Типові задачі і їх розв’язуваня

1. Довести тотожності:

а).

Доведення. Скористаємось формулою (3). Тоді будемо мати:

. Спростивши ліву і праву частини цієї рівності, отримаємо , що і треба було довести.

б) .

Доведення. Скористаємось формулами (5), (6). Перетворимо праву частину цієї рівності. Отриманий ланцюжок перетворень буде таким: . Спростимо чисельник другого дробу правої частини рівності і перемножимо ці дроби. Отримаємо, що права і ліва частини розглянутої рівності однакові. Тотожність доведена.

в) .

Доведення. Скористаємось формулою (3). Перетворивши ліву частину нашої тотожності, отримаємо:

.

Зведемо всі чотири дроби у дужках до спільного знаменника. Цей знаменник буда мати вигляд: . В чисельнику отримаємо такий вираз:

. В результаті в лівій частині тотожності будемо мати А ця вели­чина дорівнює правій частині тотожності. Отже, тотожність доведена.

2. Обчислити

а) .

Розв’язування. Використовуючи формули комбінаторики, отримаємо:

б) .

Розв’язування. Використовуючи формули (3) і (6), отримаємо:

2. Розв’язати рівняння.

а) .

Розв’язування. Скористаємось формулою (6). Отримаємо рівняння: . Оскількине задовольняє області допустимих значень, то відповідь:.

б) .

Розв’язування. На підставі формул (5), (6) отримаємо таке рівняння: Спростимо його. Це рівняння має два кореніі. Тобто відповідь:.

2. Розв’язати задачі.

а) На одній полиці лежать 15 пронумерованих зошитів, а на другій – 20. Довільним способом вибирають з будь-якої полиці один зошит. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язування. Зошити можна вибирати з першої полиці 15-а різними способами або з другої – 20-а різними способами. Для знаходження усіх способів вибору одного зошита з обох полиць потрібно використати правило додавання. Тобто шукана кількість буде: 15+20=35.

Щоб краще зрозуміти розв’язування цієї задачі можна собі уявити, що всі пронумеровані зошити лежать в одному місці, оскільки номер полиці, з якої беруть зошит, до уваги не береться. Всіх зошитів є 15+20=35. Один зошит з цієї групи 35-и зошитів можна вибрати 35-а способами.

б) У чемпіонаті України з футболу беруть участь 16 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота і срібна медалі?

Розв’язування. Чемпіоном може стати одна з 16 команд. Після того, як визначений володар золотої медалі, срібну медаль може мати одна з 15 команд. Отже, загальна кількість способів, якими можуть бути розподілені золота і срібна медалі, – 16х15 = 240.

в) Скільки можна утворити чотиризначних чисел так, щоб будь-які дві сусідні цифри числа були різними?

Розв’язування. Першою цифрою числа може бути довільна цифра десяткової системи числення, крім нуля. Якщо вона вибрана, то другу цифру числа можна вибрати також дев’ятьма способами (вона може бути будь-якою з цифр 0, 1, 2, …, 9, відмінною від першої цифри). Після її вибору для третьої цифри знову маємо дев’ять варіантів і т.д. Застосовуючи правило множення, обчислюємо, що шукана кількість чисел – 9999 = 6561.

г) Підприємець має право займатися сімома видами діяльності. Для початку він вирішив обмежитися тільки трьома з них. Скількома способами він може це зробити?

Розв’язування. Шукана кількість дорівнює кількості трьохелементних підмножин у множині з семи елементів. Тобто на підставі формули (3) отримаємо

Якщо скористатися формулою (4), то матимемо аналогічний результат:

д) В концерті беруть участь 6 артистів. Кожен з них виходить на сцену один раз. Скількома способами вони можуть це зробити?

Розв’язування. Знайти цю кількість можна кількома способами.

1-ий спосіб: Скористаємось правилом множення. Першим на сцену може вийти кожен із 6-и артистів. Другим – кожен з тих 5-и, що залишилися, і т. д. Тобто, шукана кількість дорівнює

2-ий спосіб: Оскільки ми хочемо знайти кількість перестановок множини, яка має 6 елементів, то скористаємось формулою (5).

3-ий спосіб: Нам потрібно знайти кількість впорядкованих підмножин що містять по 6 елементів, складених з елементів множини, яка містить також 6 елементів. Тому для знаходження шуканої кількості використаємо формулу (6).

е) На обліку в центрі зайнятості м. Львова знаходиться 9 осіб, що мають спеціальність водій. За поданнями підприємств на кінець місяця в місті є 5 вакансій за цією спеціальністю. Скількома способами можна розподілити цих безробітних на наявні вільні робочі місця?

Розв’язування. Оскільки нам потрібно знайти кількість 5-елементних підмножин множини, що містить 9 елементів, то тут можна скористатися формулою (6).

є) Бригада з восьми робітників повинна виготовити три вироби. Для виготовлення першого виробу потрібний один робітник, другого – три, а третього – чотири. Скількома способами можна залучити робітників бригади до виконання поставленого завдання.

Розв’язування. Кількість можливих способів групування робітників бригади в цьому випадку можна обчислити за формулою (7):

До розв’язування цієї задачі можна підійти і з іншого боку. Для виготовлення першого виробу потрібно вибрати одного робітника з усіх восьми. Тобто, способами. Щоб виготовити другий виріб треба з тих семи робітників, що залишились невибраними, взяти три. Це можна зробитиспособами. На кінець, виготовити третій виріб можнаспособом. Тепер шукану кількість можна знайти використавши правило множення:

ж) Скільки різних трицифрових чисел можна утворити використовуючи п’ять непарних цифр?

Розв’язування. Оскільки цифри в числі можуть повторюватися, то нам потрібно знайти кількість упорядкованих рядків довжини 3, утворених з елементів множини у яких можливе повторення елементів, якщо. Тобто, потрібно знайти кількість розміщень з повтореннями з 5-и елементів по 3. Отже

Шукану величину можна знайти, скориставшись правилом множення. Першою цифрою трицифрового числа може бути будь-яка непарна цифра. Тобто кількість можливих варіантів – п’ять. Як на другому, так і на третьому місці цього числа може стояти також довільна непарна цифра. На підставі правила множення отримаємо:

з) Скільки існує різних цілих трицифрових чисел?

Розв’язування. Аналогічно попередній задачі скористаємось формулою кількості розміщень з повтореннями. Оскільки всіх цифр є десять, то знайдемо спочатку кількість всеможливих упорядкованих рядків довжини три, утворених з елементів множини , у яких елементи можуть повторюватися:. Однак число, що починається нулем вже не буде трицифровим. Тому для знаходження шуканої величини від знайденого числатреба відняти кількістьдвоцифрових чисел утворених з усіх десяткових цифр крім нуля:

и) Листоноша повинен віднести 7 телеграм. Причому три телеграми є в один будинок, а всі інші – в різні. Розносити телеграми по будинках можна у довільному порядку. Скільки існує варіантів порядку вручення телеграм адресатам, якщо три телеграми, що адресовані в один будинок, треба вручити підряд одну за одною.

Розв’язування. За умовою задачі телеграми потрібно віднести у 5 будинків і порядок відвідування будинків має значення. Тому кількість маршрутів відвідування всіх будинків дорівнює Порядок вручення телеграм у будинку, в який прийшло три телеграми також може бути різний. Кількість таких варіантів дорівнюєЗагальна кількість варіантів порядку вручення телеграм знаходиться за правилом множення:

і) Із 22 студентів вибирають 5 осіб для поїздки на олімпіаду. Причому серед них відразу вибирають старшого групи і його заступника. Скількома способами можна сформувати таку групу.

Розв’язування. Спочатку знайдемо кількість можливих варіантів вибрати із 22 студентів старшого групи для поїздки на олімпіаду і його заступника. Оскільки порядок тут має значення, то цю кількість можна знайти за формулою Після цього вибору залишиться 20 студентів. З них потрібно вибрати ще трьох членів групи. Порядок при цьому виборі вже не має значення. Кількість таких трійок розраховується за формулоюДля отримання кінцевого результату треба використати правило множення. Тобто, шукана величина дорівнює

й) У речовій лотереї розігрується 4 предмети. Перший, хто підійшов до урни, виймає з неї 5 квитків. Скількома способами він може їх вийняти щоб виграшними виявилось рівно 2 квитки, якщо в урні 50 квитків?

Розв’язування. Оскільки порядок виймання як виграшних, так і невиграшних квитків не має значення, то використаємо двічі формулу(3). Кількість вибирань 2 виграшних квитків із 4 виграшних – , а 3 невиграшних квитків із 46 невиграшних –. Згідно правила добутку шукана кількість способів –

к) Із шести столярів і трьох слюсарів треба сформувати бригаду із 5 осіб, у яку входив би хоча б один слюсар. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язування. У сформованій бригаді може бути один, два чи три слюсарі. Із наявних трьох слюсарів їх можна вибрати, відповідно, чиспособами. Тоді серед 5 осіб бригади буде, відповідно, чотири, три чи два столяри. Їх можна вибрати із наявних шести столярів, відповідно,чиспособами. Для знаходження кінцевого результату необхідно використати в комбінації правило множення і додавання. Тому шукана кількість буде розраховуватися за такою формулою: