Y

(x, y)

Y

X		X
	Рис. 3.1
Систему трех случайных величин (X,Y,Z) можно рассматривать как слу-
чайный вектор в трехмерном пространстве, а при n-составляющих – как
n-мерный случайный вектор.		Р
При изучении многомерных случайных величин ограничимся рассмотре-
		И
нием двумерной случайной величины, т. к. все положения, касающиеся дву-

мерных случайных величин, легко распространить на n-мерные случайные ве-
личины.										У
									Г
									Б
	3.2. Закон распределения многомерной случайной величины
	Законом распределения многом рнойаслучайной величины называется
всякое соотношение, устанавливающксвязь между областями возможных
					т
значений случайной величины и в роятностями появления многомерной случай-
ной величины в этих					ях.			е
				облас
	Формы закон в различны. Например, для дискретной двумерной случай-
ной величины (X,Y) зак н распределения часто задают в виде таблицы распре-
деления двумерной случайн й величины.
	X		л		…		x
			x иx					n
	и		1	2
	Y
	y		P	P	…		P
	1 б11			21				n1
	y2		P12	P22	…		Pn2
	…		… ...		…		...
	y		P	P	…		P
Бm			1m	2m				nm

В таблице Pij – это вероятность совместного появления случайных величин X и Y, где Pij P(X xi Y yj ) соответствует вероятности пересечения

двух событий, при которых случайная величина X примет значение xi и одно-

47

временно	с	этим случайная	величина	Y		примет начение yj :
Pij P({X xi} {Y yj}). Вероятности Pij				сведены в таблицу.
Все возможные события,			X xi , Y yj ,
					i 1,n		, j 1,m , составляют
полную группу несовместных событий:
n	m	X xi Y yj 1.
P
i 1	j 1
	3.3. Функция распределения двумерной случайной величины

Как отмечали ранее, для непрерывной одномерной случайной величины

задать закон распределения в виде таблицы невозможно, поэтому и для непре-
							Р
рывных двумерных случайных величин закон распределения задается в виде
функции распределения.
Функцией распределения двумерной случайной величиныИназывается
						У
					Г
функция двух аргументов F(x,y), равная вероятности совместного появления
двух событий, при которых X	x и Y y		:	Б
		а					(3.1)
F(x,y) P(X x Y y).
	к
Геометрически функция распределения двумерной случайной величины
	е						(X,Y) в левый
представляет собой вероятность попад ния случ йной точки

нижний бесконечный квадрант плос ости с вершиной в точке (x,y) (рис. 3.2).

			т
		о		y
					x,y
	и
						x
и	л
				Рис. 3.2
Б
Свойствабдвумерной функции распределения.

1. 0 F x,y 1.

Это следует из определения функции распределения (3.1), т. к. F(x,y) – это вероятность, а вероятность любого события лежит в пределах от нуля до единицы.

2. Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то двумерная функция распределения стремится к функции распределения одной СВ, соответствующей другому аргументу.

a) пусть х = , тогда

48

y y

F ,y P X Y y P Y y P Y y F2 y .

Геометрически F2(y) – это вероятность попадания случайной точки (Y) в заштрихованную область (рис. 3.3).

					x			Р
		Рис. 3.3
б) пусть у = + , тогда
F x, P X x Y P X x P
							X x F1		x .
Геометрически F1(x) – это вероятность попадания случайнойИточки (Х) в
заштрихованную область (рис. 3.4).						У
		y
					Г
				Б
			x		x
			а
		к
		Рис. 3.4
	е

Функции F1(x) и F2(y) называются маргинальными функциями распреде-

ления составляющих X Y (название произошло от латинского слова margo –
край, граница).		т
л			стремятся к , то функция распределения
3. Если оба аргументао
стремится к 1:	и
б	F , P X Y P 1.

Квадрант с вершиной (x,y) (см. рис. 3.2) обращается во всю координатную плоскость xOy, попадание случайной точки в которую есть достоверное

событ е.
При4.	стремлении одного или обоих аргументов к функция распреде-
ления стремится к 0:
Б	F , y F x, F , 0.

Пусть х = – , тогда

F ,y P X Y y P o Y y P o 0.

5. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:

49

F x2,y F x1,y ,x2 x1 . F x,y2 F x,y1 y2 x1

6. Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле (рис. 3.5):

P x Y F , F( , ) F , F , .

Y

когда дл ныобеих сторон его стремятся к нулю, и вычисляется как вторая смешенная частная производная от функции распределения :

(X,Y) в прямоугольник со сторонами x и y к площади этого прямоугольника,

( ,

)

( , )

Р

( , )

( , )

И

X

У

Рис. 3.5

Г

Свойства 1–5 называются характеристическими, т. е. любая функция,

удовлетворяющая этим свойствам является функциейБраспределения двумер-

ной случайной величины.

а

к

3.4. Плотность распр д л ния непрерывной двумерной

случайной величины

е

Введение плотн

распределения для непрерывных многомерных слу-

чайных величин позв ляет упр

расчет вероятности попадания в различ-

ные области и делает

стить

наглядным описание распределения многомерных

случайных ве ич н.

более

Плотностьюстираспределения непрерывной двумерной случайной величины

называется

отношения вероятности попадания случайной величины

предел

и

Б	P x X x x y Y y y	f x,y	2F x,y	.	(3.2)
lim	x y		x y
x 0

y 0

На рис. 3.6 изображен элементарный прямоугольник.

50

y

y y
y
			x	x		x x
	Рис. 3.6

Геометрически двумерная плотность распределения f(x,y) изображается

поверхностью (рис. 3.7), которую называют поверхностью распределения.

f(x,y)

И

У

Р

Г

Б

а

к

Y

е

X

D

т

о

Рис. 3.7

т. к. это предел отношения вероятности к площади – обе величины >0.

Свойства пл

сти распределения двумерной случайной величины.

л

функция f x,y 0 ,

1. П отность распределения – положительная

б

2. Функция распределения двумерной случайной величины через плотность

распределен я записывается следующим образом:

и

x

y

F x,y

f x,y dxdy.

(3.3)

D получается путем

3. Вероятность попадания в произвольную область

разбиенияБ D на n элементарных областей x yи суммирования

f(x,y) x y по

D при x y 0 и выражается, как двойной интеграл, по заданной области D:

P X,Y D f x,y dxdy.	(3.4)
D

51