Семінарське заняття 17

Тема 14. ЛДР вищого порядку з правою частиною спеціального виду

Питання для усного опитування та дискусії

14.7. Випадок правої частини вигляду Р_п(х).

14.8. Випадок правої частини вигляду .

14.9.Випадок правої частини загального спеціального вигляду .

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.

Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : метод підбору, специфіка вигляду частинного розв’язку у^*, перевірка на співпадання числа «0», «», чи «» з коренями характеристичного рівняння.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Розглянемо диференціальне рівняння

в якому - лінійні числа, а- функція виду

де - многочлени-го і-го степеня,- дійсні числа. Виявляється, що це рівняння можна досить легко розв’язати, не вдаючись до методу варіації довільних сталих і навіть без інтегрування. Це надзвичайно важливо, бо багато практичних задач зводиться саме до такого рівня. Описаний нижче метод називають методом підбору.

7.2.1. Для простоти розглянемо спочатку частинний випадок правої частини рівняння , коли :

Вигляд частинного розв'язку залежить від того, збігається чи ні числоз коренями характеристичного рівняння .

А) Нехай число не є коренем характеристичного рівняння :Тоді частинний розв'язокслід шукати у вигляді

де - многочлениn – го степеня відносно х з невизначеними коефіцієнтами :

Б) Нехай число є однократним (простим) коренем характеристичного рівняння. Частинний розв’язокв цьому разі шукатимемо у формі

В) Нехай число є двократним коренем характеристичного рівняння:Частинний розв’язокслід шукати у вигляді

Розглянемо диференціальне рівняння загального виду

.

У цьому разі форма частинного розв’язку істотно залежить від того, збігається чи ні комплексне числоз коренямихарактеристичного рівняння.

А) Нехай число не є коренем характеристичного рівняння:Тоді частинний розв'язокшукають у вигляді

де і- многочлени з невизначеними коефіцієнтами одного і того самого степеня, що дорівнює найбільшому степеню многочленівта.

Б) Якщо число є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв'язокмає вигляд

.

Семінарське заняття 18

Тема 14. Диференціальні рівняння вищих порядків. Лдр вищого порядку з правою частиною спеціального виду

Питання для усного опитування та дискусії

14.10.Системи диференціальних рівнянь. Метод виключення.

14.11. Задача Коші для системи двох диференціальних рівнянь першого порядку.

14.12. Елементи якісної теорії диференціальних рівнянь.

14.13. Застосування систем диференціальних рівнянь.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : система звичайних диференціальних рівнянь, задача Коші для системи диференціальних рівнянь, метод виключення при розв’язуванні систем диференціальних рівнянь, обмеженість (необмеженість) розв’язків диференціальних рівнянь, застосування систем диференціальних рівнянь в економіці, екології, у природознавстві.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Системи звичайних диференціальних рівнянь.

Метод виключення змінних