Семінарське заняття 15

Тема 14. Диференціальні рівняння вищих порядків

Питання для усного опитування та дискусії

14.1.Диференціальне рівняння вищого порядку, розв’язане відносно старшої похідної, права частина якого – задана функція від х.

14.2. Диференціальне рівняння вищого порядку, яке допускає зниження порядку шляхом введення нової змінної р(х).

14.3. Диференціальне рівняння вищого порядку, яке допускає зниження порядку шляхом введення нової змінної р(у).

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : загальний розв’язок (інтеграл) диференціального рівняння вищого порядку, частинний розв’язок (інтеграл) диференціального рівняння вищого порядку, метод послідовного інтегрування диференціального рівняння вищого порядку, зниження порядку диференціального рівняння шляхом введення нової змінної.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Нехай задано диференціальне рівняння n – го порядку, розв’язане відносно старшої похідної:

Загальний розв’язок рівняння n – го порядку має вигляд

де - довільні сталі. Якщо загальний розв’язок отримується в неявній формі

то його називають загальним інтегралом.

Рівняння виду

Щоб знайти загальний інтеграл цього рівняння, необхідно n разів проінтегрувати його ліву й праву частини. Справді, оскільки після першого інтегрування дістаємо:

де х₀ –будь-яке фіксоване значення х, а с₁ – довільна стала інтегрування. Після другого інтегрування маємо:

Продовжуючи аналогічно, отримаємо загальний розв’язок

Рівняння виду

Це рівняння не містить явно у. За допомогою підстановки де- нова шукана функція, можна понизити його порядок на одиницю. Відносноотримуємо рівняння:

Аналогічний прийом дозволяє понизити порядок рівняння на k одиниць, якщо воно не містить явно ні функції у, ні її похідних до (k-1) – го порядку включно:

У цьому разі слід виконати підстановку . Зокрема, диференціальне рівняння виду

інтегрується за допомогою підстановки

Рівняння виду

Це рівняння не містить явно незалежну змінну х. Щоб понизити його порядок на одиницю, виконаємо підстановку: дер(у) –нова шукана функція. Зауважимо, що при цьому тощо. Порядок диференціального рівняння відноснор(у) дорівнює

Якщо вдається знайти його загальний розв’язок тоу(х) визначається у квадратурах:

Тут с₁, с₂, …,с_n - довільні сталі.

Семінарське заняття 16

Тема 14. Диференціальні рівняння вищих порядків

Питання для усного опитування та дискусії

14.4. Лінійні однорідні та неоднорідні диференціальні рівняння вищого порядку – загальна теорія.

14.5. Метод варіації довільних сталих.

14.6. Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищого порядку з постійними коефіцієнтами.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.

Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : лінійне однорідне диференціальне рівняння вищого порядку, лінійне неоднорідне диференціальне рівняння вищого порядку, визначник Вронського, метод варіації довільних сталих Лагранжа, характеристичне рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Лінійним диференціальним рівнянням n – го порядку називається рівняння вигляду

₍₁₎

причому р_і(х) f (x) – задані неперервні функції.

Зауважимо, що невідома функція та всі її похідні входять у це рівняння лінійно, тобто в першому степені.

Якщо у рівнянні (1) права частина - тотожний нуль, тобтото диференціальне рівняння

(2)

називається лінійним однорідним рівнянням, яке відповідає рівнянню (1).

Загальний розв’язок рівняння (2) має вигляд

(3)

де - довільні сталі, а- лінійно незалежні розв’язки рівняння (2).

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою якого-небудь його частинного розв’язку у^* та загального розв’язку відповідного однорідного рівняння :

_.

Якщо відомий загальний розв'язок однорідного рівняння , то загальний розв'язок неоднорідного рівняння можна знайти методом варіації довільних сталих Лагранжа за допомогою квадратур.

Будемо шукати розв'язок неоднорідного рівняння у формі

де поки що невідомі функції відх. Відносно невідомих функцій отримуємо систему, складену з наступних рівнянь:

Розв’язавши цю систему, знайдемо функції

Інтегруючи, отримуємо :

де - довільні сталі.

Підставляючи знайдені таким чином функції у вираз (16), отримаємо загальний розв’язок неоднорідного рівняння (1).

Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду

_(*)

де p і q – сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння (а це, згідно з викладеним вище, дозволить записати його загальний розв’язок). Складемо характеристичне рівняння:

Можливі такі ситуації відносно його коренів:

1. і - дійсні, причому не рівні між собою числа ;

2. і - комплексні спряжені числа;

3. і - дійсні рівні числа

Спинимося на кожному із цих трьох випадків.

Корені характеристичного рівняння дійсні й різні: Загальний розв’язок рівняння (*) має вигляд

де c₁ і c₂ - довільні сталі.

Корені характеристичного рівняння – комплексно спряжені числа. Нехай Загальний розв’язок рівняння (*) у розглядуваному випадку має вигляд

де та- довільні сталі.

Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні: Загальний інтеграл диференціального рівняння (*) у разі кратних коренів має вигляд