Розділ ііі. Диференціальне числення

Главаvi: Похідні та диференціали

 

§ 1 Поняття похідної

Нехай функція визначена на проміжку (можливо нескінченному). Візьмемо довільну точку і надамо їй довільного приросту такого, щоб . Функція дістане в точці відповідний приріст

 

Визначення1. Похідною функції у точці називається границя відношення приросту цієї функції до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідна позначається одним із символів: . Надалі, як правило, надаватимемо перевагу першому символу, який ввів Лагранж.

Отож, за визначенням

 (1)

 

Відношення

 (2)

називається диференціальним відношенням.

 

У випадку, коли границя відношення (2) при не існує, вважатимемо, що функція в точці не має похідної.

Якщо функція має похідну в кожній точці , то позначимо цю похідну або .

 

Отже, якщо - фіксована точка проміжку Х, то похідна в разі її існування – деяке число. Якщо ж похідна існує в кожній точці , то вже функція від х.

 

Зауваження 1. Якщо проміжок Х – замкнений, наприклад, і , то у формулі (1) границя правостороння

 

Аналогічно, якщо , то

 

(границя лівостороння).

 

Зауваження 2. Зрозуміло, що границя (1) існує не для будь-якої функції і не всякої для точки . Наприклад, для функції в точці границя (1) не існує, оскільки диференціальне відношення (2)

 

Зауваження 3. Якщо існують границі

 і ,

 

то їх називають відповідно лівою і правою похідною функції у точці  і позначають і . Це так звані односторонні похідні. Наприклад, ці похідні в точці має функція , причому і .

 

Якщо існують ліва й права похідні і =, то, очевидно, існує похідна , причому ==. Оскільки для функції , то не існує.

 

Зауваження 4. Якщо для деякого значення х виконана одна з умов

 або ,

 

то кажуть, що в точці функція має нескінченну похідну певного знака.

Аналогічно встановлюється поняття односторонніх нескінченних похідних. Наприклад, функція в точці має нескінченну похідну, що дорівнює . Дійсно,

.

 

У подальшому, якщо не обумовлюється окремо, під словами функція має похідну розумітимемо лише наявність скінченої похідної.

 

Визначення 2. Функція , яка має похідну в точці , називається диференційованою на проміжку Х.

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

Теорема (про зв’язок між поняттями диференційованості і неперервності). Якщо функція диференційована в точці , то вона в цій точці неперервна.

 

Доведення. Оскільки функція диференційована в точці , то існує границя

 

Запишемо тотожність

і перейдемо в ній до границі, якщо . Отримаємо

А це й означає, що функція неперервна в точці .

Підкреслимо, що функція неперервна в точці , не обов’язково диференційована в цій точці. Так, наприклад, функція , про яку йшлося вище, очевидно, неперервна в точці , проте похідної в цій точці немає.

Відомі приклади функцій, які неперервні на всьому проміжку Х, проте в жодній точці не мають похідної.

§2 Зміст похідної

До поняття похідної приводять різноманітні задачі геометрії, механіки, хімії, економіки, біології та інших наук. Розглянемо деякі з них.

 

2.1. Задача про дотичну до кривої

Нехай функція диференційована в точці , тобто існує похідна . Рівняння січної , яка проходить через точки і графіка функції (рис. 45),

 

Рис. 45

має вигляд

 

де X і Y – змінні координати точки січної. Кутовий коефіцієнт січної при прямує до . А тому граничне положення січної визначається рівнянням

.

 

Пряма, яка задається цим рівнянням, називається дотичною до графіка функції у точці . Кутовий коефіцієнт дотичної .

 

Остання формула приводить до геометричного змісту похідної: похідна функції у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції , проведеної в точці .

 

Геометричне тлумачення похідної як кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції поширюється і на випадок нескінченної похідної. У цьому разі дотична паралельна осі Оу.