§2 Визначники матриць другого порядку

Для квадратної матриці вводиться нове поняття - визначник матриці. Визначник квадратної матриці будемо позначати символом det A і визначимо його індуктивним шляхом.

 

Визначником матриці 1-го порядку (тобто матрицею, яка складається із одного елементу, одного числа) називається саме число, яке утворює задану матрицю.

Визначником матриці 2-го порядку називається число, обчислене по такому правилу: det A=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁.

 

Діагональ квадратної матриці, яка йде від лівого верхнього елементу таблиці до правого нижнього, називається головною діагоналлю матриці. Діагональ, яка йде від правого верхнього елементу до лівого нижнього, називається побічною діагоналлю матриці.

Таким чином, для обчислення визначика матриці 2-го порядку потрібно із добутку елементів, які знаходяться на головній діагоналі матриці, відняти добуток елементів, які знаходяться на побічній діагоналі.

Для визначника матриці вводиться символ .

 

Таким чином,

 (1)

Як видно із (1), визначник матриці 2-го порядку являє собою алгебраїчну суму двох доданків. Кожний із доданків є добуток двох елементів, при чому до нього входить один елемент першого рядка та один елемент 2-го рядка, один елемент 1-го стовпця та один елемент 2-го стовпця заданої матриці. Зі знаком “+” береться добуток елементів головної діагоналі і зі знаком “-” - добуток елементів побічної діагоналі.

Із визначення (1) легко отримати ряд властивостей визначників матриць.

 

Властивість 1. При перестановці рядків матриці на місце стовпців і навпаки визначник матриці не змінюється.

Нехай задана матриця , а матриця отримана із А перестановкою рядків на місце стовпців (така матриця А* називається часто транспонованою по відношенню до матриці А). Тоді

Властивість 2. При перестановці двох стовпців (або рядків) абсолютне значення визначника матриці не змінюється, а знак змінюється на протилежний.

Нехай задана матриця , отримана із А перестановкою стовпців. Тоді

Властивість 3. Якщо матриця має два однакових стовпця (рядка), тоді визначник матриці дорівнює нулю.

Властивість 4. Якщо всі елементи будь-якого стовпця (рядка) матриці помножить на одне і те ж число, тоді визначник матриці виявиться помноженим на те ж число.

Властивість 5. Якщо всі елементи будь-якого стовпця (рядка) матриці дорівнюють нулю, тоді визначник матриці дорівнює нулю.

Властивість 6. Нехай всі елементи будь-якого стовпця (рядка) матриці А представляють собою суму двох елементів і нехай відповідні стовпці матриць А₁ і А₂ складаються із таких елементів:

, , 

тоді

det A=det A₁+detA₂

Таке твердження, як і твердження 3, 4, 5, доводиться безпосередньою перевіркою.

Властивість 7. Визначник матриці не змінюється, якщо до елементів будь-якого стовпця (рядка) матриці додати величини, пропорційні елементам другого стовпця (рядка).

Нехай і .

 

Тоді 

§3. Визначники матриць третього порядку

Нехай задана будь-яка матриця порядку n

Виберемо довільний елемент a_ik цієї матриці і викреслимо із матриці А той рядок і той стовпець, в яких міститься цей елемент, (тобто викреслимо і-ий рядок та k-ий стовпець). Тоді отримаємо матрицю (n-1)-го порядку.

Будемо називати її субматрицею матриці А, що відповідає елементу a_ik та позначимо її символ Д_ik

Визначник субматриці Д_ik назвемо мінором матриці А, що відповідає елементу a_ik, та позначимо символом М_ik.

Звідси

М_ik=det Д_ik. (1)

Нехай вихідна матриця А була матрицею 3-го порядку. Тоді дев`ять її можливих субматриць Д₁₁, Д₁₂, Д₁₃, Д₂₁, Д₂₂, Д₂₃, Д₃₁, Д₃₂, Д₃₃, які відповідають різним елементам матриці А, будуть матрицями 2-го порядку.

 

Визначення. Визначником матриці 3-го порядку

називається число, визначене за таким правилом:

 (2)

 

Оскільки для матриці А

 ,

тоді

M₁₁=det D₁₁=a₂₂a₃₃-a₂₃a₃₂

M₁₂=det D₁₂=a₂₁a₃₃-a₂₃a₃₁

M₁₃=det D₁₃=a₂₁a₃₂-a₂₂a₃₁

Звідси

det A=a₁₁(a₂₂a₃₃-a₂₃a₃₂)-a₁₂(a₂₁a₃₃-a₂₃a₃₁)+a₁₃(a₂₁a₃₂-a₂₂a₃₁)

det A=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₁a₂₃a₃₂-a₁₂a₂₁a₃₃-a₁₃a₂₂a₃₁ (3)

Як видно із одержаної формули, визначник матриці 3-го порядку представляє собою алгебраїчну суму шести доданків. Кожний доданок є добутком трьох елементів по одному із кожного рядка і кожного стовпця. Перший із доданків, взятих зі знаком “+”, представляє собою добуток елементів, розташованих на головній діагоналі матриці. Останні два містять елементи, розташовані у вершинах трикутників з основою, паралельною головній діагоналі.

Добутки, які входять зі знаком “-”, містять елементи, розташовані на побічній діагоналі, та елементи, розташовані у вершинах трикутників з основою паралельною побічній діагоналі.

Безпосередньою перевіркою можна пересвідчитись у тому, що всі властивості, встановлені для визначників матриць 2-го порядку, мають місце і для визначників 3-го порядку.