Семінарське заняття 13

Тема 12. Степеневі, тригонометричні, функціональні ряди

Питання для усного опитування та дискусії

12.1. Означення степеневого ряду. Теорема Абеля.

12.2. Розкладання функцій у степеневі ряди.

12.3. Застосування степеневих рядів до наближеного інтегрування.

12.4. Ряди по ортогональних функціях. Ряди Фур’є.

12.5. Функціональні ряди та їх збіжність.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.

Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : степеневий ряд, радіус збіжності, теорема Абеля, ряд Тейлора, ряд Маклорена, наближене інтегрування за допомогою рядів, функціональний ряд, область збіжності, ряд Фур’є, ортогональна система функцій.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Степеневі ряди

1. Теорема Абеля.

Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

де – сталі числа, які називаєтьсякоефіцієнти ряду.

Степеневим рядом називають також функціональний ряд виду

де – деяке стале число. ввівши взмінної, одержимо ряд виду.

за степенями Х.

Має місце

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збігається при деякому значенні, не рівному нулю, то він абсолютно збігається при будь-якому значенні, для якогоякщо рядрозбігається при деякому значенні, то він розбігається при будь-якому, для якого

Дійсно, оскільки числовий ряд

збігається, то його загальний член при. Отже, існує таке додатне число М, що всі члени ряду (3) за абсолютною величиною менші М.

Представимо ряд (1) у формі

та поставимо йому у відповідність ряд з абсолютних величин його членів:

Останній ряд збігається, оскільки його члени не перевищують відповідних членів ряду

(4)

(при ряд (4) – це складна геометрична прогресія і, отже, збіжний ряд).

Якщо ж в деякій точці ряд (1) розбігається, то він розбігається також в будь-якій точці, що задовольняє умову, інакше це суперечило б щойно доведеному.

2. Інтервал і радіус збіжності.

З теореми Абеля випливає, що коли є точкою збіжності ряду (1), то в інтерваліцей ряд абсолютно збігається. Якщо ж приряд (1) розбігається, то він розбігається також за межами інтервалу. Отже, існує числотаке, що приряд (1) абсолютно збігається, а при– розбігається. Таким чином, областю збіжності степеневого ряду є інтервал з центром в початку координат.

Інтервалом збіжності степеневого ярду називається такий інтервал , що для будь-якої точки,що лежить всередині цього інтервалу, ряд збігається, причому абсолютно, а для точок, що лежать поза ним, ряд розбігається (рис. 1). Числоназиваєтьсярадіусом збіжності степеневого ряду. В деяких випадках може дорівнювати 0 чи.

Питання про збіжність степеневого ряду при розв’язується окремо для кожного конкретного ряду.

Приклад №1. Знайти область збіжності степеневого ряду

Розв'язування. Покладемо . Тоді.

Згідно з ознакою Даламбера, степеневий ряд абсолютно збігається при , а при– розбігається. Таким чином, радіус збіжності ряду. Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності. Приряд

розбігається, а при ряд

збігається. Таким чином, область збіжності степеневого ряду: .

Аналогічно для визначення інтервалу збіжності можна користуватися ознакою Коші.