3. Властивості степеневих рядів

Відзначимо основні властивості степеневих рядів.

1. Сума степеневого ряду є функція, неперервна в інтервалі збіжності ряду. Відзначимо, що в тому кінці інтервалу, де степеневий ряд збігається, його сума також неперервна.

2. Степеневий ряд можна почленно інтегрувати в інтервалі збіжності.

Так, якщо

то

3. Степеневий ряд можна почленно інтегрувати в інтервалі збіжності.

Продовжуючи послідовно диференціювання, одержимо:

і так далі. Степеневий ряд в інтервалі його збіжності можна почленно диференціювати будь-яке число раз. При цьому інтервал збіжності кожного ряду, одержаного в результаті диференціювання, є той же інтервал .

4. Ряди Тейлора і Маклорена. Приклади

Для функції , яка має всі похідні до-го порядку включно, в околі точкимає місце вже відома нам формула Тейлора:

де залишковий член обчислюється за формулою:

Припустимо, що і

1. функція має похідні всіх порядків в околі точки;

2. 

Представимо формулу у вигляді

,

де

Перейдемо до границі у формулі (6):

звідки одержуємо:

Отже,

Нескінченний ряд називаєтьсярядом Тейлора (при – рядом Маклорена).

Підкреслимо, що ряд Тейлора представляє дану функцію тільки тоді, коли(в противному випадку ряд може збігатися до іншої функції). Наведемо кілька важливих рядів Маклорена

Приклад №2. Розкладемо в ряд Маклорена функцію .

Оскільки іто ряд Маклорена для функціїмає вигляд:

.

Приклад №3. Розкладемо в ряд Маклорена функцію .

Аналогічно прикладу №2 мажмо:

Цей ряд збігається при всіх значеннях до функції.

Приклад №4. Розкладемо в ряд Маклорена функцію

.

Цей ряд збігається при .

Зокрема, при маємо:

, при –

при –

Приклад №6. Одержимо ряд Маклорена для функції .

Для цього застосуємо теорему про інтегрування степеневих рядів до ряду

Маємо: і, отже,

Приклад№7. Ряд Маклорена для функції одержується шляхом інтегрування ряду

в межах від 0 до :

.

Приклад №8. Розкладемо в ряд Маклорена функцію

Використовуючи біномний розподіл функції та замінившина, будемо мати:

Оскільки , то, інтегруючи останній ряд, будемо мати:

.

Ряди по ортогональних функціях

Дамо означення ортогональних функцій. Дві дійсні функції та, задані на скінченому або нескінченному інтервалі, називаютьсяортогональними одна одній на цьому інтервалі, якщо (вважаємо, що функціїтаабсолютно інтегровані). система функцій називається ортогональною на деякому інтервалі, якщо кожні дві функції з цієї системи ортогональні одна одній на цьому інтервалі.

Приклад №1. Ортогональною є система функцій 1, на інтервалі. Це дійсно так, оскільки привиконуються умови:

при будь-яких – умова. Ортогональною на інтерваліє система функцій

.

Приклад №2. При ортогональні один одному многочлени Лежандра:

і т.д.

Вивчимо питання про ряди по ортогональних на проміжку функціяхтобто про ряди видуде– числові коефіцієнти.

Якщо представлення (2) можливе для будь-якої скінченої функції , то система функційназиваєтьсяповною.

Нехай жодна з функцій не дорівнює тотожно нулю. Знайдемо коефіцієнтив формулі (2). Для цього помножимо обидві частини цієї рівності ната про інтегруємо результат по інтервалу:

В силу ортогональності системи функцій майже всі інтеграли справа (крім одного) перетворюються в нуль. Звідси одержуємо формулу для коефіцієнтів

(3)