Типові задачі і їх розв’язуваня

1. Ймовірність того, що витрати газу протягом доби не перевищує встановленої норми, дорівнює 0,9.Знайти ймовірність того, що в найближчі 5 діб витрати газу впродовж трьох діб не перевищать норми.

Розв’язування. Оскільки ймовірність нормальних витрат газу протягом кожної з п’яти діб постійна і дорівнює , то ймовірність перевитрат електроенергії в кожну добу також постійні і дорівнюють

Ми знаходимось в умовах схеми Бернуллі. Тому шукану ймовірність можна знайти за формулою Бернуллі (1)

Отже, ймовірність того, що в найближчі 5 діб витрати газу впродовж трьох діб не перевищать норми, дорівнює 0,0729.

2. В магазині є 6 покупців. Ймовірність здійснення покупки кожним із них дорівнює 0,25. Яка ймовірність того, що:

а) хоча б один з них здійснить покупку ?

б) хоча би два з них здійснять покупку ?

Розв’язування. Оскільки для кожного з покупців ймовірність здійснити покупку , так і її не здійснитиоднакові, то ми знаходимось в умовах схеми Бернуллі.

а) Шукану ймовірність знайдемо за формулою (3).

б) Шукану ймовірність можна знайти за формулою (2)

.

Але цю ймовірність можна знайти простіше, використавши те, що сума всіх ймовірностей рівна одиниці. Тобто

Тепер, використовуючи формулу (1), одержимо

Таким чином, ймовірність того, що хоча би два з покупців здійснять покупку, буде дорівнювати

Зауваження. Методику розв’язування інших типів тестових задач, у якій для знаходження розв’язку використовується формула (3), було проілюстро­вано у розділі 3.

3. Ймовірність виграшу для кожного лотерейного квитка дорівнює 0,02. Скільки лотерейних квитків потрібно купити, щоб:

а) найімовірніше було 6 виграшних квитків ?

б) з ймовірністю не меншою, ніж 0,95 можна було виграти хоча б на один лотерейний квиток ?

Розв’язування.

а) Щоб знайти кількість лотерейних квитків, для яких число 6 було б найімовірнішою кількістю виграшних, скористаємось формулою (4) За умовою задачіТобтопотрібно знайти з такої подвійної нерівності (системи двох нерівностей)

Звідси

Отже, потрібно мати від 299 до 349 лотерейних квитків, щоб найімовірніше серед них було 6 виграшних.

б) Нехай подія {виграш випав найменше на один з куплених лотерейних квитків}. Оскільки ймовірність виграшу на один лотерейний квиток досить мала, то кількість лотерейних квитків, які потрібно купити, буде достатньо великою. Тому для розв’язування задачі можна скористатися формулою Пуассона (11)

.

Шукану ймовірність можна обчислити за формулою

,

де знайдемо за формулою Пуассона.

.

Отже,

Звідси

Оскільки тоВраховуючи, щоматимемо

Тобто, потрібно купити не менш ніж 150 лотерейних квитків, щоб з ймовірністю не меншою, ніж 0,95 можна було виграти хоча б на один з них.

4. Ймовірність попасти у мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах в мішень улучить 75 куль.

Розв’язування. Скористаємось тут локальною формулою Мавра-Лапласа (5)

де

Обчислимо значення аргументу локальної функції Лапласа:

Оскільки функція парна, тоСкориставшись таблицею значень цієї функції, знайдемо

Отже, в кінцевому результаті одержимо ймовірність того, що при 100 пострілах в мішень улучить 75 куль

5. З урни, що містить 1 білу і 4 чорних кулі, за схемою випадкового вибору з поверненням 2500 разів виймають кулю. Знайти наближене значення ймовірності того, що біла куля з’явиться від 480 до 620 разів.

Розв’язування. Для знаходження шуканої ймовірності використаємо інтегральну формулу Мавра-Лапласа (7)

.

Нехай подія {вийнята біла куля}. Тоді, за умовою задачі,,,,Тепер, за формулою (9), знайдемота:

Підставивши знайдені величини в інтегральну формулу Мавра-Лапласа, за таблицями одержимо

Таким чином, ймовірності того, що біла куля з’явиться від 480 до 620 разів, приблизно дорівнює 0,8413.

6. На плантації кавунів ймовірність того, що кавун спілий дорівнює 0,8. Скільки кавунів потрібно оглянути, щоб з ймовірністю 0,9 можна було сподіватись, що серед них не менше ніж 75 спілих ?

Розв’язування. Оскільки нам потрібно знайти ймовірність того, що кількість спілих кавунів належить проміжку, то знову скористаємось інтегральною формулою Мавра-Лапласа (7). За умовою задачіЗа формулою (7) одержимо

де

Враховуючи очевидну нерівність одержимо, щоОскільки інтегральна функція Лапласазростаюча для всіх дійснихі за таблицею її значень, то будемо вважати, щоНа підставі цих міркувань будемо мати

.

Функція непарна, тому

Враховуючи, що , для обчисленняодержимо рівняння

Після заміни і незначн0го заокруглення, це рівняння зведеться до такого

Один розв’язок останнього рівняння дорівнює 10, а другий від’ємний і ми його не враховуємо.

Таким чином, остаточно одержимо

7. Підприємство виготовляє 99,9% якісної продукції. Знайти ймовірність того, що в партії із 1000 виробів бракованими будуть від двох до чотирьох виробів.

Розв’язування. Виходячи з умови задачі, ймовірність виготовити підприємством бракований виріб дорівнює 1 – 0,999 = 0,001. Тобто в даній задачі досить велике, аблизьке до нуля. Тому для її розв’язування зручно користуватися формулою Пуассона (12)

,

де

Підставивши в цю формулу задані величини, одержимо

Оскільки , то

Тобто, ймовірність того, що в партії із 1000 виробів бракованими будуть від двох до чотирьох виробів приблизно дорівнює 0,262.

8. Відділ технічного контролю перевіряє стандартність 900 виробів. Ймовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що під час перевірки цих виробів відносна частота появи нестандартної деталі відрізняється від відповідної ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,03.

Розв’язування. Для розв’язування задачі використаємо формулу (10)

За умовою задачі Тому шукана ймовірність за цією формулою буде дорівнювати

За таблицями значень інтегральної функції Лапласа знаходимо

Таким чином, ймовірність того, що під час перевірки цих виробів відносна частота появи нестандартної деталі відрізняється від відповідної ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,03, дорівнює 2∙0,4986 = 0,9972.