Розв’язки задач

Попередні вказівки. Для засвоєння поняття границі функції доцільно використати геометричну інтерпретацію: при цьому змінна зображається “рухомою” точкою на осі Ох, а відповідні значення функції f(х) наближаються і залишаються як завгодно близькими до точки А на осі Оу. Якщо мова йде про однобічні границі, то в такому випадку змінна х наближається до точки а по осіОх зліва (, тобто , х < а ) або справа (, тобто , х > а ). Слід звернути увагу, що у визначенні границі функції не враховується значення функції в граничній точці, f(х) не залежить від величини f(х₀), яка може й не існувати. Звідси випливає, що під знаком границі можна робити тотожні перетворення аналітичного виразу, незважаючи на поведінку функції в граничній точці (тобто, можна скорочувати дроби на множник, що перетворюється в нуль в граничній точці ).

Якщо , , то кажуть, що вираз при є невизначеність типу . У цьому випадку для знаходження застосовують спеціальні прийоми, а сам процес знаходження границі називають розкриттям невизначеності.

Зустрічаються невизначеності типу: , , , , , , .

При цьому невизначеності типу , , , , зводяться до невизначеності типу або .

 

Приклад.

Знайти:

а) б) 

 

в) г)

 

д) е) 

 

а) Підстановка граничного значення аргументу х=-3 призводить до невизначеного виразу типу .

 

Для усунення цієї невизначеності розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники і скоротимо дріб на множник (х+3).Таке скорочення тут можливе, оскільки множник (х + 3) відмінний від нуля при :

====.

 

б) Якщо , вираз дає невизначеність типу . Для її усунення помножимо і розділимо цей вираз на (+ ) :

(-)==.

 

в) У цьому випадку ні чисельник, ні знаменник не мають границі, тому що обидва необмежено зростають.

Перетворимо попередньо вираз під знаком границі, поділивши чисельник та знаменник на . Тоді одержимо

 

Зауваження . Якщо нам треба знайти границю відношення двох многочленів при , то необхідно попередньо поділити чисельник та знаменник на максимальні ступені, що входять в них. Тоді

 = 

 

г) Позначимо 5 х = у. Тоді 5 х = і при . Застосовуючи властивості границь і формулу першої важливої границі

 , маємо:

 

д) Перетворимо вираз

 

При такий вираз дає невизначеність типу 

 

Для усунення її застосуємо формулу другої важливої границі .

 

Тоді маємо: ;

 

де , і при 

 

Переходячи до змінної , одержимо:

.

е) =

 

При обчисленні границі ми скористалися теоремою про граничний перехід під знаком логарифма, оскільки для неперервної функції справедливо: 

 

Приклад. Знайти:

а) ; б) ;

 

в) г) 

 

а) =0, оскільки добуток нескінченно малої величини х (при ) на обмежену функцію є величина нескінченно мала.

Відмітимо, що ця границя не може бути обчислена за допомогою теореми про границі добутку, оскільки не існує ( при аргумент косинуса змінюється неперервно вздовж числової осі до нескінченності, при цьому значення коливається від –1 до 1 і від 1 до-1, не прямуючи ні до якого числа (границі)).

б) (Тут виконана заміна при ).

 

в) розглянемо два випадки:

 

Оскільки 

 

При маємо невизначеність , при цьому розділимо чисельник і знаменник на і використаємо теорему про границі, одержимо:

 

г) 

 

Приклад . Довести неперервність функції в точці х=0 і встановити характер точки розриву функції в цій точці:

а) ; б) якщо ; в) ;

 

а) При х=0 функція f(x) не визначена, отже вона не неперервна в цій точці. Оскільки , і відповідно границі функції зліва і справа від точки х=0 скінченні і рівні, тобто , то х=0 – точка усунутого розриву першого роду.

б) В порівнянні з попереднім прикладом тут функція до визначена в точці х=0 так, що , отже, така функція неперервна в цій точці.

в) При х=0 функція f(х) не визначена. Оскільки границі функції зліва і справа від точки х=0 скінченні, тобто ; ; ( при ), то в точці х=0 функція f(x)має розрив першого роду.