Типові задачі і їх розв’язуваня

1. Середній розмір щомісячних внесків страхувальників у страховій компанії дорівнює 100 грн. Оцінити знизу ймовірність того, що навмання вибраний страхувальник вносить щомісячно страховій компанії внесків на суму меншу, ніж 200 грн.

Розв’язування. Нехай – величина щомісячного внеску випадково вибраного страхувальника. Скористаємося нерівністю (2)

З умови задачі Тому

Таким чином, ймовірність того, що навмання вибраний страхувальник вносить щомісячно страховій компанії внесків на суму меншу, ніж 200 грн. буде не менша, ніж 0,5.

2. Електроламповий завод протягом місяця відправляє замовникам 100 тис. ламп. Ймовірність того, що випадково вибраному замовнику відправлять менше 500 ламп, дорівнює 0,6. Оцініть максимально можливу кількість замовників.

Розв’язування. Позначимо через – кількість ламп, що відправить завод протягом місяця випадково вибраному замовнику, а через– кількість замовників. Тоді. Використавши нерівністю (2), одержимо

Тобто, максимально можлива кількість замовників дорівнює 500.

3. Випадкова величина має такий закон розподілу (див. табл. 1).

Таблиця 1

	2	3	4	5	6	7	8
	0,1	0,15	0,05	0,2	0,1	0,25	0,15

Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність

Розв’язування. Для того, щоб скористатися нерівністю Чебишова треба розрахувати дисперсію. Знайдемо її.

Тепер за нерівністю (3), одержимо

Перевіримо наш результат іншим способом. Для того, щоб знайти , потрібно відшукати ті значення, які задовольняють нерівність

;

Цю нерівність задовольняють такі значення : 3, 4, 5, 6, 7, 8, і не задовольняє тільки одне значенняТому

На підставі одержаних результатів видно, що ми оцінили нашу ймовірність за допомогою нерівності Чебишова з великим запасом.

4. Ймовірність того, що навмання вибрана особа має сиве волосся дорівнює 0,1. Оцінити ймовірність того, що серед 1000 осіб кількість тих, які мають сиве волосся, відрізняється від свого математичного сподівання за абсолютною величиною менше, ніж на 40.

Розв’язування. Нехай – кількість осіб , що мають сиве волосся у групі з 1000 осіб. Випадкова величинамає біноміальний розподіл. За умовою задачіТомуЗ нерівності Чебишова (3) приодержимо

Таким чином шукана ймовірність буде більша за 0,755.

5. Відомо, що Знайти

Розв’язування. За формулою (3) будемо мати Підставимо в це рівняння , одержимо

6. Середнє квадратичне відхилення кожної з 3000 незалежних однаково розподілених випадкових величин дорівнює 9. Оцінити ймовірність того, що середнє арифметичне цих величин відхиляється від свого математичного сподівання за абсолютною величиною менше, ніж на 0,3.

Розв’язування. Позначимо через –-ту випадкову величину. За умо­вою задачі,,,. Тепер використаємо нерівність (7).

У нашому випадку

Отже, шукана ймовірність буде не меншою, ніж 0,7.

7. Для визначення середньої заробітної плати працівників даного регіону поділили його умовно на 100 територіальних одиниць і з кожної такої одиниці навмання вибрали по одному працівнику. Оцінити знизу ймовірність того, що середня заробітна плата відібраних 100 працівників відрізняється від середньої заробітної плати працівників регіону за абсолютною величиною менше ніж на 4 грн., якщо відомо, що дисперсія заробітної плати будь-якого працівника кожної територіальної одиниці менше, ніж

Розв’язування. Якщо позначити через – заробітну плату працівника вибраного з-ої територіальної одиниці, то згідно умовиВ якості середньої заробітної плати працівників усього регіону можна взяти величину

Тепер, використовуючи формулу (8) і врахувавши, що середня заробітної плати вибраних працівників дорівнює

,

одержимо