Но величина t (11.6) имеет распределение Стьюдента с n1 n2 2 степенями свободы. Это следует из того, что U имеет нормированное нормальное распре-

деление при условии, что H0	– верна. W – имеет распределение 2 с
(n1 n2 2) степенями свободы,	кроме того величины U и W независимы. Та-

ким образом, величина t определяется по (11.5) и имеет распределение Стьюдента с (n1 n2 2) степенями свободы, если верна проверяемая гипотеза H0 .

Эту величину t (11.5) примем за статистическую характеристику Z. Про-

верка гипотезы о равенстве математических ожиданий состоит в следующем.

Р

По таблицам распределения Стьюдента для заданного уровня значимости

или доверительной

вероятности p

=

1– и числу степеней свободы

=n1 n2 2 находим

квантиль z t

И

,n n

2

, удовлетворяющий условию (на

2

1

2

У

рис. 11.3 изображена кривая распределения Стьюдента и заштрихована область

отклонения G0 ):

Г

P(

t

z :H0) .

Б

t G0

а

к

е

2

2

т

z

о

z

0

ки

Рис. 11.3

Тогда

факт чески найденное по выборкам значение статистиче-

ской характерист

t (11.5) удовлетворяет условию

t

z

G , то прове-

б

H0

о равенстве математических ожиданий отклоняем как

ряемую гипотезу

бки

несогласующуюсяеслис результатами выборочных данных; при этом вероятность

Б

равна . Если

t

z , то гипотеза

H0 принимается, математические

ош

ож дан я случайных величин X и Y одинаковы.

11.3. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий (критерий Фишера)

Пусть X и Y – нормальные независимые случайные величины. Обозначим их дисперсии:

D[X] 2x ,

D[Y] 2y .

135

По выборкам

x1,...,xn X,

y1,...,yn

Y найдем критерий проверки ги-

1

2

потезы H0 состоящей в том, что дисперсии этих случайных величин равны

H0 : 2x 2y 2 .

При альтернативной гипотезе H : 2x 2y .

Такая

гипотеза

выбирается,

например, при

2

2

, где

S

S

1

2

1

n1

1

n2

xi

2,

yi

2 – модифицированные выбороч-

S12

x

S22

y

n 1 i 1

n 1 i 1

S2

Р

1

2

ные дисперсии.

И

В качестве статистической характеристики возьмем случайную величину

F

.

(11.8)

1

Если гипотеза H0

S22

Г

о равенстве дисперсии верна, то случайная величина F

имеет распределение Фишера с

1

2

2

Б

У

n 1,

n

1

степенями свободы. Покажем это,

представляя числитель и знаменатель (11.8) в следующем виде:

а

(n 1)

S

2

1

1

2

к

F

S

n

1

.

1

1

S

2

(n 1)S

2

2

2

2

2

n2 1

2

(n 1)еS

Видим,

о

1

имеет распределение 2 с (n 1)степе-

что величина

1

2

Фишера

1

1

2

(n

1)S2

2

2

2

нью свободы,

а

2

– тс (n2 1) степенями свободы. Следовательно,

л

согласно опреде ен ю (см. раздел 9.5, формула (9.7)), случайная величина F

б

с

n 1,

n

1

степенями свободы.

имеет распреде ение

и

состоит в следующем:

Проверка гипотезы H0

Из табл ц распределения Фишера по выбранному уровню значимости и числу
Б		1	2
степеней свободы		n 1,	n	1	находим квантиль F , который удовлетворяет

условию P(F F :H0) f (F)dF . На рис. 11.4 изображена кривая распре-

F

деления Фишера с числом степеней свободы n1 1, n2 1 и заштрихована об-

ласть отклонения G0, площадь которой области равна , отмечен квантиль F .

136

[n1 1,n2 1]

F

Рис. 11.4

По выборкам, используя (11.8), определяем значение статистической характеристики F. Если фактически вычисленное по формуле (11.8) значение F

окажется больше табличного F	(как видно из рис. 11.4, мы попадаем в об-
	Р

ласть отклонения), то гипотезу о равенстве дисперсий отклоняем как не со-

гласующуюся с выборкой. При этом вероятность ошибки равна . В против-
ном случае, когда F F			И
	, принимается гипотеза H0 , т. е. дисперсии случайных
величин X и Y равны.		У
	Г
Пример.
Пусть Х – чувствительность телевизоров марки «Горизонт», Y – чувстви-
тельность телевизоров марки «Витязь». Проведены выборочные измерения
	Б

чувствительности телевизоров для n1= 7 телевизоров марки «Горизонт» и n2 = 6

телевизоров марки «Витязь».

измерений чувствительности в [ В]

представлены в таблицах.

а

к

x

x

x

x

x

x

x

1

2

3

Результаты4 5

6

7

66

72

62

68

76

61

71

т

y1

y2

y3

y4

y5

y6

о

62

75

64

70

72

71

и

Опреде ить

учшую марку телевизора, если лучшим будет тот, у которо-

л

го чувств тельность в [ В] будет меньше.

Найдем по результатам измерений средние значения чувствительности,

б

выч сляя

x

y

:

и

7

6

Б

x

1

xi

68 [ В],

y

1

yi

69 [ В].

7 i 1

6 i 1

Можно ли сказать, что чувствительность телевизоров марки «Горизонт» лучше? Нет, т. к. выборки, выборочные средние x , y и разность между ними – элементы случайные.

Сначала убедимся в равенстве дисперсий по критерию Фишера – гипотеза

H0 : 2x 2y .

137

Вычислим несмещенные оценки дисперсий X и Y:

		2		1	7		2	2			2		1	6		2	2
					(xi									(yi
S1						68)		29,67[ В] ,	S2						69)		24,8[ В] .
				6 i 1									5 i 1

Используя (11.8), найдем значение статистической характеристики F:

F 29,67 1,196. 24,8

По таблицам распределения Фишера для [6;5] степеней свободы, задавая уровень значимости = 0,05, найдем квантиль – F = 4,95. Сравнивая F с F, видим, что 1,196 < 4,95. Значит, гипотеза H0 принимается, т. е. дисперсии случайных величин X и Y равны.

Теперь проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий слу-

чайных величин X и Y ,

применяя критерий Стьюдента.

Р

Гипотеза H0 :

M[X] M[Y],

т.

е.

чувствительность телевизоров марки

«Горизонт» и «Витязь» одинакова.

И

Найдем объединенную выборочную дисперсию:

У

7

6

(xi

68)2 (yi

69)

2

2

Г2

i 1

i 1

S0

27,46

[ В] .

7 6 2

Б

По формуле (11.5) вычислим статистическую характеристику t :

t

68 69

а0,343.

1

1

27,46

к

7

6

Задавая уровень

значимос еи =

0,05 для числа степеней свободы

= 7 + 6 – 2 = 11, по таблицам распределения Стьюдента находим квантиль

t0,025,11 = 2,201. Сравнивая t с t0,025,11 , видим, что				0,343	2,201, значит, гипотезу
			т
о равенстве чувств тельн сти телевизоров марки «Горизонт» и «Витязь» при-
нимаем.		о
		и
11.4. Проверкалгипотезы о законе распределения генеральной случайной
	вел чины. Критерий Пирсона. (Критерий согласия 2 )
	б
Пусть задана генеральная случайная величина Х и выборка x1,x2,...,xn .
и
Б

Если по выборке построить гистограмму, то по виду гистограммы можно выдвинуть гипотезу о виде закона распределения генеральной случайной величины Х. Тогда в качестве нулевой гипотезы H0 будет предположение, что случайная величина Х имеет плотность распределения f0(x):

H0 : f (x) f0(x).

При альтернативной гипотезе H : f (x) f0(x).

138

Обычно для построения гистограммы равноинтервальным способом разбивают весь диапазон выборочных значений случайной величины Х на k одинаковых интервалов. Если mi – число выборочных значений, попавших в i-й ин-

	n				mi
	тервал, то mi	n –	объем выборки. Введем случайную величину Zi			–
	i 1				n

относительную частоту попадания случайной величины Х в i-й интервал. Теоретическая вероятность pi попадания значений случайной величины Х в i-й ин-

тервал может быть определена как pi			f0(x)dx, где xi ai bi – длина i-го
		X xi
интервала, ai;	bi – границы i-го интервала.
Рассмотрим событие, состоящее в том, что случайная величина Х попадет
в интервал x	m раз. Тогда введем случайную величину Y, равную числу по-
i	i		Р

паданий случайной величины в i-й интервал (Y = mi). ВероятностиИвозможных ее значений определяются по формуле Бернулли, случайная величина Y имеет

биномиальный закон распределения, и ее числовые характеристики имеют вид

M[Y] np, D[Y] npq , q 1 p .

У

i

i

i

i

Гm

Для введенной ранее случайной величины Z

i

i

определим числовые

n

характеристики:

mi

Б

M[Z

] M

1

M[m ]

1

M[Y]

1

np p ,

i

i

i

i

n

n

а

n

n

m

к

1

1

pq

1

D mi

D Y

D[Zi] D

i

npiqi

i i

.

n

n

2

n

2

n

2

n

е

Проведем нормировку случайной величины Zi , для этого мы ее центри-

руем, сделаем безразмерн й, разделив на

, и обозначим Wi :

D[Zi ]

т

о

mi

p

иW

Zi

M[Z

i ]

n

i

.

(11.9)

л

i

D[Zi ]

piqi /n

Эта вел

чина распределена по биномиальному закону, т. к. в нее входит

б

случайная величина Y. Образуем сумму квадратов случайных величин Wi :

и

при n ,

k биномиальный

Бk

mi p

2

k

k

2

закон распределения поцентраль

2

n

i

(mi npi )

Wi

ной предельной теореме

i 1

i 1

piqi / n

i 1

npiqi

переходит в нормальный закон,

(учтем: если pi

0,

то qi

1)

139