7. Основні закони розподілу випадкових величин Теоретичні положення

Розглянемо закони розподілу випадкових величин, які найчастіше зустрічаються в різних моделях. Спочатку зупинимось на законах розподілу дискретних випадкових величин.

1. Рівномірний розподіл на множині {1, 2, … , n}. Випадкова величина маєрівномірний розподіл, якщо вона набуває значення 1, 2, … , k, … , n з ймовірностями

(1)

Така випадкова величина має многокутник розподілу, який складається з відрізка прямої, що паралельна осі абсцис. Кінці цього відрізка мають координати і.

2. Біноміальний закон розподілу. Випадкова величина , яка набуває значення0, 1, 2, … , k, … , n з ймовірностями

(2)

називається розподіленою за законом Бернуллі (біноміальним законом).

Ряд розподілу біноміальної випадкової величини має наступний вигляд:

Таблиця 1

	0	1	…	k	…	n
			…		…

Цей закон використовується у схемі Бернуллі, тобто у випадку незалежних випробувань, в кожному з яких деяка подія з’являється з однаковою ймовірністю. Постійніі, за допомогою яких виконують розрахунки в табл. 1, називаютьпараметрами біноміального розподілу.

Головні числові характеристики для випадкової величини , яка має біноміальний розподіл розраховують за формулами

(3)

(4)

З останніх двох формул видно, що із зростанням коефіцієнт асиметрії та ексцес прямують до нуля, тобто до відповідних характеристик нормального закону розподілу.

3. Закон розподілу Пуассона. Як згадувалося у розділі 5, при досить великих і малихчизамість формули Бернуллі потрібно використовувати формулу Пуассона (5.11) з параметромКажуть, що в цьому випадку біноміальний розподіл апроксимує розподіл Пуассона.

Випадкова величина , яка набуває значення0, 1, 2, … з ймовірностями

(5)

називається розподіленою за законом Пуассона з параметром .

Ряд розподілу випадкової величини , розподіленої за законом Пуассона з параметром має наступний вигляд:

Таблиця 2

m	0	1	2	…	m	…
				…		…

Це – закон розподілу ймовірностей масових рідкісних подій. Його використовують у теорії масового обслуговування, теорії надійності, задачах статистичного контролю якості продукції, переважно для обчислення кількості дефектів однакових виробів, кількості вимог на виплату страхових сум за визначений період тощо.

Для випадкової величини , розподіленої за законом Пуассона з параметром головні числові характеристики розраховують за формулами

(6)

(7)

4. Геометричний розподіл. Випадкова величина маєгеометричний розподіл, якщо

(8)

Ряд ймовірностей цього розподілу буде нескінченно спадною геометричною прогресією із знаменником , сума якої дорівнює одиниці.

Геометричний розподіл має випадкова величина , яка дорівнює кількості випробувань Бернуллі, поки вперше не відбудеться подія з ймовірністю появи цієї події в одному випробуванні рівною.

Цей розподіл застосовують у різноманітних задачах статистичного контролю якості виробів, в теорії надійності та у страхових розрахунках.

Для випадкової величини , розподіленої за геометричним законом

(9)

5. Гіпергеометричний розподіл. Випадкова величина маєгіпергеометричний розподіл, якщо

(10)

Цей розподіл має місце, наприклад, у такій задачі. Нехай у партії з виробів– якісних і– неякісних. З цієї партії навмання для перевірки берутьвиробів. Треба знайти закон розподілу випадкової величини, яка дорівнює кількості якісних виробів серед вибранихвиробів. Розв’язування цієї задачі приводить до того, щомає гіпергеометричний розподіл.

Гіпергеометричний розподіл використовують у багатьох задачах статистичного контролю якості виробів.

Тепер розглянемо закони розподілу неперервних випадкових величин.

6. Рівномірний розподіл на відрізку. Неперервна випадкова величина , яка набуває значення на відрізкумаєрівномірний розподіл, якщо щільність розподілу має вигляд

(11)

Ймовірність того, що рівномірно розподілена на відрізку випадкова величина прийме значення із заданого інтервалуне залежить від положення цього інтервалу на числовій осі і дорівнює відношенню довжини цього інтервалу до довжини усього проміжку:

(12)

Цей розподіл задовольняють, наприклад, похибки заокруглення різноманітних розрахунків.

Функція розподілу цієї випадкової величини має вид

(13)

Для неперервної випадкової величини , яка має рівномірний розподіл на відрізку

(14)

7. Показниковий закон розподілу. Неперервна випадкова величина , яка набуває невід’ємних значень, має показниковий (експоненціальний) розподіл з параметром ,якщо щільність її розподілу має вигляд

(15)

Оскільки показниковий закон розподілу має тільки один параметр , то він має переваги перед іншими, так як в практичних задачах часто параметри закону невідомі і їх потрібно оцінити (знайти наближено). Зрозуміло, що знайти один параметр набагато простіше, ніж декілька.

Функція розподілу неперервної випадкової величини ,яка має показниковий розподіл, дорівнює

(16)

На підставі (15) отримуємо формулу для обчислення ймовірності попадання в інтервал

(17)

Для випадкової величини , розподіленої за показниковим законом з параметром головні числові характеристики є такими

(18)

Показниковий закон розподілу широко використовується у теорії масового обслуговування, зокрема, зв’язаних з найпростішим потоком подій (послідовністю подій, які наступають у випадкові моменти часу). За цим законом розподілений час ремонту, час чекання в черзі, час обслуговування.

8. Нормальний розподіл. Кажуть, що неперервна випадкова величина розподіленанормально, якщо її щільність розподілу має вигляд

(19)

для будь-якого і довільних чиселі.

Графік функції називаютьнормальною кривою або кривою Гауса. Ця крива є симетричною відносно прямої і має одну точку максимуму при:

(20)

величина якого залежить від параметра .

При танормальну криву називаютьнормованою.

Зауваження. Якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметрамиі, то випадкова величинабуде розподілена за нормованим нормальним законом.

Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини з параметрами і має вигляд

, (21)

де – функція Лапласа. Часом замістьвикористовують функціюТоді

Використовуючи формулу (20), легко знайти ймовірність попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в інтервал

(22)

На підставі цієї ж формули одержимо формулу для знаходження ймовірності відхилення нормально розподіленої випадкової величини від свого математичного сподівання на наперед задану величину

. (23)

Якщо у формулі (22) покласти , то

З останньої рівності виходить такий висновок: ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуває своїх значень у проміжку, дорівнює 0, 9973. Це означає, що– практично достовірна подія. Одержане твердження називаютьправилом “трьох сигм”.

Для випадкової величини , яка має нормальний розподіл з параметрами і ,

(24)

9. Логарифмічно нормальний розподіл. Неперервна невід’ємна випадкова величина маєлогарифмічно нормальний (логнормальний) розподіл, якщо величина має нормальний розподіл.

На підставі визначення випадкової величини , де– нормально розподілена випадкова величина з параметрами і , можна знайти щільність розподілу першої з цих величин:

(25)

10. Розподіл Вейбула. Неперервна випадкова величина , яка набуває невід’ємних значень, має розподіл Вейбула з параметрами і ,якщо щільність її розподілу має вигляд

(26)

Розглянутий раніше показниковий розподіл з параметром є частковим випадком розподілу Вейбула при

11. Гамма-розподіл. Випадкова величина маєгамма-розподіл з параметрами і ,якщо щільність її розподілу має вигляд

(27)

де – гамма-функція Ейлера.

Розглянутий раніше показниковий розподіл з параметром є частковим випадком гамма-розподілу при

Для гамма-розподілу

(28)

Якщо, то отримаємо розподілзступенями вільності.

На практиці часто зустрічаються закони розподілу випадкових величин, які є функціями незалежних нормальних випадкових величин. Розглянемо три з них, які найчастіше зустрічаються при моделюванні випадкових явищ.

12. Розподіл “хі-квадрат” (-розподіл). Нехай – нормальні, нормовані незалежні випадкові величини, тобто кожна з них розподілена за нормальним законом, має математичне сподівання рівне нулю і середнє квадратичне відхилення – рівне одиниці. Тоді випадкова величина

(29)

має розподіл “хі-квадрат” (-розподіл)з ступенями вільності.

Щільність розподілу цієї випадкової величини є такою

(30)

де – гамма-функція Ейлера.

Для випадкової величини, яка має розподіл “хі-квадрат” з ступенями вільності числові характеристики є такими

(31)

Слід зауважити, що розподіл із зростанням числа ступенів вільності дуже повільно прямує до нормального розподілу. Тому цей розподіл при великих значеннях () з достатньою для практичних розрахунків точністю можна апроксимувати (замінити) нормальним розподілом.

Розподіл табульований. У таблицях наведені-процентні точки розподілу(для ), які задовольняють співвідношення . Для значення , ураховуючи попередні міркування, визначають за допомогою таблиць нормального закону розподілу.

14. Розподіл Стьюдента (-розподіл). Нехай – незалежні нормально розподілені випадкові величини, кожна з яких має математичне сподівання рівне нулю. Тоді випадкова величина

(32)

має розподіл Стьюдента з ступенями вільності.

Цей розподіл не залежить від параметра . Для нього

(33)

Щільність розподілу випадкової величини, яка має -розподіл зступенями вільності, обчислюється за формулою

(34)

де – гамма-функція Ейлера.

Графік щільності розподілу Стьюдента симетричний відносно осі ординат і за виглядом приблизно нагадує графік щільності нормального розподілу. Із зростанням числа ступенів вільності -розподіл наближуються до нормованого нормального розподілу.

15. Розподіл Фішера (-розподіл). Нехай – незалежні нормально розподілені випадкові величини, кожна з яких має математичне сподівання рівне нулю. Тоді випадкова величина

(35)

має розподіл Фішера з таступенями вільності.

Цей розподіл не залежить від параметра і має щільність

(36)

Для математичне сподівання цього розподілу дорівнює

При великих тарозподіл Фішера заміняють нормальним розподілом.