6. Інтегрування диференціальних біномів

Інтеграл від диференціального бінома (– раціональні числа,– сталі) зводиться до інтеграла від раціональної функції і, отже, виражається через елементарні функції в таких трьох випадках:

1. –ціле число (тобто додатне, від’ємне ціле число чи число нуль);

2. –ціле число;

3. –ціле число.

У всіх інших випадках, як довів Чебишев, інтеграл не може бути виражений через елементарні функції.

Якщо – ціле число, то ситуація зводиться до розглянутого вище випадку І в п. 1 даної лекції. Якщо– ціле число, то слід виконати заміну змінних, де– знаменник числа. Якщо ж– ціле число, то слід виконати заміну змінних(– знаменник числа).

Наприклад. Знайти інтеграл

Розв’язок. Тут Ми зустрічаємося, з тією ситуацією, коли– ціле число. Отже, виконуємо замінуЗвідси отримаємо:Отже,а це – простий інтеграл від раціональної функції. Маємо:

7. Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо інтеграл виду Цей інтеграл за допомогоюуніверсальної тригонометричної підстановки зводиться до інтеграла від раціональної функції.

Дійсно, маємо:

Таким чином, інтеграл раціонально виражається через.

Наприклад.

В деяких випадках більш доцільно користуватися не універсальною тригонометричною підстановкою (якщо вона призводить до громіздких виразів під знаком інтеграла), а іншими методами.

1. Інтеграл виду зручно знаходити за допомогою тригонометричної підстановкиТодіі ми одержуємо

2. Аналогічно задача знаходження інтеграла виду розв’язується шляхом введення підстановки

3. Щоб перейти від інтеграла до інтеграла від раціональної функції, досить виконати підстановкуДійсно при цьомуі ми одержуємо інтеграл від раціональної функції виду

4. Якщо тамістяться під знаком інтегралалише в парних степенях, то доцільною є підстановкаПри цьому.

5. Розглянемо інтеграл виду (– цілі числа). Можливі такі випадки:

6. Хоч одне з чисел непарне. Проілюструємо хід міркувань на такому прикладі.

Таким чином, ввівши підстановку приходимо до інтеграла від раціональної функції.

7) Числа, – невід’ємні і парні.

Доречно скористатися відомими формулами тригонометрії.

Наприклад. Знайдемо інтеграл .

Маємо: .

8. Числа іпарні, але хоча б одне з них – від’ємне.

В цьому випадку зручно скористатися заміною або.

8. Інтеграли виду талегко знайти, якщо перетворити підінтегральні добутки в суми:

,

Зауваження. Будь-яка неперервна на деякому інтервалі функція має на цьому інтервалі первісну, але не всяка первісна виражається через елементарні функції в скінченому вигляді. Це стосується, наприклад, таких інтегралів:

та ін.

Для практичних застосувань складають таблиці значень таких функцій при різних . Наприклад, в курсі теорії ймовірностей та математичної статистики ми будемо зустрічатися з функцією Лапласата користуватимемося таблицею значень цієї функції при різних.

Семінарське заняття 11

Тема 10. Визначений інтеграл. Невласні інтеграли. Кратні інтеграли

Питання для усного опитування та дискусії

10.1. Визначений інтеграл (означення, властивості, способи обчислення).

10.2. Невласні інтеграли першого і другого роду.

10.3. Подвійні та потрійні інтеграли, їх властивості, способи обчислення.

10.4. Застосування інтегралів.

Аудиторна письмова робота