§ 5. Розв’язки задач

Приклад 9. Визначити проміжки монотонності функції

.

Область визначення .

 

Знаходимо похідну і розв’язуємо нерівності та . При похідна , а при похідна .

 

Отже, в інтервалі (-4,4) функція зростає, а в інтервалі функція спадає.

Приклад 10. Дослідити на екстремум функцію

.

а) Область визначення . Знаходимо і визначаємо критичні точки

;

;

;

.

 

Отже, .

 

Застосовуючи перше правило дослідження на екстремум, будуємо таблицю

Х		-1	(-1,1)	1
	-	0	+	+	-
Y		min		max

 

б) Область визначення . Знаходимо похідну .

 

Прирівнюємо її до нуля і знаходимо стаціонарну точку:

.

 

Застосовуючи друге правило, знайдемо другу похідну і отримаємо

.

 

Обчислимо значення другої похідної в стаціонарній точці. При маємо

,

 

отже згідно достатньої умови другого типу в точці функція має мінімум

.

 

 

Приклад 11. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [-2,3].

 . Знаходимо похідну

;

,

 

тобто - стаціонарні точки.

Визначаємо значення функції в цих точках .

Обчислюємо значення даної функції на границях проміжку: .

 

Із отриманих чотирьох значень вибираємо найбільше і найменше. Отже, найбільше значення функції на заданому відрізку дорівнює 2, а найменше дорівнює -18.

Приклад 12. Знайти точку перегину і інтервали випуклості функції

.

Знаходимо похідну та другу похідну і будуємо таблицю, враховуючи, що при .

х		0
	+	0	-
y		~

 

Отже, на проміжку графік функції - угнутий, а на проміжку - опуклий. Точка , в якій друга похідна змінює знак з “+” на “-“ - точка перегину графіка.

Приклад 13. Знайти асимптоти кривих а) ; б) .

а) Досліджувана функція має вертикальну асимптоту . Очевидно,

,

 

функція має розрив другого роду.

Знаходимо похилу асимптоту :

;

 

Отже, являється похилою асимптотою кривої

.

 

б) Очевидно, вертикальних асимптот крива не має. Якщо . Отже вісь Ох є горизонтальною асимптотою даної кривої. Дослідимо наявність похилої асимптоти:

.

 

Отже, є тільки горизонтальна асимптота .

 

Приклад 14. Дослідити функцію

І побудувати її графік.

1. Область визначення . Функція парна, оскільки і графік її симетричний відносно осі ординат.

2. Вертикальних асимптот немає, оскільки функція визначена при всіх дійсних значеннях х.

Поведінка функції на нескінченності:

 

В силу парності функції , тобто пряма (вісь абсцис) – горизонтальна асимптота.

3. Екстремуми і інтервали монотонності:

;

 при ;

 

тобто критичні точки .

 

 

Таким чином є точка максимуму, - точка мінімуму, - точка максимуму.

 

Функція зростає на інтервалах і і спадає на (-1;0) і .

 

4. Інтервали опуклості та вгнутості і точки перегину:

.

 при .

 

 

Таким чином, функція опукла на інтервалах

 і 

 

і вгнута на інтервалах

 і 

 

а - точки перетину.

5. . Рівняння має єдиний розв’язок х=0, тобто графік функції проходить через початок координат.

 

 

Приклад 15. Дослідити функцію

 

і побудувати її графік.

1. Область визначення . Дана функція не являється ні парною, ні непарною.

2. Досліджувана функція має вертикальну асимптоту х=3.. Очевидно,

 

отже в точці х=3 функція має розрив другого роду. Далі

.

 

Знаходимо похилу асимптоту .

 

Отже, y=x+3 являється похилою асимптотою кривої .

 

3. Обчислимо похідну функції і розв’яжемо рівняння

:

 

х=5, х=1.

Досліджуючи знак похідної, складаємо таблицю

Х		1	(1,3)	(3,5)	5
	+	0	-	-	0	+
Y		max			min

 

4. Знаходимо другу похідну

.

 

Бачимо, що рівняння коренів не має, отже точок перегину не існує. Будуємо таблицю:

Х
	-	+
Y

 

5. Рівняння , тобто має два корені , тобто графік перетинає вісь абсцис в точках .

 

На підставі добутих даних будуємо графік функції

 

 

 

 

 

 

 

 

(с) Київський інститут інвестиційного менеджменту, 2000 рік

Часопис "Наша справа" №13е, 2000 р.