Типові задачі і їх розв’язуваня

1. У результаті аналізу рахунків 200 інвесторів на фондовій біржі отримали таку інформацію про кількість угод, укладених протягом місяця (див. табл. 3, у якій – кількість укладених угод, а– кількість інвесторів).

Таблиця 3

	0	1	2	3	4	5	6	8
	68	43	37	25	14	4	7	2

Знайти функцію розподілу кількості укладених угод та обчислити .

Розв’язування. На підставі формули (2), функцію розподілу випадкової величини – кількості укладених угод можна подати такою формулою:

Оскільки ато

2. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини, заданої законом розподілу

Таблиця 4

	-1	1	2	4
	0,3	?	0,2	0,1

Розв’язування. Для розв’язування задачі використаємо формули (7), (18) і (23). Обчислимо спочатку невідому ймовірність . Оскільки сума ймовірнос­тей всіх значень випадкової величини (сума чисел у другому рядку таблиці) дорівнює одиниці, тоМатематичне сподівання заданої випадкової величини дорівнює

.

Перед тим як знайти дисперсію, обчислимо за формулою (19).

Тепер знайдемо дисперсію

Середнє квадратичне відхилення заданої випадкової величини буде рівне

3. Випадкова величина приймає лише два можливі значеннятаз ймовірностямиі. Знайтита, якщо

Розв’язування. Оскільки випадкова величина приймає лише два можливі значення, тоЗвідси, врахувавши, що за умовою, знаходимоЗа умовоюВикориставши формулу (18), одержимо. Тому для знаходженнятаотримаємо систему двох рівнянь

розв’язавши цю систему рівнянь при умові , одержимоі

4. Математичне сподівання дискретної випадкової величини , яка набуває три можливі значення, дорівнює 1,8. Задано два з цих значеньта їхні ймовірностіЗнайти невідоме значення величини, а також середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт асиметрії та ексцес.

Розв’язування. Спочатку знайдемо невідому ймовірність . Оскільки випадкова величинаприймає лише три можливі значення, тото

Математичне сподівання дискретної випадкової величини дорівнює сумі попарних добутків значень цієї величини на їхні ймовірності. Тому за умовою

Звідси

Обчислимо початкові моменти

Тепер можна знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення

,

Для знаходження коефіцієнта асиметрії та ексцесу обчислимо центральні моменти третього та четвертого порядку. При цьому урахуємо те, що Отже

Звідси за формулами (30) і (31) одержимо

.

5. В містечку тільки три великих підприємства. Ймовірність невчасної сплати податку першим підприємством дорівнює 0,05, другим – 0,07 і третім – 0,09. Записати закон розподілу дискретної випадкової величини – кількість підприємств, що вчасно сплатять податок. Обчислити математичне сподівання величини.

Розв’язування. Випадкова величина може приймати чотири значення: 0, 1, 2, або 3. Для кращого розуміння розглянемо ще чотири події. Нехай подія{вчасно сплатять податокпідприємств}. Знайдемо ймовірності цих подій, тобто ймовірності того, що величинаприйме кожне з розглянутих значень.

Позначимо ймовірність вчасної сплати податку -им підприємством через, а невчасної –. За умовою задачіаТоді

Отже, закон розподілу дискретної випадкової величини у табличній формі запишеться таким чином

Таблиця 5

	0	1	2	3
	0,000315	0,013355	0,182345	0,803985

Математичне сподівання цієї величини буде

6. За заданою функцією розподілу

дискретної випадкової величини обчислити середнє квадратичне відхилення.

Розв’язування. З умови задачі (з аналітичного запису функції розподілу) зрозуміло, що випадкова величина може приймати п’ять значень: -3, 0, 2, 4 і 5. Оскільки значення для дорівнює нулю, а для– дорівнює 0,2, то ймовірність того, що випадкова величинаприйме значення (-3) буде дорівнювати. ТобтоАналогічно знаходимо інші ймовірності

Таким чином, закон розподілу дискретної випадкової величини

у табличній формі запишеться так

Таблиця 6

	-3	0	2	4	5
	0,2	0,1	0,2	0,4	0,1

Звідси

Отже, середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини , яка задана функцією розподілуприблизно дорівнює 2,81.

7. Знайти при якому значенні параметра задана функція

буде щільністю розподілу неперервної випадкової величини та записати її функцію розподілу. Визначити ймовірність того, що випадкова величинаприйме значення з інтервалу

Розв’язування. Для визначення скористаємось четвертою властивістю щільності розподілу, тобто тим, що

Оскільки

,

то і

Функцію розподілу знайдемо за формулою (4)

На підставі цієї формули одержимо

Знайдемо інтеграл

,

В результаті будемо мати

Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалузнайдемо на підставі третьої властивості щільності розподілу. Тобто

8. Порівняти роботу двох дилерів таз продажі нерухомого майна, якщо закони розподілу кількості проданих за тиждень об’єктів для кожного дилера мають такий вигляд (див. табл. 7 і 8).

Таблиця 7

	1	2	3	4
	0,3	0,2	0,2	0,3

Таблиця 8

	1	2	3	4
	0,2	0,3	0,3	0,2

Розв’язування. Знайдемо для кожної випадкової величини таматематичне сподівання:

Оскільки (середні значення для обох дилерів співпадають), то для порівняння їх роботи ми змушені шукати дисперсії.

Отже, при однакових математичних сподіваннях кількості об’єктів проданих кожним дилером розсіювання в першого є більшим, ніж у другого, тобто результати другого є стійкішими.

9. Неперервна випадкова величина задана своєю щільністю розподілу

Знайти моду, математичне сподівання і медіану величини .

Розв’язування. Перевірити функцію щільності розподілу на існування максимуму можна методами диференційного числення. Однак в даному випадку можна поступити простіше. Щільність розподілу випадкової величини в інтервалі (1, 3) задана параболою, вітки якої напрямлені вниз. На кінцях цього проміжку (в точках) і поза ним задана щільність дорівнює нулю. Абсциса вершини цієї параболи

належить вказаному проміжку, тому щільність розподілу досягає максимуму у цій точці. Тобто,

Цей самий результат ми отримаємо якщо виділимо у заданому квадратичному тричлені повний квадрат:

.

Звідси видно, що абсциса вершини цієї параболи і

З розглянутих міркувань очевидно, що крива розподілу симетрична відносно прямої тому математичне сподіванняі медіана.

10. Знайти дисперсію неперервної випадкова величина , заданої своєю функцією розподілу

Розв’язування. Спочатку знайдемо щільністю розподілу випадкової величини . Для цього скористаємось другою властивістю щільності розподілу, тобто тим, що в точках неперервності щільності вона дорівнює першій похідній від функції розподілу . Отже

Тепер обчислимо математичне сподівання за формулою (8)

Факт рівності математичного сподівання нулю випливає також з того, що підінтегральна функція непарна, а межі інтегрування симетричні відносно початку координат.

Для знаходження дисперсії, спочатку за формулою (20) знайдемо

Тут ми врахували те, що підінтегральна функція парна, а межі інтегрування симетричні відносно початку координат. Тепер за формулою (18) одержимо

Таким чином, дисперсія заданої випадкова величина приблизно дорівнює 1,3.

Зауваження: У більшості випадків обчислювати дисперсію простіше (як ми і поступили) за формулою (18). Однак в даному прикладі, враховуючи те, що математичне сподівання дорівнює нулю, можна було обійтись формулою (17)

11. Обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини якщо відомі математичні сподіваннята дисперсіїнезалежних випадкових величин:

Розв’язування. Для обчислення шуканих величин, скористаємось властивостями математичного сподівання та дисперсії. В результаті одержимо