Практически все возможные значения случайной величины, распределенной по нормальному закону, лежат в пределах от 3 до 3 относительно m.

Коэффициент асимметрии A	3	0; эксцесс Э	4		3 0.
	3			4

Нормальное распределение имеет исключительно важное значение в теории вероятностей и часто встречается на практике в самых различных областях. Например: отклонения в величине параметров полупроводниковых приборов при массовом производстве, вес и размер деталей, вес и рост людей имеют нормальное распределение.

6.5.1. Функция Лапласа

Р

Определим вероятность того, что случайная величина, распределенная по

нормальному закону, попадет в интервал [ , ].

И

x m

t

У

Г

m

m)

2

dx dt

m

2

2

(x

t

t

P( x )

1

e 2 2

dx

Б1

e 2 dt

1

e 2 dt

2

t

m

2

2

0

0

а

t

m

к

е

1

m

m

Ф

Ф

.

(6.3)

2

т

Функция Ф(x)

о

называется интегралом вероятностей или функцией Лап-

ласа (рис. 6.12).

и

л

2

x

t2

Ф(x)

e

2 dt .

(6.4)

б

2

0

иСвойства функции Лапласа

(x)

1.

Функция

нечетная

БФ( x) Ф(x).

1

2. x2

x1

=> Ф(x2) Ф(x1)

– свой-

X

4

ство монотонности.

-1

3. limФ(x) 1,

lim Ф(x) 1.

x

x

Рис. 6.12

91

4. Значения Ф(x), применяющиеся наиболее часто:

Ф(0) 0, Ф(1) 0,6827,		Ф(2) 0,9545,	Ф(3) 0,9373,	Ф(4) 0,99994,
x 4,	Ф(x) 1.

Пример.

Цех на заводе выпускает транзисторы с емкостью коллекторного перехода Ck =1,5 пФ. Сколько транзисторов попадет в группу «Б», если в нее попадают транзисторы с емкостью коллекторного перехода от 1,80 до 2,00 пФ. Цех

выпустил партию в 1000 штук.				Р
Решение.			И
Статистическими исследованиями в цеху установлено, что Ck можно
		У
трактовать как случайную величину, подчиняющуюся нормальному закону.
Чтобы вычислить количество транзисторов, попадающих в группу «Б»,
	Г
необходимо учитывать, что вся партия транзисторов имеет разброс параметров,
	Б

накрывающий всю (условно говоря) числовую ось. То есть кривая Гаусса охватывает всю числовую ось, центр ее совпадает с X = m = 1,5 пФ (т. к. все установки в цеху настроены на выпуск транзисторов именно с этой емкостью). Вероятность попадания отклонений параметров всех транзисторов на всю числовую ось равна 1. Поэтому нам необходимо ф ктически определить вероятность

попадания случайной величины Х в интерв л [1,8; 2,0], а затем пересчитать ко-
личество пропорциональной вероятности.а
Для расчета этой вероятности надо построить математическую модель.
Экспериментальные	данные	к
		о том, что нормальное распределение
можно принять в	качес ве ма	ической модели. Эмпирическая оценка
		ема

(установлена статистическими исследованиями в цеху) среднего значения Ck

дает m x		1,5 пФ,			ценка среднего квадратического отклонения = 0,15 пФ.
ср						говорят
Обозначая =1,8 пФ, = 2,0 пФ, подставим приведенные значения в (6.3):
					о
			и				1		2,0 1,5					1,8 1,5
		P(1,8 X		2,0)				Ф						Ф
											0,15				0,15
			л				2
		1							1							1
	бФ 3,3 Ф 2										0,998 0,9545						0,044 0,022.
									2							2
		2
и
Б

Тогда количество транзисторов n, попавших в интервал [1,8; 2,0] пФ, можно найти так: n = 1000 0,022 = 22 шт. Таким образом можно планировать и рассчитывать количество транзисторов, попадающих в ту или иную группу.

92

ГЛАВА 7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Группа теорем, устанавливающих соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин и случайных событий при большом числе повторения эксперимента в одинаковых условиях, а также касающихся предельных законов распределения, под общим названием

предельных теорем.	Р
Закон больших чисел занимает важнейшее место в теории вероятностей.
Он устанавливает связь между математическими моделями эксперимента и
	И
практикой. Этот закон выражается рядом теорем (Чебышева, Бернулли, Ляпу-

нова и др.). В этих теоремах указывают условия, при выполнении которых со-

У

Г

Б

вокупное действие многих случайных причин

приводят к устойчивым резуль-

татам, практически независящим от случая.

7.1. Неравенство Чебышева

а

Пусть Х произвольная случайнаякв личина и – любое число 0, тогда

справедливо следующее нерав нство:

е

M[x2

]

P(

x

)

.

(7.1)

2

т

Докажем это для непрерывной случайной величины Х с f(x).

о

и

т.к. подынтегральная функция

положительная,то уменьшение

2

2

2

M[x

f (x)dx

] лx f (x)dx x

пределовинтегрирования ведет

x

б

к уменьшению значения интеграла

и

т.к.

x

е,тоположим

х = minзначению, т.е.

2

2

2

Б

f (x)dx

f (x)dx P(

x

)

х = е этотакже не

x

x

увеличивает интеграл

P(

x

)

M[x2

]

.

2

93

Для дискретной случайной величины доказательство аналогично. Полагая в (7.1) вместо X X M X (т. к. X – была произвольна) и пе-

реходя к противоположному событию, получим

P(		X M[X]		) 1	D[X]	.	(7.2)
					2

Это и есть неравенство Чебышева. Оно имеет большое теоретическое значение, т. к. позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от ее среднего значения, когда неизвестен закон распределения, но извест-

деленных на одном и том же в роятностном пространстве ( ,F,P). Тогда по-

ны только первые два начальных момента.

Р

Пример.

Полагая в (2) 3 , получим

2

1

где 2

P(

X M X

3 ) 1

9 2

1

9

0,899,

И

D[X].

Если Х – нормальная случайная величина, то P(

X M X

3 ) 0,997,

т. к.

У

0,899 << 0,997 (с вероятностной точки зрения), видно, что неравенство

Чебышева дает грубую оценку.

Г

Все же неравенство Чебышева имеет большое значение в практике, т. к.

позволяет действовать с неизвестными з

Б

ми р спределения.

Пусть дана последовательность случ йных величин X

1,X2 ,...,Xn ,..., опре-

а

кон

следовательность случайных величин Xn	, n 1, сходится к случайной или не
случайной величине X по вероя носеи, если для 0выполняется соотно-
шение

limP{

X

X

} 1.

(7.3)

т

n

n

В обычном ана

о

Xn X

всегда выполняется, начиная

зе неравенство

и

с какого-то значения

n0 . Если же Xn X при n по вероятности, то это не-

равенство для

отдельных

n может и не выполняться.

б

и

7.2. Теорема Чебышева

Пусть X

,X

2

,...,X

n

,... последовательность независимых случайных вели-

Б

1

чин с ограниченной D X , т. е.

1

n

(lim

cov(Xi,X j ) 0, D Xi c, т.е. ограничена )* .

2

n n

i, j 1

94

Тогда среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

1

n

1

n

limP

Xi

M[Xi ]

1.

(7.4)

n

n i 1

n i 1

где – любое, сколь угодно малое положительное число.

Доказательство:

n

n

Р

Используем неравенство Чебышева (7.2). Положим вместо X

1

Xi .

n i 1

1

n

И

Определим M[X]

M[Xi] (применили свойство аддитивности).

n i 1

У

Вычислим дисперсию для

1

Xi :

Г

n i 1

1

1

n

1

Б

cn

c

n

n

с учетом условия(*)

D

Xi

D Xi

D Xi

D

X

i

c

.

n

n

2

n

2

n

2

n

i 1

i 1

i

1

а

Подставляем полученные выражения в (7.2):

к

c

P

1

Xi

1

M Xi

1

.

(7.5)

2

n i 1

е

n

n i 1

т

1

Переходя к пределу и учитывая, что lim

1

n

2

1, а также то, что ве-

о

n

роятность не может быть больше 1, получаем:

и

limP

1

n

X

1

n

M X

1.

i 1

i 1

n

n

i

n

i

б

На практике нередко используется следующий частный случай теоремы

Чебышева.

Если

x ,лx ,...,x ,... – независимые случайные величины с одинаковым ма-

1

2

n

темат ческ м ожиданием, равным a, и равномерно ограниченной дисперсией

(т. е. M[xi ] a ,	D[Xi] c const, i 1,n),						то среднее арифметическое этих
случайных величин сходится по вероятности к a.
Б					1	n
	limP					Xi	a			1.	(7.6)
	n				n i 1

95

Доказательство:						na
Это следует из (7.5), где			1	M[Xi	]		a. Тогда правая часть в преде-
			n
	c					n
ле равна lim(1		) 1.
	n 2
n
Таким образом, согласно				теореме Чебышева, среднее арифметическое

большого числа слабозависимых или независимых (условие *) случайных величин является практически неслучайной величиной, т. е. постоянной, обладающей сколь угодно малой дисперсией. Причина этого явления – взаимное погашение ошибок. Если прогноз каждого отдельного значения случайной величины ненадежен, то прогноз среднего рифметического является достаточно на-

дежным.

Р

Пример.

Пусть xk – результат k-го измерения длины, например комнаты.

1. Случайные величины x1,x2,...xn – независимы.

И

У

2.M[xi ] a – т. к. длина комнаты – существует.

3.

D xi c – т. к. ошибка не накапливается.

Г

Тогда вероятность при n , P 1для

x1 ... xn

a

.

Бn

7.3. Т ор

Бернулли

ма

к

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых на-

е

т

ступает событие А или A и Р(А) = p. Событие А происходит в n опытах m

о

m

раз. Тогда относительная час

а

события А сходится по вероятности к

вероятности p:

n

л

m

б

p

1.

(7.7)

и limP

n

события

n

Доказательство:

Б

Рассмотр м двоичную случайную величин Xk , равную числу наступле-

ний

А в каждом опыте. Закон распределения ее задан в виде таблицы.

Xk

x1 = 0

x2 = 1

Р

1– p

p

Покажем, что для случайной величины Xk выполняются условия частного случая теоремы Чебышева:

96

2

M[Xk ] xi pi

0 (1 p) 1 p p,

i 1

M[Xk2] xi2 pi 02 (1 p) 12 p p,

i

D[Xk ] M[Xk2] M[X] 2 p p2 p(1 p).

Таким образом, случайные величины X1,X2,...,Xn независимы, имеют

одинаковое математическое ожидание, равное p, и ограниченную дисперсию.

Можно

применить

частный

случай

теоремы

Чебышева.

Учитывая,

что

n

M[Xk ] p a,

D[Xk ] p(1 p) c,

1

Xk m ,

т. к. в n опытах событие А на-

n k 1

n

Р

ступает m раз, тогда из (7.6) получим

И

m

p

1.

limP

n

У

n

Формула (7.7) объясняется свойство устойчивости относительной часто-

Г

ты, состоящей в том, что в разных опытах, проведенных в одинаковых условиях,

она колеблется около некоторого числа, которое есть не что иное, как вероят-

Б

ность; (7.7) позволяет вместо неизвестной вероятности использовать известную

относительную частоту.

а

Пример.

к

Пусть проводится эксперим нт с броском монеты. Обозначим через со-

бытие А появление герба. Пу ь при n бросках герб появится m раз. Найдем от-

е

носительную частоту п явления герба: m . Повторяя такой опыт много раз,

n

будем откладывать результатытна графике. (рис. 7.1).

о

и

m

n

л

0,5

б

и

n

Б

Рис. 7.1

Мы увидим, что относительная частота будет колебаться около некоторо-

го постоянного числа (в случае с симметричной монетой это 0,5). И это значе-

ние можно принимать за неизвестную вероятность события А. Но надо огово-

97

рить, что m p при n по вероятности, т. к. возможность отклонения n

всегда остается.

7.4. Центральная предельная теорема (Теорема Ляпунова)

Эта теорема указывает условия, при которых закон распределения суммы большого числа независимых случайных величин близок к нормальному закону.

Р

Впервые она была сформулирована и доказана великим русским математиком

академиком А. М. Ляпуновым (1857 – 1918).

И

Xn,... ,

Распределение суммы независимых случайных величин X1,X2,...,

имеющих произвольный, но одинаковый закон распределения при

n ,

стре-

У

мится к нормальному распределению. (Эти ограничения существенно упроща-

ют доказательство).

Г n

Доказательство:

Б

Основная идея – найдем характеристическую функцию, a она окажется

характеристической функцией нормальной случайной величины.

Рассмотрим случайную величину Y

а

... Xn

Xk .

X1 X2

Пусть случайные величины Xk

к

i 1

имеют следующие числовые характери-

стики:

е

2

M[X

k

], 2

D[X

k

].

т

Нормируем случайную величину Y:

n

n

о

D Xk nD[Xk ] n ,

Y M[Y]

D[Y] D[ Xk ]

n

Y0

и

n

=

Xk

.

D[Y]

k 1

n

M[Y] M

Xk n

л

i 1

n

Найдем характеристическую функцию g(t) вспомогательной величины Y0 .

и

xk

бg(t) M

it

n

it

xk

itY0

n

Б

e

k 1

M

e

n

e

M

k 1

т.к.случайныевеличиныXk

xk

независимы,тоиспользуем

n

it

свойствомультипликативности

M e

n

k 1

математического ожидания

98

разложим ex

в ряд:

n

x

2 2

xk

2

M

k

x2

x3

1 it

i t

...

x

2

2!

n

e

1 x

3!

...

k 1

n

2!

n

M (M)n

k 1

ограничимся 3-мя

t2 2

c

n

членами разложения

1

... .

2 2n

n

32

Р

и учтём, что

И

M[X mx] 0,

M[(X m )2] 2,

У

x

Здесь с – некоторая постоянная, которая не зависит от n и содержит факториалы.

Переходя к логарифмам и используя формулу ln(1 ) , получаем

t2

c

Б

c

c

t2

lng(t) nln

1

3

...

Г

... .

2n

а

2

n 2

n 2

к

Найдем предел этого выражения при n и увидим, что lim

0,

тогда

е

t2

n

n

t2

т

о

lng(t)

2

.

что ха-

Потенцируя это выражение, получаем g(t) e 2 . Отсюда следует,

функция

2

рактеристическая

н рмированной последовательности Y0 сходится к

характеристической функции нормированной нормальной случайной величины.
		л
Таким образом, при достаточно большом n распределение суммы случай-
	б
ных величин пр б женно совпадает с нормальным распределением с матема-
тическим ожиданием n и дисперсией n .			n
и
Доказанная теорема, как установил Ляпунов, справедлива также и для слу-
чая, когда случайные величины X1,X2,...,Xk			слабо зависимы и имеют произволь-
Б

ные разные законы распределения. При этом требуется, чтобы никакое Xk не до-

минировало над остальными слагаемыми в Xk . Этим и объясняется широкое

k 1

распространение в природе и технике нормального закона распределения.

Пример.

t2

Показать, что характеристическая функция g(t) e 2 имеет плотность распределения нормированной нормальной случайной величины.

99

Решение.

Используем обратное преобразование Фурье:

1

ity

1

ity

t2

1

t2

ity

для краткости

f (y0)

e

0 g(t)dt

e

0e 2 dt

e

2

dt

записываем y

2

2

2

вместо y0

t2 ity

2

1

(t

2

2ity

(iy)

2

1

1

1

U t iy

e

y2

U2

2

(iy)2

(t iy)2

2

e 2

e 2

dt

dU dt

e 2 dU

2

1

2

2

2

(iy)

)

(t

iy)

ИР

2

1

(iy)2

ГУ

2

1

e

y02

=

2

.

2

– ЛБпласа

7.5. Формулы Му

Рассмотрим частный случай центральной предельной теоремы, когда сла-

n

вра

дискр ктными

гаемые

в Y Xk являются

случайными

величинами. Пусть

k 1

е

n

тn

производится n независимых испы аний по схеме Бернулли, в каждом из кото-

о

рых событие А появляется с вер я нос ью p: P(A) p, P(A) 1 p q. Тогда

л

P (k) Ck pkqn k .

(*)

равную числу наступлений событий А в

Введем с учайную величину Xk ,

б

k-м опыте. Рассмотримислучайную величину Y X1 X2 ... Xn , т. е. равную

числу

наступлений события А в n опытах. Случайные величины Xk не-

общему

завис мы

меют одинаковый закон распределения.

Б

Xk

0

1

Pk

q

p

Ранее мы показали (см. раздел 7.3), что M[Xk ] p, D[Xk ] p q.

Сформируем центрированную случайную величину Zn Y np . npq

Тогда при n распределение суммы случайных величин стремится к нормальному распределению с параметрами M[Z] = 0 и D[Z] = 1. Обозначим

100

функцию распределения Fn(z) P(Zn z). Тогда последовательность функции распределения Fn(z) сходится по распределению к функции распределения нормированного нормального закона N(0,1):

2

Y np 2

1

1

Z

Z

1

Y

2dY .

limF (z)

e

2 dz

e

npq

n n

2

2 npq

Вероятность попадания случайной величины Y в интервал [a,b] (на осно-

вании свойства 2 функции распределения):

Р

P(a Y b)

1

b np

a np

.

И

npq

2

npq

У

2

z

z2

Это интегральная теорема Муавра – Лапласа, где (z)

e

2 dz –

функция Лапласа.

Г

2 0

Б

Вероятность того, что при n независимых испытаниях события А насту-

пают ровно k раз (при больших n), удобно считать на основании локальной

теоремы Лапласа:

а

к

2

1

1

1

k

np

1

2

npq

P(Y

k)

e

(x),

npq

2

npq

где x

k

np

.

е

Вероятность успешнойработы телевизора после сборки равна 0,75. Найти

npq

т

Пример:

10

л

з 10 телевизоров 8 заработают. Используем локальную

вероятность того, что

б

теорему Лап аса ипо учаем P10(Y 8) 0,27 – по таблицам, а по формуле Бер-

и

нулли – P

(8) 0,28.

Б

101