Типові задачі і їх розв’язуваня

1. Фірма закупила для своїх працівників 16 мобільних телефонів. Серед них 7 фірми А, 5 – фірми В і 4 – фірми С. Ймовірності того, що телефонні апарати, виготовлені цими фірмами, зіпсуються протягом гарантійного терміну, відповідно дорівнюють 0,02; 0,04; 0,05. Яка ймовірність того, що навмання вибраний мобільний телефон не зіпсується протягом гарантійного терміну ?

Розв’язування. Для знаходження шуканої ймовірності скористаємось формулою повної ймовірності (1)

Введемо такі позначення: А = {вибраний мобільний телефон не зіпсується протягом гарантійного терміну}, {вибраний мобільний телефон виготовлений фірмою А}, {вибраний мобільний телефон виготовлений фірмою В}, {вибраний мобільний телефон виготовлений фірмою С}.

На підставі заданих в умові задачі даних знайдемо ймовірності трьох гіпотез, а також умовні ймовірності:

В результаті, за формулою повної ймовірності одержимо ймовірність того, що навмання вибраний мобільний телефон не зіпсується протягом гарантійного терміну

2. Виробниче об’єднання складається із трьох підприємств. Продукція виготовляється на цих трьох підприємствах і надходить на спільний склад виробничого об’єднання. За якийсь період перше підприємство здало на склад 300 одиниць продукції, серед яких 2 браковані, друге – 200 одиниць продукції, серед яких 2% браковані і третє – 500 одиниць продукції, серед яких 4 браковані. Визначити ймовірність того, що навмання взята зі складу одиниця продукції виявиться бракованою.

Розв’язування. В даній задачі знайти шукану ймовірність можна двома способами. Як і в попередній задачі тут можна використати формулу повної ймовірності.

Нехай D = {взята зі складу одиниця продукції бракована}, {взята зі складу одиниця продукції виготовлена на першому підприємстві}, {взята зі складу одиниця продукції виготовлена на другому підприємстві}, {взята зі складу одиниця продукції виготовлена на третьому підприємстві}.

За умовою задачі Тому шукана ймовірність дорівнює

Слід зауважити, що розв’язок цієї задачі можна знайти іншим способом. Ми можемо окремо знайти кількість всіх одиниць продукції і кількість бракованих одиниць продукції на складі. Процедура вибору одиниці продукції відбувається відразу зі складу з усіх наявних там одиниць продукції, а не вибирається спочатку номер підприємства і вже потім із виготовлених ним одиниць продукції вибирається одна. Тому елементарні події, кожна з яких полягає у виборі відповідної одиниці продукції зі складу будуть рівноможливими і для розв’язування цієї задачі достатньо використання тільки класичного визначення ймовірності. Тобто знайти шукану ймовірність можна за формулою

,

де – кількість бракованих одиниць продукції на складі, ап – кількість всіх одиниць продукції на складі.

Перше підприємство здало на склад дві браковані одиниці продукції, друге – 0,02∙200 = 4 (чотири), а третє – також чотири. Звідси , аТому. Така ж величина цієї ймовірності вийшла при розрахунках її за формулою повної ймовірності (1).

3. На одній з виборчих дільниць є дві урни з бюлетенями. В одній з них міститься 1000 бюлетенів, 2% з яких недійсні, а в другій – 800 бюлетенів, 3% з яких недійсні. Знайти ймовірність того, що бюлетень взятий з навмання вибраної урни недійсний.

Розв’язування. Нехай А = {бюлетень взятий з навмання вибраної урни недійсний}, {вибрана перша урна}, {вибрана друга урна}.

Оскільки тут ми спочатку вибираємо урну, то ймовірність вибрати одну із двох урн буде дорівнювати 0,5. Тому а за умовою задачіТепер, використовуючи формулу повної ймовірності (1), одержимо

Задана в умові задачі інформація про кількість бюлетенів в урнах є зайвою, оскільки при обчисленні шуканої ймовірності не використовується.

Розв’язати цю задачу аналогічно як попередню іншим способом не можна. Причина у цьому, що тут ми спочатку вибираємо урну, а потім бюлетень беремо вже з цієї урни. Тому події {бюлетень взятий з першої урни недійсний} і {бюлетень взятий з другої урни недійсний} не рівноможливі і мають різну ймовірність. Тобто розв’язати дану задачу можна тільки з використанням формули (1).

4. Навмання беруть дві кістки з повного набору кісток доміно. Яка ймовірність того, що одну з цих кісток можна приставити до іншої.

Розв’язування. Розв’язати дану задачу можна також за допомогою формули повної ймовірності (1). В якості гіпотез візьмемо події {кісточка, яка витягнута першою, має однакові цифри на обох половинах}, {кісточка, яка витягнута першою, має різні цифри на обох половинах}, а подія А = {одну з вибраних кісток можна приставити до іншої}.

Для знаходження ймовірності цих подій, спочатку знайдемо загальну кількість кісточок доміно. Її можна порахувати двома способами. Всіх різних цифр на одній половині кісточки може бути сім (від нуля до шість). Тоді кількість всіх кісточок доміно, кожна з яких має різні цифри на двох своїх половинах, дорівнює . Кількість кісточок з однаковими цифрами дорівнює 7. Тобто загальна кількість кісточок доміно дорівнює 21 + 7 = 28.

Підійдемо до знаходження цієї величини з іншого боку. Оскільки на першій половині кісточки може бути будь-яка цифра від нуля до шести (разом сім) і на другій так само, то кількість всіх таких варіантів за правилом множення дорівнює 7 ∙ 7 = 49. Однак в цій, порахованій нами кількості, кісточки з різними цифрами на обох своїх половинах будуть враховані по два рази. Тому від знайденої величини треба відняти цю кількість . Отже, в результаті одержимо 49 – 21 = 28, що і в першому випадку.

Знайдемо тепер ймовірності гіпотез іта умовні ймовірності подіїА при умові, що ці гіпотези відбулися.

За формулою (1)

5. У тренера спортивної секції є 9 волейбольних м’ячів, 6 з яких нові. Для першої гри навмання взяли два м’ячі і після гри повернули тренеру. Для другої гри знову взяли два м’ячі. Яка ймовірність того, що обидва ці м’ячі будуть новими ?

Розв’язування. Після гри новим м’ячем він переходить з категорії нових у вживані. Тому для знаходження шуканої ймовірності потрібно знати, які м’ячі ми взяли для першої гри – нові чи вживані. Оскільки для першої гри ми могли взяти два нові, тільки один новий, або ні одного нового м’яча, то ймовірність того, що обидва м’ячі, які ми взяли для другої гри, будуть новими можна обчислити за формулою повної ймовірності

де події {для першої гри взяли два нових м’ячі}, {для першої гри взяли один новий і один вживаний м’яч}, {для першої гри взяли два вживаних м’ячі}, {для другої гри взяли два нових м’ячі}.

Знайдемо ймовірності гіпотез і необхідні умовні ймовірності вказаних подій. Для знаходження ймовірності того, щоб відбулася подія скористаємось класичним визначенням ймовірності. Для цього потрібно знайти загальну кількість можливих варіантів вибору двох м’ячів з дев’яти і кількість можливих варіантів вибору двох м’ячів з шести нових м’ячів. Перша кількість дорівнює, а друга –. Тому

Аналогічно знаходимо ймовірності того, що відбулися події та.

Умовна ймовірність це ймовірність взяти два нових м’ячі для другої гри, при умові, що для першої гри було взято також два нових м’ячі. Оскільки після першої гри ці два м’ячі перейшли з категорії нових у вживані, то перед другою грою у тренера було 4 нових і 6 вживаних м’ячів. Тому

Аналогічно знаходимо

Тепер можна знайти ймовірність події А.

Тобто, ймовірність того, що для другої гри взято два нових м’ячі приблизно дорівнює 0,243.

6. В кожній із 10 урн міститься 6 чорних і 4 білих кулі. З першої урни навмання беруть одну кулю і перекладають в другу урну, після цього з другої урни навмання беруть одну кулю і перекладають в третю урну і т. д., з дев’ятої урни навмання беруть одну кулю і перекладають в десяту урну. Знайти ймовірність того, що навмання вийнята з десятої урни куля виявиться білою.

Розв’язування. Шукана ймовірність буде залежати від того, білу чи чорну кулю ми переклали з дев’ятої урни в десяту. Тому потрібно знати ймовірності цих подій. А ці ймовірності, в свою чергу, будуть залежати від того, яку кулю ми переклали з восьмої урни в дев’яту. У зв’язку з цим потрібно знати і ці ймовірності і т. д. Виходячи з цих міркувань почнемо рахувати ймовірності того, що ми переклали з першої урни в другу урну білу кулю, а також, що ми переклали чорну кулю. Далі знайдемо ймовірності того, що ми переклали з другої урни в третю урну білу кулю, а також, що ми переклали чорну кулю і т. д.

Нехай {з і-ої урни вийнято для перекладання в і+1-у урну білу кулю}, {з і-ої урни вийнято для перекладання в і+1-у урну чорну кулю}.

За умовою задачі Тобто це ймовірністьтого, що ми вийняли з першої урни (і переклали в другу урну) кулю білого кольору і що ми вийняли з першої урни кулю чорного кольору.

Ймовірність того, що ми вийняли з другої урни (і переклали в третю урну) кулю білого кольору обчислимо за формулою повної ймовірності (1). При введених позначеннях ця формула буде мати вигляд:

.

Умовна ймовірність означає ймовірність того, що ми вийняли з другої урни білу кулю, при умові, що з першої в другу урну поклали також білу кулю. В цьому випадку серед 11 куль, які будуть знаходитись у другій урні 5 будуть мати білий колір і 6 – чорний. Тому ця ймовірність дорівнює.

Аналогічно знаходимо умовну ймовірність того, що ми вийняли з другої урни білу кулю, при умові, що з першої в другу урну поклали чорну кулю., бо в цій ситуації кількість білих куль залишилася такою ж, якою і була, а загальна кількість збільшилася на одну кулю за рахунок докладання чорної кулі. Тепер, можна обчислити ймовірність того, що ми вийняли з другої урни і переклали в третю урну кулю білого кольору.

За аналогічною формулою

знайдемо ймовірність того, що ми вийняли з другої урни (і переклали в третю урну) кулю чорного кольору.

Умовна ймовірність означає ймовірність того, що ми вийняли з другої урни чорну кулю, при умові, що з першої в другу урну поклали білу кулю. В цьому випадку серед 11 куль, які будуть знаходитись у другій урні 5 будуть мати білий колір і 6 – чорний. Тому ця ймовірність дорівнює. Аналогічно знаходимо умовну ймовірністьтого, що ми вийняли з другої урни чорну кулю, при умові, що з першої в другу урну поклали чорну кулю., бо в цій ситуації кількість білих куль залишилася такою ж, якою і була, а загальна кількість збільшилася на одну кулю за рахунок докладання чорної кулі. Таким чином, одержимо

Останню ймовірність можна знайти іншим способом. Оскільки гіпотези іутворюють повну групу подій, то

Ймовірність того, що ми вийняли з третьої урни (і переклали в четверту урну) кулю білого кольору знову обчислимо за формулою повної ймовірності (1):

.

Оскільки , то ймовірність вийняти білу кулю з третьої чи з другої урни буде однакова. Тобто,Аналогічно однаковими будуть ймовірності того, що ми вийняли чорну кулю з третьої чи з другої урни. Тобто,

Продовжуючи наші міркування аналогічно отримаємо:

В результаті, ймовірність того, що навмання вийнята з десятої урни куля виявиться білою за аналогією буде дорівнювати Отже, шукана ймовірність знайдена. Відповідь: 0,4.

7. Для набору тексту підручника з “Теорії ймовірностей та математичної статистики” залучили трьох осіб. Перша особа набрала 40 сторінок, друга – 60, а третя – 100 сторінок тексту. Весь текст помістили в одну папку. Навмання вийнята з папки сторінка тексту виявилася з помилкою. Яка ймовірність того, що вона набрана другою особою, якщо ймовірність зробити помилку для першої з цих осіб дорівнює 0,05, другої – 0,1 і третьої – 0,15.

Розв’язування. Нехай А = {вийнята з папки сторінка тексту виявилася з помилкою}, {вийнята з папки сторінка тексту набрана першою особою}, {вийнята з папки сторінка тексту набрана другою особою}, {вийнята з папки сторінка тексту набрана третьою особою}.

Тоді, з умови задачі

За формулою повної ймовірності знайдемо ймовірність того, що навмання вийнята з папки сторінка тексту виявилася з помилкою

Для знаходження ймовірності того, що вийнята з папки сторінка тексту набрана другою особою треба застосувати формулу Байєса:

8. Три стрільці по одному разу стріляють в одну і ту ж мішень. Ймовірності попадання в мішень при одному пострілі кожним із стрільців відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Яка ймовірність того, що другий стрілець промахнувся, якщо після пострілів у мішень виявилося дві пробоїни ?

Розв’язування. Здавалось би, що в якості гіпотез тут можна взяти такі події: {в мішень попав перший і другий стрілець},{в мішень попав перший і третій стрілець},{в мішень попав другий і третій стрілець}, а в якості події{два стрільці попали в ціль}. Однак, в цьому випадку ми підсвідомо враховуємо те, що після пострілів у мішень виявилося дві пробоїни. Фактично ці три події не будуть утворювати повну групу подій, оскільки можливі варіанти, що ні один із стрільців не попав у ціль, попав тільки якийсь один стрілець, або попали всі три стрільці.

Тому, в якості гіпотез візьмемо такі події: {другий стрілець попав у мішень},{другий стрілець промахнувся}, а подія{два стрільці попали в ціль}.Згідно умови задачі, нам потрібно знайти умовну ймовірність. Скористаємось для її обчислення формулою Байєса

,

де .

Знайдемо невідомі ймовірності.

За умовою задачі Умовна ймовірність– це ймовірність того, що в ціль попало два стрільці, причому один з них другий. Тобто, крім другого стрільця, ще один влучний постріл зробив перший стрілець, а третій промахнувся, або третій попав, а перший промахнувся. Оскільки нам точно відомо, що другий стрілець попав у мішень (знаходиться умовна ймовірність), то при обчисленнях беруть участь числові значення ймовірності попадання у мішень тільки першого і другого стрільців. З цих міркувань

Умовна ймовірність – це ймовірність того, що в ціль попали перший і третій стрільці. ТомуТепер за формулою повної ймовірностіВ результаті шукана ймовірність дорівнює

9. На підставі попередніх статистичних обстежень про народження двох близнюків зроблено такі припущення: ймовірність народження двох хлопчиків дорівнює 0,35, а двох дівчаток – 0,31. Якщо близнюки різностатеві, то ймовірність народитися першим для обох статей однакова. Відомо, що першим народився хлопчик. Яка ймовірність, що другим народиться також хлопчик.

Розв’язування. Враховуючи інформацію про те, що першим народився хлопчик і необхідність утворення всіма гіпотезами разом повної групи подій, можна у якості гіпотез взяти події – {другим із близнюків народився хлопчик} і {другим із близнюків народилася дівчинка}. Однак, нам невідомі ймовірності цих гіпотез, і ми не можемо їх знайти. Тому, виходячи з умови, у якості гіпотез візьмемо події = {народилися два близнюки-хлопчики}, = {народилися два близнюки-дівчинки}, = {народилися два різностатеві близнюки}. Вони також утворюють повну групу подій. В якості А візьмемо відому подію: {першим народився хлопчик}. Для знаходження ймовірності цієї події використаємо формулу (1)

,

у якій Тобто

Для знаходження ймовірності народження другого хлопчика скористаємось формулою Байєса