Типові задачі і їх розв’язуваня

1. Задана вибірка 9, 7, 4, 11, 15, 4, 4, 9, 15, 4, 7, 9, 7, 15, 11, 4, 9, 4, 15, 9.

а) Побудувати емпіричну функцію розподілу вибірки і знайти її значення при .

б) Знайти розподіл відносних частот отриманого дискретного ряду.

Розв’язування.

а) Варіаційний ряд побудований на підставі даних вибірки буде таким: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11, 15, 15, 15, 15.

Тепер побудуємо дискретний ряд розподілу (див. табл. 4)

Таблиця 4

Варіанта	Частота	Нагромаджена частота
4	6	6
7	3	9
9	5	14
11	2	16
15	4	20

Урахувавши дані таблиці 4, емпіричну функцію розподілу можна зобразити такою формулою

Таким чином

б) Поділивши знайдені частоти на обсяг вибіркиодержимо шукані відносні частоти (див. табл. 5).

Таблиця 5

Варіанта	4	7	9	11	15
Частість	0,3	0,15	0,25	0,1	0,2

2. За даним розподілом вибірки (див. табл. 6) знайти вибіркову середню.

Таблиця 6

Варіанта	10	12	15	20
Частота	2	3	4	1

Розв’язування. Скористаємось спочатку формулою (9). Оскільки задані в табл. 6, а, то

Однак, шукану величину можна знайти простіше використавши формулу (10). В якості постійної візьмемо найменшу варіанту. ТодіЗвідси

Видно, що результати вийшли однакові. Тобто вибіркова середня дорівнює 13,6.

3. Визначити незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності, якщо за вибіркою обсягу знайдена зміщена оцінкагенеральної дисперсії

Розв’язування. Шукана незміщена оцінка дорівнює виправленій дисперсії, яка обчислюється за формулою (23)

4. Внаслідок одинадцяти зважувань деталі однією вагою (без систематичних похибок) одержані такі результати (у грамах): 125; 127; 123; 125; 126; 124; 123; 126; 127; 124; 125. Знайти

а) вибіркову середню ваги деталі;

б) вибіркову і виправлену дисперсії похибок ваги;

в) моду і медіану варіаційного ряду.

Розв’язування. Упорядкувавши наш ряд отримаємо 123; 123; 124; 124; 125; 125; 125; 126; 126; 127; 127. Оскільки початкових даних небагато, то обійдемось без побудови таблиці дискретного ряду.

а) Вибіркова середня буде дорівнювати:

б) Тепер знайти вибіркову дисперсію простіше за формулою (17)

.

Виправлена дисперсія буде дорівнювати

в) Найчастіше зустрічається у варіаційному ряді вага 125 г. Тому .

Оскільки варіаційний ряд має непарну кількість елементів , то медіана дорівнює варіанті з номеромТобто.

Співпадіння вибіркової середньої, моди і медіани слідує також із того, що варіаційний ряд симетричний відносно своєї шостої варіанти .

5. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з генеральним середнім квадратичним відхиленням. Зроблена вибірка обсягу. З надійністюзнайти довірчий інтервал невідомого математичного сподіванняцього розподілу.

Розв’язування. Згідно формули (29) потрібно знайти довірчий інтервал

.

За умовою і, а невідомезнайдемо за таблицею додатка 2 і відомим значенням функції ЛапласаЗвідси.

Отже, довірчий інтервал буде

; .

Якщо, наприклад. , то з надійністю 99% інтервалпокриває параметрз точністю 0,64375.

6. При рівні значущості перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, якщо відомі емпіричні та теоретичні частоти

Таблиця 7

	6	13	38	74	106	85	30	14
	3	14	42	82	99	76	37	13

Розв’язування. В умові задачі теоретичні частоти задані, тому не потрібно їх розраховувати. Оскільки , то за формулою (32)

З таблиці критичних точок розподілу длятазнаходимо

Для обчислення за формулою (31) використаємо розрахункову таблицю (див. табл. 8).

Таблиця 8

6	3	3	9	3
13	14	-1	1	0,07
38	42	-4	16	0,38

Закінчення таблиці 8

74	82	-8	64	0,78
106	99	7	49	0,49
85	76	9	81	1,07
30	37	-7	49	1,32
14	13	1	1	0,08

Просумувавши числа в останньому стовпчику, знайдемо . Оскільки 7,19 < 11,1, тобто, тому за правилом Пірсона гіпотезутреба прийняти. Це є наслідком того, що розбіжність емпіричних та теоретичних частот незначна.