3.5. Асимптоти. Дослідження графіка функції в цілому

При вивчені поведінки функції, якщо або поблизу точок розриву другого роду, часто трапляється, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Ці прямі називаються асимптотами.

Визначення . Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з границь або нескінченна. Наприклад, пряма - вертикальна асимптота графіка функції , оскільки

, .

 

Визначення . Пряма називається похилою асимптотою графіка функції при , якщо

.

 

Теорема . Для того щоб пряма була похилою асимптотою графіка функції при , необхідно й достатньо, щоб існували границі

 

Доведення. Необхідність. Для конкретності розглядатимемо випадок, коли. Нехай - похила асимптота графіка функції при . Оскільки

,

 

то в силу визначення ,

 

Достатність. Нехай існують границі, вказані в теоремі. Тоді з другої границі випливає, що , а тому пряма дійсно є похилою асимптотою графіка функції при .

 

При дослідженні графіка функції в цілому рекомендується, наприклад, схема, за якою слід знайти:

1. область визначення функції, її точки розриву й проміжки неперервності;

2. асимптоти графіка функції;

3. точки локального екстремуму функції;

4. проміжки монотонності функції;

5. точки перегину, проміжки опуклості і вгнутості.

Враховуючи дослідження, побудувати графік функції.

Порядок дослідження доцільно обирати згідно з особливостями функції. При розв’язанні конкретної задачі окремі пункти можна дещо розширити, а деякі можуть виявитися зайвими.

 

§ 5 Застосування похідної в економічній теорії.

Розглянемо деякі приклади застосування похідної в економічній теорії. Звернемо увагу на те, що багато, в тому числі і базові закони теорії виробництва і споживання, попиту і пропозиції є прямим наслідком математичних теорем, сформульованих в даній главі.

Спочатку розглянемо економічну інтерпретацію теореми Ферма.

Один із базових законів теорії виробництва є таким: оптимальний для виробника рівень випуску товару визначається рівністю граничних витрат і граничного доходу.

Тобто рівень випуску є оптимальним для виробника, якщо , де MS – граничні витрати, а MD – граничний доход. Позначимо функцію прибутку за . Тоді . Очевидно, що оптимальним рівнем виробництва є той, при якому прибуток максимальний, тобто таке значення випуску , при якому функція має екстремум (максимум). За теоремою Ферма в цій точці . Оскільки , тоді , тобто .

 

Друге важливе поняття теорії виробництва – це рівень найбільш економічного виробництва, при якому середні витрати по виробництву товару мінімальні. Відповідний економічний закон твердить: рівень найбільш економічного виробництва визначається рівністю середніх і граничних витрат.

Отримаємо цю умову як наслідок теореми Ферма. Середні витрати визначаються як , тобто витрати по виробництву товару поділені на вироблену його кількість. Мінімум цієї величини досягається в критичній точці функції , тобто за умови

,

 

звідси або , тобто .

 

Поняття випуклості функції також знаходить свою інтерпретацію в економічній теорії.

Один з найбільш відомих економічних законів – закон спадаючої дохідності – формулюється таким чином: зі збільшенням виробництва додаткова продукція, отримана на кожну нову одиницю ресурсу (трудового, технологічного, і т.ін.), з деякого моменту спадає.

Іншими словами, величина , де - приріст ресурсу, а - приріст випуску продукції, зменшується при зростанні . Таким чином, закон спадаючої дохідності формулюється так: функція , яка виражає залежність випуску продукції від вкладеного ресурсу, є функцією, випуклою вверх.

Другим базисним поняттям економічної теорії є функція корисності , де - товар, а - корисність. Ця величина дуже суб’єктивна для кожного окремого споживача, але достатньо об’єктивна для суспільства в цілому. Закон спадаючої корисності стверджується таким чином: із ростом кількості товару додаткова корисність від кожної нової його одиниці із деякого моменту спадає. Очевидно, цей закон можна переформулювати так: функція корисності є функцією випуклою вверх. В такій постановці закон спадаючої корисності є відправною точкою для математичного дослідження теорії попиту і пропозиції.

 

Приклад 7. Виробник реалізує свою продукцію по ціні p за одиницю, а витрати при цьому задаються кубічною залежністю

.

Знайти оптимальний для виробника обсяг випуску продукції і відповідний йому прибуток.

Позначимо обсяг продукції, що випускається через. Складемо функцію прибутку

,

 

де - доход від продукції, що реалізується.

1. Знаходимо .

1. Знаходимо критичні точки: , звідки (другу критичну точку не розглядаємо за змістом задачі).

     3.   Знаходимо і визначаємо знак другої похідної при : (в даному  випадку при будь-якому ), отже, при прибуток максимальний.

     4. Знаходимо максимум функції (тобто максимальний розмір прибутку)

.

 

Приклад 8. Капітал в 1 млрд. гривень може бути розміщений в банку під 50% річних або інвестований у виробництво, причому ефективність вкладу очікується в розмірі 100%, а витрати задаються квадратичною залежністю. Прибуток обкладається податком в p%. При яких значеннях p вклад у виробництво є більш ефективним, ніж чисте розміщення капіталу в банку?

Нехай (млрд. гривень) інвестується у виробництво, а - розміщується під проценти. Тоді розміщений капітал через рік стане дорівнювати

,

 

а капітал, вкладений у виробництво . Витрати складуть , тобто прибуток від вкладу у виробництво . Податки складуть , тобто чистий прибуток стане дорівнювати

.

 

Загальна сума через рік складе:

.

 

Потрібно знайти максимальне значення цієї функції на відрізку [0,1].

Маємо

 

і

 при 

,

 

тобто згідно другої достатньої умови екстремуму - точка максимуму.

Щоб належало відрізку [0,1], необхідно виконання умови

 або .

 

Таким чином, якщо, , то вигідніше нічого не вкладати у виробництво і розмістити увесь капітал у банку. Якщо, , тоді можна показати, що при 

,

тобто вклад у виробництво є більш вигідним, ніж чисте розміщення під проценти.