ГЛАВА 5. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

При	решении	многих	практических задач		приходится	рассмат-
ривать	функции	одной	или	нескольких	случайных	величин:
(Y X2 , Y X3 cosX , Z X3			Y3…). Такие функции тоже являются случай-

ными величинами, но с известной функциональной зависимостью. Задача может быть сформулирована следующим образом.

Дана многомерная случайная величина ( X ,X ,...,X ), закон распределе-

1

2

У

Р

n

ния которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как

функция от случайных величин X1,X2,...,Xn :

Г

И

Y (X1,X2,...,Xn).

Б

Y, зная вид

Требуется найти закон распределения случайных величин

функции и закон распределения случайных величин ( X1,X2,...,Xn ).

Закон

5.1. Одномерное приближение

е

Сформулируем задачу для дис р тныхаслучайных величин. Пусть задана

функциональная зависимость Y (X).

распределения дискретной слу-

т

чайной величины Х задается в виде ряда распределения:

X

о

x2

xn

x1

P

и

p2

pn

p1

л

Требуется найти закон распределения случайной величины Y.

Тогда Y (X)

также

дискретная случайная

величина с

возможными

ями

(xi ).

i

i

значен

yi

Если значения y1,...,yn

различны, то для каждого i 1,n

событ я {Xбx} и {Y

y (x )} равносильны.

То есть в результате опыта

i

i

i

случайная величина Y примет значение y (x )

тогда и только тогда, когда

случайная величина X примет значение xi , а вероятность последнего события
{XБx} равна p . Следовательно, вероятности этих событий одинаковы:
i	i
P({Y yi (xi)}) P({X xi}) pi .
Тогда	искомый ряд распределения запишется в следующем виде

74

X	y1 (x1)	y2 (x2)		yn (xn)
P	p1	p2	…	pn

Для непрерывной случайной величины задача ставится так: зная плотность распределения f (x) случайной величины X и функциональную зависимость Y (X), найти плотность распределения fy (y) случайной величины Y .

Пусть X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения

f (x) , а Y (X)

Р

– непрерывная и дифференцируемая случайная величина.

Рассмотрим общий случай, когда обратная функция X 1(Y)

– неоднозначна,

И

т. е. одному значению у соответствует несколько значений x

i 1,n.

i

1

(y),

i

У

Г

Б

а

к

Рис. 5.1

2

ние

Рассмотрим малое приращ

фун ции y . Событие {Y (y,y y)}

тi

Х попадет в интервал

или x1 ,

произойдет тогда, когда случайная в личина

или x ,

…,

т. е.

собы ие

равносильно

сумме

несовместных

событий

{ X (xi,xi

xi

)},

i

о

или берется в зависимости от

1,n, где знак

того, возрастает

ли

i 1

убывает 1

в интервале (y,y y) (рис. 5.1):

n

б

{y Y y y} {xi

X xi

xi}.

(5.1)

Раз со ытия, записанные в (5.1), тождественны, то и вероятности их рав-

ны.

Применяя

i 1

л3 аксиому к событиям в правой части (5.1) (несовместные собы-

тия), получаем

Б

n

P({y Y y y}) P({xi

X xi

x}).

(5.2)

Учитывая, что вероятность попадания случайной точки в малый интервал приближенно равна произведению плотности распределения в какой-либо точке этого интервала на его длину, найдем

n
fy (y) y f (xi) xi .	(5.3)
i 1

75

Разделив (5.3) на y, переходя к пределу при y 0

и подставив i 1(y)

вместо xi , получим

n

1

(y)]

d 1

(y)

.

(5.4)

fy (y) f[ i

i

i 1

dy

Здесь производную берем по модулю потому, что плотность распределе-

ния не может быть отрицательной.

Пример.

Пусть X – нормированная нормальная случайная величина с плотностью

1

x2

распределения

f (x)

e 2

и задана функциональная зависимость Y 3

X .

Найти fy (y).

2

Р

И

Строим график функции Y

3

X

(рис. 5.2).

У

У

y 3

Х

y

3

ГХ

Б

а

Х

Х1

к

Х2

еРис. 5.2

Видим, что обратная функция x 1(y) y3 – двузначная, n = 2:

1

3

1

3

x1 1 (y) y ,

т

x2 2

(y) y .

Подстав яем

о

значения в (5.4):

3

dy3

3

dy3

1

y6 /2

2

1

y6 /2

2

fy (y) f

эти

f ( y )

e

3y

e

3y

(y )

dy

2

dy

2

6y2

л

y6 /2

.

бe

2

и

5.2. Двумерное приближение

Б

Рассмотрим двумерную случайную величину ( X1,X2 ) с плотностью рас-

пределения f (x1,x2). Пусть задана для двумерной случайной величины (Y1,Y2 ) функциональная зависимость в следующем виде:

Y1 1(X1,X2),

Y2 2(X1,X2).

(5.5)

76

Требуется найти плотность распределения fy (y1,y2) двумерной случай-

ной величины (Y1,Y2 ).

Найдем обратные функции:

X	1	1	(Y ,Y ),		X	2	1	(Y ,Y ).		(5.6)
		1	1	2			2	1	2

Пусть эти функции – многозначные или n-значные. То есть попадание случайной точки (Y1,Y2 ) в элементарную область G на плоскости (Y1,Y2 ) равносильно попаданию случайной точки ( X1,X2 ) или в область G1 , или в об-

ласть G2 …, или в область Gn

Р

, где ( Gi ,i 1,n) – непересекающаяся область

на плоскости X1X2 (рис. 5.3).

И

Y2

X2

У

Г

G

G1

G2

а

Gn

Б

X1

Y1

Рис. 5.3

1

2

событие

что двумерная слу-

Обозначим {(Y1,Y2) G}

–

ксостоящее в том,

Gn , т. е. можно зап сать,что

чайная величина (Y

,Y ) попад

в область G. Это событие будет равносильно

обы

n

сумме несовместных с

ий, сос оящих в том, что двумерная случайная ве-

личина ( X1,X2 ) попадет или в облас ь G1 , или в область G2 …, или в область

и

л

{(Y1

,Y2) G} {(X1,X2) Gi} .

(5.7)

б

i 1

и

Так как со ытия, записанные в (5.7), равносильны, то и вероятности этих

событ й од наковы. Применяя к правой части (5.7) третью аксиому, получаем
Б	n
	P({(Y1,Y2) G}) P({(X1,X2) Gi}).	(5.8)
	i 1

Если площадки Gi – достаточно малы, то вероятность попадания двумерной случайной величины ( X1,X2 ) на площадку Gi можно приближенно вычислить, используя определение двумерной плотности (см. раздел 3.4, формула (3.2)). Тогда формула (5.8) запишется в следующем виде:

n
fy (y1y2) G f (x1i,x2i) Gi ,	(5.9)
i 1

77

где x		1(y ,y					),
1i			1i		1	2
x	2i		1		(y ,y			),
				2i	1		2
i								(5.10)
			1,n

представляют собой соответствующие n ветвей преобразования (5.6).

Но, как известно, отношение элементарных площадей Gi в пределе при

G

преобразовании переменных равно соответствующему Якобиану (определите-

лю 2-го порядка из частных производных). Следовательно,

разделив (5.9) на

G и перейдя к пределу при G 0, получим

Р

n

(x1i,x2i )

fy (y1y2) f (x1i

,x2i)

,

(5.11)

i 1

(y1y2)

У

где величины x1i и x2i определяются из (5.10), а Якобиан есть определитель

2-го порядка:

Г

И

x1i

x1i

.

(x1i,x2i)

y1

y2

(5.12)

x2i

(y1y2)

а

x2i

Б

y1

y2

к

е

Если обратные функции (5.6) – однозн чны, то в (5.11) – только одно сла-

гаемое.

т

При решении практических задач часто используется следующая функ-

циональная зависимость: Y (X1X2). Тогда перейти к формулам (5.6) – (5.12)

о

можно следующим образом, введя фик ивную переменную Y1:

и

Y1 X1,

л

Y (X1X2).

(5.13)

Положим д я простоты, что обратная функция 1 – однозначна (n = 1),

тогда обратные функции запишутся так:

Якобиан принимает следующий вид:

Б

б

X1

Y1,

X

2

1(Y ,Y ).

(5.14)

1

x1

x1

1

0

(x ,x )

y1

y

1(y ,y)

1 2

x2

1(y ,y)

1(y ,y)

1

.

(y1y )

y

x2

1

1

y1

y

y1

y

78