Типові задачі і їх розв’язуваня

1. У телефонному номері абонент забув дві останні цифри і набрав їх навмання, пам’ятаючи тільки, що ці цифри непарні і різні. Визначити ймовірність того, що номер набрано правильно.

Розв’язування. Позначимо через В таку подію: телефонний номер набрано правильно. З непарних цифр 1, 3, 5, 7, 9 всього можна утворити стільки пар, скільки може бути утворено розміщень з п’яти елементів по два, тобто (ці пари відрізняються одна від одної або хоча б однією цифрою, або порядком цих цифр). Отже, загальна кількість можливих елементарних подій дорівнює 20. Ці події несумісні, рівноможливі й утворюють повну групу. Сприяє події В лише один можливий наслідок випробування. Шукана ймовірність дорівнює відношенню кількості можливих наслідків випробування:

Р(А) = 1/20 = 0,05.

2. В партії з десяти деталей сім стандартних. Визначити ймовірність того, що серед шести взятих навмання деталей чотири стандартні.

Розв’язування. Загальна кількість можливих наслідків випробування дорівнює кількості способів, якими можна взяти шість деталей із десяти, тобто кількості комбінацій з десяти елементів по шість елементів .

Визначимо кількість можливих наслідків, які сприяють події А (серед шести взятих навмання деталей чотири стандартні). Чотири стандартні деталі можна взяти із семи стандартних деталей способами. У цьому разі останні 6-4=2 деталі повинні бути нестандартними. Взяти ж дві нестандартні деталі із 10-7=3 нестандартних деталей можнаспособами. Отже, кількість сприятливих наслідків випробування за основним принципом комбінаторики дорівнює.

Шукана ймовірність дорівнює відношенню наслідків випробування, які сприяють події А, до кількості всіх можливих елементарних подій:

Р(А) = (=1/2.

3. Для кращого засвоєння теоретичного матеріалу кожному із 8 студентів, що сидять в одному ряді, викладач випадковим чинам видає по одному індивідуальному завданню. Викладач підготував для цього 10 варіантів таких завдань. Видача завдань відбувалася таким чином, що ніякий варіант не попав двом студентам. Знайти ймовірності наступних подій:

а) викладач роздасть тільки варіанти від третього до десятого;

б) викладач роздасть індивідуальні завдання таким чином, що варіанти 1 і 2 одержать студенти, які сидять поряд.

Розв’язування. Знову скористаємось класичним визначенням ймовірності. Спочатку знайдемо загальну кількість можливих елементарних подій даного експерименту. Ця кількість буде однаковою для обох цих подій, які позначимо відповідно буквами А і В. Вона дорівнює кількості способів, якими в певному порядку можна вибрати вісім варіантів завдань із усіх десяти, тобто:

Знайдемо тепер величину для кожної з подійА та В.

а) Події А сприяють такі елементарні події, коли варіанти ввід 3 до 10 розподіляться довільним чином між 8 студентами, а варіанти 1 і 2 не використовуватимуться. Кількість таких способів дорівнює кількості перестановок з 8 елементів, тобто 8! На підставі цього, шукана ймовірність

б) Події В сприяють такі розміщення, коли варіанти 1 і 2 одержать студенти, що сидять поряд, а решту 8 варіантів розподіляться між шістьма особами довільно. Варіанти 1 і 2 може отримати перша пара студентів, чи друга, чи третя, і т. д., чи сьома. При цьому у кожній із цих пар перший студент може одержати варіант № 1, а другий – № 2 або навпаки. Тому всі таких випадків буде 2∙7=14. Розподілити 8 варіантів між шістьма особами можна способами. Тому, а шукана ймовірність

.

4. У корзині є 15 білих, 8 жовтих і 7 червоних троянд. Навмання виймають 9 троянд. Яка ймовірність того, що вийнято 4 білих, 3 жовтих і 2 червоних троянди?

Розв’язування. В корзині є 15+8+7=30 троянд. Тому вийняти з корзини 9 троянд можна способами. Вийняти 4 білих троянди з 15 можнаспособами, 3 жовтих троянди з 8 можнаспособами і 2 червоних троянди з 7 можнаспособами. Тому подіїА = {вийнято 4 білих, 3 жовтих і 2 червоних троянди} сприяють елементарних подій. Отже, шукана ймовірність дорівнює

5. Поїзд метро сформований із трьох вагонів. Менеджер з реклами має розмістити у цьому поїзді 9 рекламних оголошень. Знайти ймовірності таких подій: А = {у кожному вагоні менеджер розмістить по три оголошення}; В = {в одному з вагонів менеджер розмістить 4, в іншому – 3 і ще в іншому – 2 оголошення}.

Розв’язування. Оскільки кожне з цих оголошень може бути розміщене у будь-якому вагоні, то нам потрібно знайти кількість всіх рядків довжини 9, утворених з елементів множини {1, 2, 3}, у яких елементи цієї множини можуть повторюватися. Ця кількість всіх можливих варіантів п буде дорівнювати кількості розміщень з повтореннями п = .

Вибрати три оголошення з усіх дев’яти для розміщення у першому вагоні можна способами. З тих, що залишилися 6 оголошень вибрати 3 для розміщення у другому вагоні можнаспособами. Останні 3 оголошення, що залишились будуть розміщені у третьому вагоні. Виходячи з цих міркувань, ймовірність подіїА буде дорівнювати

Вибрати чотири оголошення з усіх дев’яти для розміщення у першому вагоні можна способами. З тих, що залишилися 5 оголошень вибрати 3 для розміщення у другому вагоні можнаспособами. Останні 2 оголошення, що залишились будуть розміщені у третьому вагоні. Однак, якщо при знаходженні ймовірності подіїА порядок вибору вагонів не мав значення, бо в кожному з них розміщалася однакова кількість оголошень, то при знаходженні ймовірності події В – порядок вибору вагонів вже має значення. Менеджер може розмістити 4 оголошення в першому, другому чи третьому вагоні і це будуть різні варіанти. Тому, при знаходженні ймовірності події В, кількість елементарних подій, що сприяють події В буде дорівнювати . Тобто ймовірність подіїВ буде дорівнювати

6. При перевірці 100 легкових автомобілів було виявлено 5, що мали якісь неполадки. Знайти відносну частоту появи легкового автомобіля з неполадкою.

Розв’язування. В нашій задачі т = 5 а п = 100. Тому відносна частота дорівнює т/п = 5/100 = 0,05.

7. Відносна частота народження хлопчика дорівнює 0,56. Протягом деякого періоду народилося 22 дівчинки. Скільки за цей період народилося хлопчиків?

Розв’язування. Позначимо через кількість народжених хлопчиків, а через– кількість спостережень. Тоді. Оскільки відносна частота народження хлопчика 0,56, тоЗвідси.

Отже, всього за вказаний період народилося хлопчиків.

8. Для контролю якості продукції, що виготовлена на трьох виробничих лініях (ВЛ 1, ВЛ 2 і ВЛ 3), вибрано 400деталей. Результати перевірки подані у наступній таблиці

Рішення	ВЛ 1	ВЛ 2	ВЛ 3	Всього
Прийнято	75	140	155	370
Брак	5	10	15	30
Всього:	80	150	170	400

Навмання з усієї цієї кількості вибрана деталь. Знайти ймовірність того, що:

а) деталь виготовлена на другій виробничій лінії.

б) деталь є якісною.

в) деталь виготовлена на першій виробничій лінії і є бракованою.

г) деталь виготовлена на третій виробничій лінії.

д) деталь є якісною і виготовлена на другій виробничій лінії.

е) деталь є бракованою.

є) деталь виготовлена на третій виробничій лінії і є якісною.

Розв’язування. Введемо такі позначення А = {деталь виготовлена на першій виробничій лінії}, В = {деталь виготовлена на другій виробничій лінії}, С = {деталь виготовлена на третій виробничій лінії}, D = {деталь є бракованою}. Для знаходження шуканих ймовірностей скористаємось статистичним визначенням ймовірності.

а) Оскільки всіх відібраних для контролю якості продукції є 400 деталей, а з них виготовлена на другій виробничій лінії 150 деталей, то шукана ймовірність дорівнює

б) Всіх якісних деталей є 370. Тому

в) Відомо, що деталь виготовлена на першій виробничій лінії, тобто подія А відбулася. Тому можна вважати, що нам треба знайти умовну ймовірність

Аналогічно знаходимо інші ймовірності.

г) 

д) 

е) 

є) 

9. На заводі будівельних виробів потужність бетонного вузла 16 куб. м. бетону за зміну. Знайти ймовірності наступних подій: А = {бетонний вузол за зміну виготовить не більше 9,5 куб. м. бетону}; В = {бетонний вузол за зміну виготовить не більше 9,5 куб. м. бетону}.

Розв’язування. Для знаходження шуканих ймовірностей скористаємось геометричним визначенням ймовірності. Об’єму виготовленого бетону будемо ставити у відповідність точку на числовій осі, а мірою буде довжина відрізка на якому лежать точки, що відповідають розглядуваній множині. Тоді міра Ω дорівнює 16, міра А – 9,5, а міра В – нулю, оскільки довжина відрізка, що складається з однієї точки дорівнює нулю. Тому

10. Дана множина . Яка ймовірність того, що навмання взята точканалежить областіА, яка обмежена кривими і?

Розв’язування. З умови задачі зрозуміло, що для її розв’язання потрібно використати геометричне визначення ймовірності. Оскільки простір елементарних випадкових подій і множина А – це множини точок на площині, то в якості міри потрібно взяти площі заданих фігур. Міра Ω дорівнює . Обчислити міруА, тобто площу фігури обмежену кривими і, можна за допомогою означеного інтеграла

Таким чином шукана ймовірність дорівнює

11. В сигналізатор надходять сигнали від двох пристроїв, причому надходження кожного із сигналів можливе в будь-який момент часу тривалістю Т. Моменти надходження сигналів незалежні один від одного. Сигналізатор спрацьовує, якщо різниця між моментами надходження сигналів менша за Знайти ймовірність того, що сигналізатор спрацює за часТ, якщо кожен пристрій пошле по одному сигналу.

Розв’язування. Позначимо моменти надходження сигналів з першого і другого пристроїв відповідно через і. За умовою задачі:Тобто простір результатів експерименту можна записати таким чином:. На координатній площині йому відповідає квадратНехай подіяА = {сигналізатор спрацював}. Її можна зобразити на цій площині у вигляді області (на рис. 3.1 заштрихована).

Рис. 3.1

Оскільки міра Ω дорівнює , а міра–, то

12. Знайти ймовірність того, що сума квадратів двох чисел табуде не більше одиниці, якщо ці числа мають такі обмеженняі

Розв’язування. Якщо кожну пару чисел відображати відповідною точкою на координатній площині, то просторові результатів експериментубуде відповідати квадрат з вершинамиА(-1;1), В(-1;1), С(-1;1), D(-1;1). Геометричне місце точок для яких сума квадратівтане більше одиниці, тобто, буде круг обмежений колом з центром у початку координат, радіус якого дорівнює одиниці.

Тому , а. Отже, шукана ймовірність, згідно геометричного її визначення, дорівнює

13. На полиці навмання розставляють десять томів енциклопедії. Визначити ймовірність події А, яка полягає у тому, що при цьому 1-й, 2-й і 3-й томи не виявляться поставленими поряд у порядку зростання номерів.

Розв’язування. Очевидно, що всіх можливих варіантів, якими можна розставити десять книжок на полиці, є Р₁₀=10!, тобто є 10! можливих випадків, причому всі ці випадки треба вважати рівноможливими.

Щоб визначити ймовірність події А, зручно в цьому випадку перейти до протилежної події , яка полягає в тому, що 1-й, 2-й і 3-й томи виявляться поставленими поряд у порядку зростання номерів, а потім для обчислення ймовірностіР(А) скористатися формулою (3), тобто Р(А)=1-Р().

Для того, щоб полічити кількість варіантів, про які йдеться, міркуватимемо так. Загорнимо ці три томи, поставлені в порядку 1, 2, 3, у папір і вважатимемо їх одним томом. Вісім наявних “томів” можна розставити, очевидно, 8! способами. Тому,

(Якби порядок згаданих трьох томів був несуттєвим, то кількість випадків, у яких три перші томи виявилися б поставленими поряд, збільшилось би в 3! рази, тобто дорівнювало б 8!3!). Отже, маємо

14. В лабораторії міститься 3 прилади. Знайти ймовірність того, що протягом даного періоду часу відмовить хоча б один прилад, якщо:

а) ймовірності відмови цих приладів протягом вказаного періоду часу різні і дорівнюють 0,1; 0, 15 і 0,2;

б) ймовірності відмови цих приладів протягом вказаного періоду часу однакові і дорівнюють 0,1.

Розв’язування. Нехай подія А = {протягом даного періоду часу відмовить хоча б один прилад}, {протягом даного періоду часу відмовить і-ий прилад} (і =1, 2, 3). Ймовірність виходу з ладу будь-якого приладу не залежить від того чи вийшов з ладу інший прилад, тому події є незалежними. Отже для знаходження шуканих ймовірностей можна скористатися формулою (11).

а) Окільки тоТому

б) Ймовірність того, що будь-який прилад безвідмовно пропрацює протягом вказаного періоду часу дорівнює 1 – 0,1 = 0,9. Тому ймовірність того, що протягом даного періоду часу відмовить хоча б один прилад, дорівнює

15. Ймовірність того, що хоча б один раз із чотирьох пострілів стрілець попаде в ціль дорівнює 0,8704. Знайти ймовірність попадання стрільцем у ціль при одному пострілі, якщо відомо, що в усіх пострілах ймовірність попадання його в ціль одна і та ж.

Розв’язування. Позначимо шукану ймовірність через р. Тоді ймовірність того, що хоча б один раз із чотирьох пострілів стрілець попаде в ціль можна обчислити за формулою За умовоюТому для знаходженнярозв’яжемо рівнянняОтже, ймовірність попадання стрільцем у ціль при одному пострілі дорівнює 0,4.

16. Відомо, що в середньому 4 безробітних із 10 знаходять роботу протягом місяця. Скільки найменше безробітних потрібно взяти, щоб з ймовірністю не менше 0,9 можна було стверджувати, що хоча б один із них знайде роботу протягом місяця ? (Припустити, що ймовірність знайти роботу протягом місяця одним безробітним дорівнює 0,4).

Розв’язування. Нехай п – шукана кількість безробітних, А = {хоча б один із п безробітних знайде роботу протягом місяця}. Тоді Оскільки, а, то будемо мати таку нерівність:, або. Для того, щоб знайтип, прологарифмуємо цю нерівність за основою 10. В результаті отримаємо Враховуючи, що, знайдемо

Отже, потрібно взяти найменше п’ять безробітних, щоб з ймовірністю не менше 0,9 можна було стверджувати, що хоча б один із них знайде роботу протягом місяця.

17. У двох ящиках містяться деталі одного типу. З кожного ящика навмання вибирають по одній деталі. Ймовірність вийняти браковану деталь першого ящика а з другого –Знайти ймовірності наступних подій:

а) обидві вибрані деталі якісні;

б) тільки одна з двох вибраних деталей буде якісною;

в) обидві вибрані деталі браковані;

г) хоча б одна з двох вибраних деталей якісна.

Розв’язування. Введемо такі позначення подій: {обидві вибрані деталі якісні},{тільки одна з двох вибраних деталей буде якісною},{обидві вибрані деталі браковані},{хоча б одна з двох вибраних деталей якісна},{деталь, що вибрана з першого ящика якісна},{деталь, що вибрана з другого ящика якісна}. Тоді,Тепер знайдемо шукані ймовірності.

а) Оскільки події інезалежні, тоТобто

б) Подія – складна. Її можна виразити через інші таким чином. Тому

Тобто .

в) Оскільки , то

г) Ймовірність події можна знайти трьома способами. Очевидно, що. Крім цього подіїтає несумісними, а подіїі– сумісними. ТомуЗ іншого бокуА також

18. Ймовірність повернення кредиту кредитором дорівнює 0,95. Якщо три кредитори вибираються навмання, то яка ймовірність, що:

а) усі три кредитори повернуть кредит ?

б) жодний кредитор не поверне кредит ?

в) кредит поверне лише один кредитор ?

Розв’язування. Нехай подія А = {кредитор поверне кредит}, В = {усі три кредитори повернуть кредит}, С = {жодний кредитор не поверне кредит}, D = {кредит поверне лише один кредитор}. Тоді В = А∙А∙А, ,. Знайдемо ймовірності цих подій.

а) 

б) 

в) = 0,007125.

19. У групі студентів із 25 осіб 15 вчиться за оплату. Серед всіх студентів групи 10 вчаться на “відмінно” та “добре”, а 18 – займаються у спортивних секціях. Причому серед 15 студентів, що вчаться за оплату 5 здали всі іспити на “4” і “5”, 11 – відвідують спортивні секції, а четверо таких, що відвідують спортивні секції і вчаться тільки на “4” та “5”. Десять студентів, що відвідують спортивні секції вчаться не тільки на “4” і “5”. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний студент вчиться на бюджетній формі навчання не тільки на “відмінно” та “добре” і не відвідує спортивні секції.

Розв’язування. Нехай подія А = {навмання вибраний студент вчиться за оплату}, B = {навмання вибраний студент вчиться на “відмінно” та “добре”}, C = {навмання вибраний студент відвідує спортивні секції} і D – подія, ймовірність якої нам треба знайти. Протилежною до події D буде подія , яка полягає у тому, що матиме місце принаймні одна з трьох подійА, В чи С. Тобто

Події А, В і С можуть відбутися одночасно, тому вони є сумісними. Внаслідок цього, ймовірність події можна обчислити за формулою (6). Тобто

За умовою

Тому Таким чином остаточно одержимо