними ефектами.

1. За допомогою визначеного інтегралу можна визначати загальний дохід, якщо відомий граничний прибуток. Нехай, наприклад, функція граничного доходу задається формулою

,

де – кількість поданих одиниць товару. Визначимо дохід від продажу 100 одиниць товару.

Розв'язування.(грн.)

2. Визначений інтеграл дозволяє розв’язувати задачу визначення додаткової вартості.

Нехай задано функції пропозиції та попиту(рис. 10).

А (попит)

1500 (пропозиція)

300 В

Е

_{0 20 30} р (ціна)

Рис. 12. Задача про додаткову вартість.

Визначаємо, що при. При цьому попит дорівнює 300 одиниць. Дохід за продану продукцію становить для виробника 20*300=6000 грн та зображається площею прямокутникаЕкономічний зміст має ціна за одиницю товару, більша за 20 грн. (якщо попит перевищує пропозицію, то, звичайно, знайдуться покупці, які куплять товар дорожче, ніж за 20 грн). мірою справжньої корисності товару, вважають економісти, є площа фігури. Площа заштрихованої фігури (криволінійного трикутника) називається додатковою вартістю. Визначимо цю площу за допомогою інтегралу

грн.

Отже, додаткова вартість дорівнює 1333,33 грн.

3. Для подолання наслідків стихійного лиха в деяку місцевість надходять благодійні внески, розмір яких наближено описується функцією , причомувимірюється в днях від моменту стихійного лиха, а– в тисячах гривень. Визначити:

   1. скільки внесків надійде на другий день ?

   2. яка сума внесків очікується за три дні з моменту початку стихійного лиха?

Розв'язок. а) Визначимо :

тис. грн.

б) Сумарні внески за три дні визначимо за допомогою визначеного інтеграла:

тис. грн.

Аналогічно розв’язуються задачі про епідеміологічний контроль, про потребу підприємства в матеріалах, про рівень затрат га ремонт приладів, про чисельність населення та ін.

4. Нехай виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд:

(– об’єм випуску продукції (тис. шт.),– час (роки)). Потрібно знайти об’ємпродукції, виготовленої за 3 роки.

Розв'язок. Об’єм виготовленої продукції дорівнює визначеному інтегралу

.

Інтегруючи частинами, знаходимо:

(тис. шт.)

Отже, за 3 роки буде виготовлено приблизно 1309 тис. шт. одиниць продукції.

5. За допомогою кривої Лоренцо (рис. 11), що відображає залежність долі прибутків від долі населення, оцінюють нерівномірність в розподілі прибутків населення (якщо розподіл прибутків рівномірний, то крива Лоренца вироджується в пряму).

(доля прибутків)

1

_{0 1 х (доля населення)}

Рис. 13. Крива Лоренца

Мірою цієї нерівномірності є коефіцієнт Джіні :де– площа , а – площа трикутника. При цьому чим більше, тим нерівномірніший розподіл прибутків населення.

Нехай, наприклад, . Тоді. Оскільки, то. Розподіл прибутків населення істотно нерівномірний. Якщо ж, то аналогічно можна показати, що. У цьому випадку розподіл прибутків у меншій мірі нерівномірний.