§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку

Перш ніж почати вивчення просторових геометричних образів, відповідних рівнянням 2-го степеню, розглянемо один спеціальний клас поверхонь, які називаються циліндричними поверхнями.

 

Визначення. Циліндричною поверхнею називається поверхня, утворена рухом прямої, що перетинає задану лінію і паралельну заданому напрямку.

Задана лінія, через точки якої проходить пряма, яка переміщується, називається направляючою, а кожне положення такої прямої називається твірною розглядуваної циліндричної поверхні.

Виберемо координатну систему так, щоб одна із осей, наприклад z, була паралельною заданому напрямку і будемо розглядати той, хоча і частинний, але дуже важливий випадок, коли направляюча лінія лежить в площині, перпендикулярній заданому напрямку. Тоді без всякого обмеження загальності дослідження можливо вважати, що направляюча лежить в площині ху.

 

Нехай в площині z=0 рівняння направляючої має вигляд F(х,у)=0 , і , таким чином, така лінія задана двома рівняннями

Z=0, F(x;y)=0 (1)

Доведемо, що циліндричній поверхні, що розглядається, відповідає рівняння

F(x;y)=0 (2)

тобто, що координати будь-якої точки поверхні відповідають рівнянню (2), а координати будь-якої точки, що не лежить на цій поверхні, йому не відповідають.

Нехай М₀(х₀;у₀;0) - будь-яка точка направляючої (рис. 26).

 

Проведемо через М₀ пряму L, паралельну осі z, і виберемо на ній довільну точку М₁. Координати цієї точки (х₀;у₀;z₁). Згідно припущенню координати точки М₀ відповідають системі Z=0, F(x;y)=0. Отже, F(x₀;y₀)=0 і координати точки М₁ (при будь-якому z₁) відповідають рівнянню F(x;y)=0. Таким чином, координати будь-якої точки М₁ прямої L відповідають рівнянню F(x;y)=0. Але М₀ - довільна точка направляючої. Отже координати будь-якої точки будь-якої твірної; тобто координати будь-якої точки циліндричної поверхні, що розглядається, відповідають рівняннюF(x;y)=0.

 

Нехай тепер вибрана будь-яка точка М₁' (х₁' ; у₁' ; z₁' ), що не лежить на циліндричній поверхні, що розглядається. Розглянемо точку М₀' (х₁' ; у₁';0), що є проекцією точки М₁' на площину ху. ТочкаМ₀' не лежить на заданій направляючій лінії (інакше кажучи, точка М₁'  лежала б на заданій поверхні). А тому координати точки М₀' не можуть задовольняти системі рівнянь Z=0, F(x; y)=0. Але перше рівняння напевно виконано. Отже. Але це означає, що координати точки М₁' (х₁'; у₁'; z₁' ) не можуть задовольняти рівнянню F(x; y)=0; тим самим наше твердження доведено.

Очевидно, що якщо твірні циліндричної поверхні паралельні осі у, а рівняння направляючої має вигляд

у=0, F(x;z)=0,

то рівняння циліндричної поверхні F(x; z)=0.

 

Аналогічно для циліндричної поверхні, твірні якої паралельні осі х, маємо рівняння F(y; z)=0

Якщо направляюча є коло, яке лежить в площині ху, з центром в точці (a;b;0) і радіусом R, а твірні паралельні осі z, тоді рівняння циліндричної поверхні має вигляд:

(x-a)²+(y-b)²=R² (3)

 

Називається така поверхня круговим циліндром.

Поверхня

 (4)

є циліндрична поверхня, твірні якої паралельні осі z, а направляючими є еліпс з напівосями a і b, з центром на початку координат, розташований в площині ху. Поверхня така називаєтьсяеліптичним циліндром.

 

Круговий циліндр можна, звичайно, розглядати як частинний випадок еліптичного циліндра.

Поверхня, визначена рівнянням

y²=2px (5),

 

називається параболічним циліндром (рис.27).

 

Поверхня, визначена рівнянням

 (6),

 

називається гіперболічним циліндром (рис.28)

 

 

Крім вже приведених існують ще 6 типів поверхонь 2-го порядку. Їх найпростіші, або, як прийнято говорити, канонічні рівняння, одержані при найбільш зручному для вивчення поверхонь розташуванні осей координат, мають вигляд:

 - еліпсоїд

 - однопорожнинний гіперболоїд

 - двопорожнинний гіперболоїд

 - еліптичний параболоїд

 - гіперболічний параболоїд

 - конус 2-го порядку

Проведемо дослідження форми цих поверхонь, використовуючи метод, який називають методом паралельних перерізів.