(t, )

x(t)

x(t1)

t1 t			Р
Рис. 13.1		И
	У

Если нас интересует только х1, то это будет одномерная случайная вели-

чина, свойства которой полностью описываются одномернойГ плотностью распределений f1(x1;t1). Отметим, что в отличие от теории вероятностей f1(x1;t1) зависит не только от х1, но и от t1. Одномерная плотность распределения f1(x1;t1) дает некоторое представление о свойствах случайного процесса, но не полное. Более подробное представление о случайном процессе получается, если рас-

к	и t2: x1 = x(t1),
сматривать два отсчета х1 и х2, берущихся в моментыБвремени t1

x2 = x(t2). И характеризовать их двумерной плотностью распределения:
f2(x1,x2;t1,t2). Тогда n-мерная плотность распределенияа			запишется так:
	т		(13.1)
	fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn).
Чем больше берется сче овчеми		ближе они расположены друг к другу,
о
тем подробнее описывается случайный процесс.
и

В пределе, когда n , max(ti 1 ti) 0, мы получаем совершенно точ-

ное представление о св йствах случайного процесса, т. е. случайный процесс описывается полностью, если задать все fn для всех n и всех t1,t2,…,tn.

Приб13.2. Числовые характеристики случайного процесса

Бэкспериментальном получении случайного процесса можно сравнительно легко указать f1(x1;t1), трудно узнать f2(x1,x2;t1,t2), а измерить плотность распределения более высокого порядка практически невозможно. Поэтому на практике ограничиваются изучением некоторых характеристик случайного процесса, менее полных, но все же дающих представление об его основных свойствах.

Математическое ожидание случайного процесса (среднее по ансамблю)

вводится следующим образом:

154

m(t) M[x(t)] xf1(x;t)dx.	(13.2)

В отличие от теории вероятностей m(t) не число, а функция от времени. Оно дает некоторую кривую, около которой группируются все реализации случайного процесса (рис. 13.2).

x(t)

m(t)

			t	Р
Рис. 13.2			И
Дисперсия случайного процесса (средняя по ансамблюУ):
		Г
D(t) D[x(t)] (x m(t))2
		f1(x;t)dx.		(13.3)
	Б
Дисперсия определяет, насколь о сильно отдельные реализации могут

отклоняться от математического ожид ния. В отличие от теории вероятностей
это также не число, а функция вр м ни.																	а
														к
Функция корреляции случайного процесса (средняя по ансамблю):
		R(t ,t								е								x x			f			(x ,x ;t ,t							)dxdx			.	(13.4)
					) M[x(t ),x(t						)]									2		2							2
		1 2							1	2								1							1	2 1						1 2
									т
Эта функц
						является важнейшей характеристикой случайного процесса.
Функция корре яц							о
							характеризует степень зависимости между отсчетами слу-
чайного процесса,									в разные моменты времени.
			взятыми
Наряду с R(t1,t2) употребляется еще одна функция корреляции – это функ-
		л
ция корреляц и флуктуаций:
	б					)		(x	m(t ))(x						m(t				)) f						(x ,x			;t ,t				)dxdx		.	(13.5)
	R (t ,t			2									2										2							2			2
и		0 1						1		1								2							1	2		1				1
И нормированная функция корреляции:
Б																		R0(t1,t2)
										(t ,t		)															.								(13.6)
										1	2							D(t1)D(t2)

Последняя ничем по смыслу не отличается от коэффициента корреляции и определяет степень линейной зависимости отсчетов случайного процесса в моменты времени t1 и t2.

155

13.3. Стационарные случайные процессы

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если для

любых и любых целых n имеет место равенство
fn(x1,...,xn;t1,...,tn) fn(x1,...,xn;t1 ,...,tn ).	(13.7)

Смысл определения в следующем.

В левой части равенства стоят отсчеты, берущиеся в моменты времени

t ,t ,...,t , и плотность распределений f (x ,…,x ;t ,…t ) полностью описывает

1 2 n n 1 n 1 n Р

свойства случайного процесса в моменты времени t1,t2,...,tn . В правой части равенства стоят отсчеты, берущиеся в моменты времени t1 ,t2 И,...,tn , и со-

ответствующая плотность распределений f (x ,...,x ;t ,...,t ) описывает

n 1 n 1 Уn

свойства случайного процесса в эти сдвинутые моменты времени. Равенство этих плотностей распределений означает, что свойстваГслучайного процесса одинаковы как в моменты времени t1,t2,...,tn , так и в моменты времени t1 ,t2 ,...,tn . Таким образом, стационарностьБв узком смысле означает,

что все свойства, характеристики и т. п. случайного процесса не зависят от

начала отсчета времени. Грубо говоря, свойствами обладает случай-

ный процесс сегодня, такие же свойства он имел год тому назад и такие же

свойства он будет иметь через 1000 лет. Но ре льно это несколько не так. Все

меняется, но нас интересуют отрезки времени, м лые по сравнению со време-

нем существования самого проц сса.

какими

Следствия стационарности.

к

1. Предположим в (13.7) n = 1, получим

е

).

f1(x1;t1)

f1(x1;t1

Поскольку пр

,

о полагая t1, получим:

fт(x ;t ) f (x ;0) f (x ).

1

1

1

1

1

1

1

Поэтому

льно

изв

(x1;t1)dx1

x1 f1(x1;0)dx1

m(0) m,

m(t1) x1 f1

л

D(t )

(x m)2 f (x ;t )dx

(x m)2

f (x ;0)dx D(0) D.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

б

Отметим, что у

стационарных

случайных

процессов математическое

ожиданиеБ, дисперсия и плотность распределения от времени не зависят (m и D – числа, плотность распределения f1(x1) – функция только от х1).

2. Полагая в (13.7) n = 2 и t1 получим

f2(x1,x2;t1,t2) fn(x1,x2;0,t2 t1).

Тогда функция корреляции принимает вид

156

R(t1,t2) x1x2 f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2

x1x2 f2(x1,x2;0,t2 t1)dx1dx2 R(t1 t1) R( ).

Видим, что у стационарных случайных процессов функция корреляции зависит лишь от разности t1 – t2 моментов времени, т. е. является функцией одного аргумента.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия от времени не зависят, а функция

корреляции зависит лишь от разности моментов времени t1

– t2.

И

На рис. 13.3 показан вид стационарного случайного процесса.

x(t)

У

Р

Г

Б

а

к

t

е

т

Рис. 13.3

общий

13.4. Числовые характерис ики случайного процесса – средние по времени

и

Ранее мы рассм трели числовые характеристики случайного процесса,

средние по

ансамблю

,

величина

n

1

n 1

n 1 n

вид которых

б

усредненная

Они

f

(x ,...,x ;t ,...,t )dx ...dx . (13.8)

среднее

по ансамблю

Б

называются средними по ансамблю потому, что фиксируются мо-

менты времени t1,t2,…,tn

и перебираются все возможные значения {xi(t)}, т. е.

весь ансамбль реализаций случайного процесса, на рис. 13.4 жирной линией изображены кривые плотностей распределений f(xi(t1);t1) и f(xi(t2);t2) в моменты времени t1,t2).

157

x(t)

t1

Р

t2

t

Рис. 13.4

И

У

Для стационарных случайных процессов кроме средних по ансамблю

1

T

Г

можно ввести еще так называемые средние по времени. В общем виде среднее

по времени представляет собой:

Б

среднее по времени lim

усредненная

величина dt.

(13.9)

T 2T

T

а

к

Характерным для средних по времени является то, что фиксируются

реализации, а «перебираются» все моменты времени. В средних по времени характерно также отсутствие плотности распределения fn (x1,...,xn;t1,...,tn), т. к. для стационарных процессов все мом нты времени равноправны.

Тогда числовые харак ерис				еики средние по времени определяются так:
		о
1. Математическ е жидание случайного процесса среднее по времени:
	и				1	T
						x(t)dt.			(13.10)
			тm lim
				T 2T T
2. Дисперс я с учайного процесса средняя по времени:
б						T
л					1		2
			D lim					dt .	(13.11)
						(x(t) m)
				T 2T T
3. Функция корреляции, средняя по времени (в ней фигурирует произве-

дение значен й случайного процесса в два различных момента времени t1 и
t2	= t1 и). Учитывая, что усредненная величина имеет вид x(t)x(t ), получим
	Б	R( ) lim	1	T	x(t)x(t )dt.	(13.12)
		T 2T T

158

13.5.Свойства функций корреляции случайного процесса

1.Функция корреляции является симметричной функцией:

R(t1,t2) R(t2,t1),

R(t1,t2) M[x(t1)x(t2)] M[x(t2)x(t1)] R(t2,t1).

Для стационарного случайного процесса – четная функция:

R( ) R(t2

t1) R(t1 t2) R( ).

Р

2. Функция корреляции – ограниченная функция. Воспользуемся неравен-

ством Шварца (неравенство Коши-Буняковского):

M[U2]M[V2] M2[UV].

(13.13)

Обозначим отсчеты

x(t1), x(t2), как

U x(t1),

V x(t2), и подставим в

(13.13):

Г

И

M[x2(t )]M[x

2(t

Б

)] M 2

[x(t )x(t )].

1

2

1

2 У

С учетом определения (13.4), получаем

R(t ,t )R(t

а

).

,t

) R

2(t ,t

1

1

2

2

1

2

Тогда

к

е

R(t1,t1)R(t2,t2) .

| R(t1,t2)|

Когда R(t1,t1) R(t2 t1), получа м:

т

|

R( )| R(0).

о

3. Для стационарного случайного процесса дисперсия и математическое

ожидание могут быть п лучены через функцию корреляции:

и

при ф , т.е.когда интервалвремени

lim R( ) M[x(t)x(t )]

t2

t1 междуотсчетаминеограниченно

увеличивается, тоотсчетыстановятся

л

и

независимыми, учтем:M x(t) = m(0)= m

Mб[x(t)]M[x(t )] m2.

Откуда следует, что

Б

m2 R( ).

Найдем дисперсию:

M[x(t)x(t ) R( )]

D M[x2(t)] M2[x(t)]

R(0) M[x2(t)]

R(0) R( ).

M2[x(t)] m2 R( )

159

Если рассматривать функцию корреляции флуктуаций (13.5), то

DR0(0), т. к. R0( ) M x(t) m M x(t) m 0.

4.Функция корреляции является положительно определенной функцией.

Рассмотрим моменты времени t1,…,tn и произвольные величины 1,..., n , по-

скольку:

n		n	n
M[{ ix(ti )}2] 0,		M[ x(ti ) i j] 0,
i 1		i 1	j 1
вычисляя математическое ожидание, получим
	n
	R(ti,tj ) 1 2 0.
	i,j 1		Р
Следствие: для любой	положительно		И	R(t1,t2)
			определенной функции

можно построить такой случайный процесс, для которого R(t1,t2) будет функци-

ей корреляции.

Г

5. Время корреляции для стационарного случайного процесса определя-

ется как

Б

У

случайном

процессе.

корреляционная связь между отсч тами в

K

1

|

R0( )|d .

(13.14)

R (0)

0

0

к

0

Время корреляции определяет, нас оль о д леко по времени наблюдается

6.

е

При изучении реальных случайных процессов для R ( ) используют

следующие аппроксимации:

т

D

R ( )

а)

R0( ) D e

0

.

0

и

Зависимость R0( )

пр ведена

л

о

на рис. 13.5.

Б

б

Рис. 13.5

и

R0( )

( ) D e

0

cos .

б)

R0

D

Зависимость R0( ) приведена

на рис. 13.6.

Рис. 13.6

160

	R ( ) D e	2	г) R ( ) D e	2	cos .
в)		02 .		02
	0		0

13.6. Эргодические случайные процессы

Случайный процесс называется эргодическим, если для него временные средние с вероятностью, равной 1, совпадают с соответствующими средними

по ансамблю:
			И
	R( ) R( ),	D D.
m m,

Эргодическим может быть только стационарный случайныйРпроцесс, но

ность имеет большое значение: она позволяет заменитьУизучение ансамбля реализаций изучением одной длинной реализации, т. к. каждая реализация (у эргодического случайного процесса) с вероятностью 1 имеет те же характеристики,

не всякий стационарный случайный процесс может быть эргодичен. Эргодич-

что и весь ансамбль.										Г
										Б
		13.7. Спектр мощности случ йного процесса
							а
	Из курса математического анализа известно, что любая достаточно гладкая
функция, квадрат которой					к
						м		x2(t)dt , меньшая +∞, может быть пред-
				е
ставлена в виде интеграла Фурье (прямое и обратное преобразование Фурье):
									i t
				интегриру
			оx(t)			X( )e				d ,	(13.15)
		и
						1
				X( )			x(t)e i tdt,				(13.16)
		л				2
где X( )б– спектр функции x(t), причем
	и
Б

X( ) – амплитудный спектр и

arg X( ) – фазовый спектр функции x(t).

Для стационарного случайного процесса x2(t)dt = ∞, поэтому преобра-

зование Фурье можно ввести так: определим урезанный случайный процесс xT (t):

161

x(t)

|t | T,

xT (t)=

|t| T.

0

T

Тогда

xT2 (t)dt x2(t)dt

, и для процесса xT (t)

можно написать

T

разложение в интеграл Фурье:

xT (t) XT ( )ei td ,

(13.17)

1

i t

XT ( )

xT (t)e

dt .

(13.18)

2

Р

Рассмотрим

величину

lim

1 T

x

2

(t)dt W .

В

большинстве

физических

T T T

И

T

У

формул x2(t)dt

– величина пропорциональна энергии случайного процесса на

T

Г

интервале [–T;T], а величина W имеет смысл средней мощности случайного

процесса.

Б

W lim

1

T

x2(t)dt

в общемслучае случ

йныйапроцесс

lim

1

x

(t)x* (t)dt

T T T

x(t) компл ксная в личина

T T

T

T

к

*

(t) сопряженная

1

x

lim

еX ( )X*

(

)ei( 1 2 )td d

dt

комплексная величина

T T

T

1

T

2

1

2

1

т

it( )t

=

учтем, что

e

1

2

dt (

)– -функция Дирака,

2

о

1

2

и

ее свойствол: f ( ) ( )d d

2

f (

)

=

б

1

1

2

1

2

2

*

и

XT ( 1)XT ( 2) ( 1 2)d 1d 2

=lim

T 2T

Б

2

*

XT ( )

2 2

=lim

X

T

( )X

T

( )d

lim

d .

(13.19)

T

2T

T

2T

Обозначим S( ) lim

| X

T

( )|2 2

– эта функция называется спектром

T 2T

мощности случайного процесса.

162