8. Багатовимірні випадкові величини Теоретичні положення

В попередніх розділах було розглянуто випадкові величини, можливі значення яких визначались одним числом. Такі величини називаються одновимірними. Але на одному і тому ж просторі елементарних подій може бути визначена не одна, а декілька випадкових величин. Зокрема, при імовірнісному моделюванні структури розходів затрати випадково вибраної сім’ї на харчування, взуття, одяг і інші є випадковими величинами, які визначені на одному просторі елементарних подій.

Нехай – випадкові величини, які визначені на множині елементарних подій.Під -вимірною випадковою величиною, чи випадковим вектором, розуміють впорядкований набір випадкових величин . При випадкову величину називають двовимірною, – тривимірною і т.д.

На багатовимірні випадкові величини поширюються майже без змін основні визначення, які відносяться до одновимірних випадкових величин. Крім цього вводяться нові, які стосуються системи в цілому.

Функцією розподілу -вимірного випадкового вектора називається функція ,яка є ймовірністю того, що одночасно виконуються нерівностей:

(1)

На практиці найчастіше використовуються двовимірні випадкові величини. Тому розглянемо властивості функції розподілу двовимірного випадкового вектора.

1) 

2)

 3) 

4) де іфункції розподілу, відповідно, випадкової величинив точціі випадкової величинив точці

5)  є неспадною функцією за кожним аргументом, тобто

якщо

якщо

6) функція є неперервною ліворуч за кожним з аргументів.

Використовуючи функцію розподілу системи випадкових величин , легко знайти ймовірність того, що внаслідок випробування випадкова точка попаде у смугу чи прямокутник. Зокрема, ймовірність того, що випадкова точка попаде у прямокутник, обчислюється за формулою

(2)

Аналогічно як одновимірна, багатовимірна випадкова величина може бути дискретною і неперервною.

Багатовимірна випадкова величина називається дискретною, якщо множина її можливих значень є скінченною чи зліченною.Закон розподілу цієї величини можна подати у виді -вимірної таблиці, сума всіх ймовірностей якої рівна одиниці. Для двовимірної дискретної випадкової величиниу цій таблиці будуть перелічені можливі значення цієї величиниі відповідні їм ймовірності, що задовольняють умову

(3)

На підставі відомого закону розподілу багатовимірної дискретної випадкової величини можна побудувати закони розподілу її складових. Зокрема, розподіл ймовірностей координат тадвовимірної дискретної випадкової величинирозраховують за формулами:

(4)

Для двовимірних дискретних випадкових величин вводять поняття умовного розподілу. Якщо – дискретна випадкова величина, для якої, то умовні ймовірності визначаються рівностями

(5)

(6)

Звідси умовним законом розподілу складової двовимірної дискретної випадкової величиниза умови, що складованабула певного значення, називають сукупність усіх можливих значеньі відповідних цим значенням умовних ймовірностей, що обчислюються за формулою (5).

Аналогічно визначається умовний закон розподілу складової .

Для умовних розподілів розраховують математичні сподівання, які називають умовними. Умовним математичним сподіванням дискретної випадкової величини за умови, щонабула певного значення,називають число

(7)

Аналогічно

(8)

Перейдемо до розгляду неперервних випадкових величин. Багатовимірна випадкова величина називається неперервною, якщо існує невід’ємна функція така, що для будь-якихфункцію розподілуможна подати у виді-вимірного інтеграла:

(9)

При цьому функцію називається щільністю розподілу ймовірностей випадкової величини .

Якщо , то при виконанні попередніх умов величинуназиваютьнеперервною двовимірною випадковою величиною, а і– відповідно її функцією і щільністю розподілу.

Неважко вивести наступні властивості двовимірної щільності розподілу.

1) 

2) 

3) 

4) 

5) якщо – точка неперервності щільності, то

Якщо відома щільність розподілу ймовірностей випадкового вектора, то можна знайти щільність розподілу його складовихта.

Функція розподілу випадкової величини дорівнює

Інтеграл, який стоїть в круглих дужках останньої рівності, є функцією від . Позначивши цю функцію через:

, (10)

будемо мати

Звідси виходить, що величина , яка розраховується за формулою (10) єщільністю розподілу ймовірностей випадкової величини .

Аналогічно розраховується щільністю розподілу випадкової величини на підставі щільність розподілу ймовірностей випадкового вектора :

(11)

Для неперервної двовимірної випадкової величини вводять умовні щільності розподілу ймовірностей. Нехайі– щільності, відповідно, випадкових величині. Тодіумовною щільністю розподілу ймовірностей випадкової компоненти за умови, що компонентанабула певного значення, для якого, визначається за формулою

. (12)

Умовною щільністю розподілу ймовірностей випадкової компоненти за умовидорівнює

. (13)

Як для дискретної двовимірної випадкової величини, для неперервної також вводять поняття умовних математичних сподівань. Математичне сподівання випадкової величини , обчислене за умовним розподілом (12), називаєтьсяумовним математичним сподіванням випадкової компонентиза умови, щонабула певного значення. Тобто,

(14)

Аналогічно

(15)

До розглянутого умовного математичного сподівання можна підійти як до функції. Ця функція відображає залежність відумовного середньогоі називаєтьсяфункцією регресії на.Аналогічно функція – функція регресіїна.

При побудові імовірнісних моделей випадкові величини рахуються незалежними, якщо відомо, що явища, які пов’язані з випадковими величинами, причинно незалежні між собою. Виходячи з цього, поняття незалежності для випадкових величин вводять по різному. Ми будемо вважати випадкові величининезалежними, якщо

(16)

де – деякі підмножини числової прямої.

Звідси випливає, що неперервні випадкові величини , які утворюють вектор, будуть незалежними тоді і тільки тоді, коли у кожній точці

. (17)

Якщо – дискретний випадковий вектор, то його компоненти будуть незалежними тоді і тільки тоді, коли у кожній точці

. (18)

Можна також стверджувати, що випадкові величини , які утворюють вектор, будуть незалежними тоді і тільки тоді, коли у кожній точці

. (19)

Для двовимірного випадкового величини подібно як і для одновимірної вводять початкові та центральні моменти.Початковим моментом порядку випадкового вектораназивають дійсне число

(20)

Підставивши в формулі (20) замість чинуль одержимо початкові моменти складовихта:і.

Центральним моментом порядку випадкового вектораназивають дійсне число

(21)

З цієї формули

Центральний момент порядку має окрему назву. Його називаютьковаріацією чи кореляційним моментом і позначають

(22)

Якщо розглянути -вимірний випадковий вектор, то можна познаходити кореляційні моменти для будь-якої пари його складових. В результаті отримаємовипадкових величин, які можна подати у вигляді, так званої, коваріаційної матриці. Тобто,коваріаційною матрицею випадкового вектора називається матриця, елементи якої є коваріації:

, (23)

де ,.

З визначення коваріації видно, що вона має розмірність добутку розмірностей випадкових величин та. Однак часом визначити зв'язок між величинамитабажано у безрозмірних величинах. Для цього вводять ще одну числову характеристику.

Коефіцієнтом кореляції випадкових величинтаназивають відношення коваріації до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин

(24)

Коефіцієнт кореляції характеризує ступінь лінійної залежності випадкових величин таі задовольняє умову. Чим ближчедо одиниці, більший взаємозв’язок міжта.

Легко побачити, що є коваріацією нормованих випадкових величині.

Дві випадкові величини таназиваютьсякорельованими, якщо їхній коефіцієнт кореляції відмінний від нуля. Якщо ж коефіцієнт кореляції випадкових величин тарівний нулю, то вони називаютьсянекорельованими.

Оскільки, для незалежних випадкових величин та, то вони є некорельованими. Звідси випливає таке твердження: корельовані випадкові величини обов’язково є залежними. Обернене твердження не завжди правильне, тобто не завжди дві залежні випадкові величини є корельованими, вони можуть бути і некорельованими.

Якщо розглянути -вимірний випадковий вектор, то можна знайти коефіцієнти кореляції для будь-якої пари його складових. В результаті отримаємовипадкових величин, які можна подати у вигляді матриці. Її називають кореляційною. Тобто,кореляційною матрицею -вимірного випадкового вектораназиваєють матрицю, елементи якої є коефіцієнти кореляції:

, (25)

де ,.