Глава іі: Векторна алгебра

§1 Основні поняття

Розглядаючи різні процеси та явища, ми зустрічаємося з об‘єктами та величинами різної природи. Деякі із фізичних величин – такі як маса, температура, об‘єм, потенціал характеризуються одним числом. Вони називаються скалярними величинами або просто скаляром. Поряд зі скалярами існують величини, для характеристики яких необхідно вказати також і напрямок. Такі, наприклад, сила, швидкість, переміщення, напруження та інші. Ці фізичні величини називаються векторними величинами або векторами.

 

Геометричною моделлю векторної величини являється прямолінійний відрізок із вибраним на ньому напрямком.

В нашому курсі ми і будемо мати справу в основному з цією моделлю, а тому прямолінійний відрізок, для якого вказано, яка із обмежуючих його точок вважається початком, яка кінцем, будемо називати геометричним вектором або просто вектором.

Якщо А – початок вектора, В – його кінець, тоді сам вектор будемо позначати символом . Символ буде, очевидно, позначати вектор, початок якого знаходиться в точці В, а кінець - в точціА. Під довжиною вектора будемо розуміти відстань між початком і кінцем вектора. Довжину, або, як часто говорять, модуль вектора , позначають символом . Очевидно, вектори і мають однакову довжину (тобто =) і протилежні напрямки.

Вище було вказано, що вектор повністю визначається своїм початком та кінцем. Він може бути заданий також початком, довжиною та напрямком. Але для цілого ряду питань точка прикладання (початок вектора) не обов‘язкова – має значення лише довжина вектора та його напрямок. Такі вектори називаються вільними. Оскільки точка прикладання (початок вектора) будь-яка, тоді вектор можна переносити, зберігаючи його довжину і напрямок, в будь-яку точку простору. А тому вектори, які мають рівні довжини та однакові напрямки, називаються рівними векторами. Тобто,вектори рівні, якщо при паралельному переносі векторів і співпаданні їх початків будуть співпадати і їх кінці.

Оскільки для вільних векторів можна не вказувати початок, тоді вони часто визначаються одною буквою: вектор , вектор і т.д. Довжина вектора позначається символом .

 

Введемо ще три терміни, які часто зустрічаються у векторній алгебрі.

 

Колінеарними називаються вектори, які лежать на паралельних прямих. Або, вектори колінеарні, якщо при паралельному їх переносі та співставленні їх початків вони лежать на одній прямій.

 

Компланарними називаються вектори, які лежать на паралельних площинах. Тобто, вектори компланарні, якщо при паралельному їх переносі і співставленні початків вони лежать в одній площині. Очевидно, що два вектори завжди компланарні.

 

Нульовим вектором являється вектор, у якого початок співпадає з кінцем. Довжина нульового вектора дорівнює нулю, а напрямок довільний, а тому нульовий вектор можна вважати колінеарним будь-якому іншому вектору. Позначати нульовий вектор будемо символом .

 

§2 Лінійні операції з векторами.

Вводячи різні операції з векторами, збережемо прийняті в алгебрі чисел терміни “додавання” та “множення”. Але необхідно взяти до уваги, що оскільки поняття “вектор” та “число” суттєво різні, тоді і зміст вказаних операцій може не співпадати з відповідними операціями алгебри чисел. А тому необхідно дослідити основні правила цих по суті нових операцій та перевірити виконання встановлених в алгебрі чисел законів: комутативного, асоціативного та дистрибутивного.

 

Визначення. Сумою двох векторів називається третій вектор, початок якого є початком 1-го вектора, кінцем – кінець 2-го, при чому початок 2-го вектора співставлений з кінцем 1-го.

Із введеного визначення випливає, що при додаванні векторів має місце комутативна властивість, тобто

 (1)

Дійсно, доповнимо трикутник, складений із векторів , , до паралелограма (рис.3). Оскільки , і згідно визначення суми векторів і , тоді .

 

Рис.3

Із наведених міркувань випливає, що суму двох векторів і можна визначити як діагональ паралелограма, побудованого на векторах і , які виходять із загального початку заданих векторів.

Легко перевірити, що при додаванні векторів має місце асоціативна властивість, тобто

 (2)

а тому суму трьох векторів можна записати просто у вигляді . Дійсно, побудуємо із векторів і вектор ; побудуємо також суму векторів та вектора (рис.4).

 

Відмічений пунктиром вектор згідно визначення і є сумою векторів і , . Разом з тим , таким чином, .

 

Проведені міркування дають прийом додавання будь-якого числа векторів. Нехай задані k векторів , і необхідно знайти їх суму. До кінця вектора прикладемо початок вектора , до кінця побудованого вектора приставимо початок вектора і т.д. Нарешті, до кінця вектора приставимо початок вектора (рис.5).

 

Тоді вектор , початком якого є початок вектора , а кінцем – кінець вектора , і буде сумою векторів : . При цьому байдуже, в якому порядку нумеруються задані вектори.

Таким чином, сума декількох векторів представляє собою вектор, який замикає ламану, побудовану на заданих векторах. Може статися, що кінець останнього вектора співпаде з початком першого, і, отже, у замикаючого вектора кінець співпаде з початком. В цьому випадку сума векторів є нульовим вектором.

 

Визначення. Добутком вектора  на число (або числа на вектор ) називається вектор , довжина якого в раз більше довжини вектора і напрямок співпадає з напрямком вектора , якщо , та протилежний напрямку , якщо .

Оскільки ділення на число представляє собою множення на число , то можна виконувати і ділення вектора на відмінне від нуля число.

Нехай ненульовий вектор. Оскільки - додатне число, тоді вектор направлений так, як і вектор . Довжина вектора дорівнює, очевидно, 1. Вектор , який має довжину рівну 1 і направлений так, як і вектор , називається ортом вектора .

Добуток вектора на число –1 (або, що теж саме, добуток числа –1 на вектор ), тобто вираз (або ), записують як -. Оскільки вектори та мають у відповідності з визначенням однакові довжини та протилежні напрямки, тоді

 (3)

Як і в алгебрі чисел, в алгебрі векторів немає потреби розглядати окремо дію віднімання. Відняти від вектора вектор означає додати до вектора вектор -: . А тому у векторних рівностях вектори можна переносити із однієї частини рівності в другу, змінюючи знак, який стоїть перед вектором, на протилежний. Тобто, якщо , тоді .

 

Неважко переконатись, що при множенні вектора на число має місце асоціативна та дистрибутивна властивості. Покажемо, по-перше , що

 (4)

(тобто має місце асоціативна властивість по відношенню до числових множників).

Дійсно, оскільки довжина вектора дорівнює , довжина вектора дорівнює та довжина вектора дорівнює , тоді довжина векторів та однакова. Далі, якщо, наприклад, числа та додатні, тоді вектори, , направлені так, як і вектор , а тому усі вони мають однакові напрямки. Якщо та , тоді вектори , , направлені всі протилежно вектору , а тому також однаково направлені.

Аналогічні міркування проводяться і у всіх інших випадках.

Доведемо тепер, що

 (5)

нехай (рис. 6 при та рис.7 при ).

 

 

Оскільки , тоді кути ОАВ та ОА₁В₁ рівні. Оскільки , тоді трикутники ОАВ та ОА₁В₁ подібні. Звідси, точки О, В, В₁ лежать на одній прямій і , а тому . Але і твердження доведене.

Очевидно, має місце також співвідношення

 (6)

Розглянуті операції – додавання векторів та множення вектора на число – називаються лінійними операціями, а вектор

 (7),

отриманий в результаті проведення декількох лінійних операцій, лінійною комбінацією векторів . Числа називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.