9. Граничні теореми теорії ймовірностей Теоретичні положення

Доведено, що при деяких відносно широких умовах сукупна поведінка достатньо великої кількості випадкових величин втрачає випадковий характер і приводить до результату, що майже не має елементів випадковості і дозволяє передбачити їх поведінку. Для практики, зокрема для задач математичної статистики, важливо знати умови, за якими це відбувається. Ці умови вказуються у відповідних граничних теоремах, які об’єднані загальною назвою закон великих чисел.

Основою закону великих чисел є нерівність Чебишова. Вона є частковим випадком більш загальної нерівності, яка носить ім’я іншого вченого – Маркова:

(1)

Суть цієї нерівності полягає у тому , що для і будь-якої випадкової величини, яка має скінченне математичне сподівання, ймовірність подіїне перевищує добутку часткина математичне сподівання модуля випадкової величини.

З (1) отримуємо іншу нерівність

(2)

яка є протилежної до неї.

Використовуючи нерівність (1) чи (2), можна довести нерівність Чебишова: Якщо випадкова величина має скінченну дисперсію, то для

(3)

З останньої нерівності одержимо

(4)

На підставі нерівності (3) також можна знайти ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання не перевищить трьох своїх середніх квадратичних відхилень:

(5)

Аналогічно

(6)

Тобто, ймовірність відхилення будь-якої випадкової величини від свого математичного сподівання на величину, що перевищує, не більше 1/9. Згадаємо, що для нормального закону ця ймовірність дорівнює 0,0027 (див. розділ 7).

Крім формул (5), (6), з нерівності Чебишова випливають такі наслідки:

1. Якщо послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають скінченну дисперсієюі математичне сподіванням, то для

(7)

2. Якщо – послідовність попарно незалежних випадкових величин, причому їхні дисперсії обмежені згори числомі, то

(8)

3. Нехай – відносна частота появи подіївнезалежних випробуваннях,– ймовірність появи подіїв кожному з цих випробувань. Тоді для

(8)

Теорема Чебишова (закон великих чисел). Якщо випадкові величини в послідовності попарно незалежні, а їхні дисперсії обмежені згори одним і тим же числом, тобто не перевищують постійного числа

, (9)

то

(10)

Звідси видно, що, якщо дисперсії попарно незалежних випадкових величин рівномірно обмежені, тобто виконується умова (9), тосправедлива рівність (10).

Тобто, середнє арифметичне досить великої кількості незалежних випадкових величин, дисперсії яких рівномірно обмежені, втрачає характер випадкової величини і з великою ймовірністю приймає значення близьке до середнього арифметичного їх математичних сподівань.

На практиці досить часто використовується наслідок з цієї теореми (закон великих чисел для однаково розподілених випадкових величин, що мають однакову дисперсію): Якщо послідовність попарно незалежних однаково розподілених випадкових величин з математичним сподіваннямі дисперсією, то для будь-якого

(11)

Теорема Чебишова є підґрунтям вибіркового методу, який широко використовується у статистиці. Суть його полягає у тому, що за відносно невеликою випадковою вибіркою судять про всю (генеральну) сукупність досліджуваних об’єктів.

З рівності (11) не випливає, що . В теоремі лише говориться про те, що при досить великій кількості спроб середнє арифметичне випадкових величин втрачає випадковий характер і буде як завгодно мало відрізнятись від їхнього математичного сподівання. В цьому випадку кажуть, що прямує доза ймовірністю і записують так:

. (12)

Зрозуміло, що збіжність за ймовірністю відрізняються від збіжності в розумінні математичного аналізу. Адже, якщо в розумінні математичного аналізу, то починаючи з деякого, для всіх наступнихобов’язково виконується нерівність

. (13)

В той же час , якщо припрямує за ймовірністю до, то для окремих значеньнерівність (13) може не виконуватися.

Закон великих чисел для кількості успіхів у випробуваннях Бернуллі називають теоремою Бернуллі: Відносна частота успіхів в незалежних випробуваннях Бернуллі призбігається за ймовірністю до ймовірності успіху в одному випробуванні, тобто для будь-якого

(14)

де – кількість успіхів ввипробуваннях Бернуллі,– ймовірність успіху в одному випробуванні.

Теорема Бернуллі є теоретичним підґрунтям статистичного означення ймовірності події. Оскільки з теореми слідує, що для нерівністьвиконується для великихз ймовірністю, близькою до одиниці, то можна вважати, що при великих.

Центральна гранична теорема (у формулюванні Ляпунова): Якщо – незалежні однаково розподілені випадкові величини, що мають скінченну дисперсієюі математичне сподіванням, то для довільного дійсногомає місце рівність

(15)

Тобто, теорема Ляпунова твердить, що розподіл стандартизованого середнього арифметичного випадкових величинпрямує при досить великихдо нормального нормованого розподілу. Вирішення питання, при яких значенняхвикористовувати нормальне наближення залежить від потрібної точності обчислення ймовірності. Переважно центральну граничну теорему використовують, якщо

На практиці збіжність розподілу ймовірностей суми випадкових величин до нормального закону виконується доволі часто. Цим можна пояснити те, що нормальний розподіл часто зустрічається в практичних задачах. Зокрема в економіці, деякі показники також являють собою суму великої кількості доданків, кожний з яких має малий внесок в сумарний показник. В цьому випадку досліджуваний показник має приблизно нормальний розподіл.

Слід зауважити, що локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа є наслідками центральної граничної теореми.