а следовательно, она является вероятностной мерой		наступления	событий
A F .	Для тех же событий A Fможно записать другую функцию,		которую
обозначим P1:
P1	( ) 0; P1( 1) 1/4; P1( 2) 1/2; P1( 3) 1/4;	P1( 1, 2) 3/4;
P1	( 1, 3) 1/2; P1( 2, 3) 3/4; P1( ) 1.

Эта функция также удовлетворяет аксиомам Колмогорова, а следовательно, она также является вероятностной мерой наступления событий A F . Отсюда видно, что система аксиом не полна, не устанавливает взаимно однозначного соответствия между событиями A F и вероятностями Р(А). Только опыт и наблюдения могут показать правильность наших модельных предположений. Согласуется ли выбранная математическая модель с данными эксперимента,

можно выяснить с помощью методов математической статистики.

Р

Рассмотрим методы определения вероятностей для событий, удовлетво-

ряющих аксиомам Колмогорова.

И

1.5. Классический метод определения вероятностей

У

Пусть

– конечное или бесконечное пространство элементарных собы-

Г

тий некоторого случайного эксперимента. Предположим, что структура экспе-

римента такова, что на

можно указать n событий А1, А2, …, Аn, обладающих

следующими свойствами:

Б

1)

события А1, А2,…, Аn попарно несовместны в том смысле, что ника-

а

Aj ,

кие два из них не могут произойти одновр менно. Иначе говоря, Ai

к

i j,

i, j 1,..., n.

е

2)

А1, А2, …, Аn образуют полную группу событий в том смысле, что при

любом исходе эксперимен а пр исходит хотя бы одно из них. Это означает, что

A A

... A

,

P(Aт... A ) P( ) 1

.

1

2

n

1

n

3)

события А1, А2, …, Аn равновероятны (равновозможны), т. е. ни одно

из них нельзя считать более предпочтительным, чем любое из остальных.

и

В классической схеме вероятности событий А1, А2, …, Аn, удовлетво-

ряющих условиям

1–3,

называются

полной

группой попарно несовместных,

л

равновероятных событий. Вероятность в классической схеме определяется

лишь для техбсходов эксперимента, которые могут быть представлены в виде

объединения некоторых из событий Ai , i = 1, …, n. Пусть произвольное собы-
и
тие А можно представить в виде суммы или объединения событий:
Б	A Ai1 Ai2 ... Aim .						(1.1)
Если все слагаемые в формуле (1.1) различны, то вероятность события А
определяется следующим равенством:
	P(A)	| A|			m	,	(1.2)
		| |
					n

где m – число слагаемых в формуле (1.1).

16

Чтобы определение (1.2) было корректным, необходимо доказать единственность разложения (1.1). Для любого события А, согласно условию 2) и свойству дистрибутивности,

A A A (A1 ... An ) A A1 ... A An ,

поэтому разложение (1.1) A Aj либо пусто, если j iS , s = 1, …, m, либо

A Aj Ais , если j = is.

Для классического определения вероятности характерна своя терминоло-

гия. Эксперимент называется испытанием, опытом; полную группу попарно несовместных, равновероятных событий называют полной группойРвозможных исходов испытания; а те исходы, из которых складывается событие А – называют исходами благоприятствующими появлению А. И

Тогда вероятностью события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих появлению события А, к числу n всех возможных, равновероятных исходов опыта или эксперимента (1.2).

Отыскание вероятностей, основанное на классическом определении, час-

то сводится к комбинаторным вычислениям. Напомним простейшие комбина-
торные формулы.			У
		Г
Размещения:
Am	n(n 1)...(n (m 1))	.
n
		Б
Формула для размещений позволяет подсчитать количество комбинаций

из n элементов по m, где комбинации будут отличаться как самими элемента-

ми, так и расположением

а

элем нтов относительно друг друга.

Сочетания:

к

n(n 1) ... (n (m 1))

n!

m

Cn

е

.

1 2 3 ... m

(n m)!m!

Формула для с четаний позволяет подсчитать количество комбинаций из

и

т

n элементов по m, где к мбинации будут отличаться только самими элемента-

ми, т. е. каждая комбонация хотя бы одним элементом должна отличаться от

другой.

Перестановки:

P 1 2 ... n n!

P 0! 1.

лn

0

Формула для перестановок позволяет подсчитать количество комбинаций

б

из n элементов, где комбинации будут отличаться только расположением эле-

ментов относительно друг друга.

и

Пример 1.

Б

Проводится три броска симметричной монеты. Какова вероятность того, что герб появится два раза?

Задачу начинаем решать с определения события А. Здесь событие А состоит в том, что при трех бросках герб появится два раза. Определяем пространство элементарных событий Ω этого эксперимента. В разделе 1.2 в пункте

17

2 мы рассмотрели этот вопрос и получили (обозначили выпадение герба – 1, цифры – 0)

{000 ,001,010 ,011,100 ,101,110 ,111} .

Здесь общее число исходов n = = 8. Выпишем благоприятствующие ис-

ходы, из которых состоит событие А: А = {011, 101, 110, 111}, тогда m = A = 4.

P(A)	m		4	0,5.
	n 8				Р
Пример 2.
Какова вероятность того, что наудачу взятый телефонный номер из семи
				И
цифр имеет: 1) все цифры различные; 2) только нечетные цифры.

1) определим вначале событие А. Событие А состоит в том, что в семизначном номере все цифры различны. Так как номер семизначный, а цифр всего

10, то общее число исходов n (всего может быть 107 номеров) равно 107. Для
									Г
подсчета благоприятствующих исходов подходит формула для размещений –
								Б
m = A7 . Тогда P(A)		m			A107		10 9 8 7 6 5 4		0,06. У
				107
10		n				107
2)	определим событие В. Событие В состоит в том, что в семизначном

номере все цифры нечетные. Имеем 5 нечетных цифр. Из них можно получить
						к7
лишь 57 различных семизначных номеров, т. е. m = 57. Общее число исходов
n = 107.					7			а
					е				1
		P(B)		m		5	(			)7 0,008.
		о		n	10				2
	1.6. Геоме рическое определение вероятностей
Пусть эксперимент			писывае ся пространством элементарных событий
со счетным множеств м элементарныхт									событий : | | . Элементар-
	л
ные события будем рассматривать как координаты точки в n-мерном про-
странстве Rn(n 1, 2,и3,...),			а события A F как некоторые области этого про-
и
странства. Ес и задавать вероятности по аналогии с классическим методом, то
получ м P( ) 1/ | | 0. Ранее мы указывали, что классическое определе-
Б

ние вероятностибсправедливо не для любых событий, а для удовлетворяющих

определенным требованиям. Поэтому в нашем случае можно приписать вероятности не каждому , а некоторому множеству элементарных событий A F , т. е. некоторой области пространства. При изучении аксиом мы указали, что геометрические меры множеств A F удовлетворяют условию аддитивности, могут быть приняты за вероятностную меру этих множеств. Для этого геометрические меры нормируют, т. е. принимают меру за 1, а вероятность произвольного события A F назначают пропорционально области А:

18

P(A) (A)

(мера

области А).

(1.3)

( )

(мера области )

В одномерном пространстве R1 – это отноше-

ние длин, в двумерном R2 – отношение площадей

(рис. 1.7), в трехмерном R3 – отношение объемов,

соответствующих множествам А и . Как видно из

рис 1.7 и формулы (1.3), вероятность события А не

зависит ни от формы области А, ни от места ее

Рис. 1.7

расположения.

Р

Такой метод задания вероятностей (1.3) называется геометрическим –

это отношение меры области А к мере области . Его особенность в том, что

n

области А и должны иметь конечную меру в пространстве

И

R .

Пример 1.

У

Наудачу взяты два положительных числа x и y, причем

x 5, y 2. Най-

ти вероятность того, что y ax b 0

Г

и y cx 0, если a = 2, b = 10, c = 2.

Подставляя значения коэффициентов в нер венства, получаем

y 2x 10,

Б

(а)

а

y 2x.

Строим на рис.

которая определяет про-

1.8 оси координат и область,

странство элементарных

к

Ω, она задается неравенствами x 5, y 2 и

отображается на рисунке 1.8 прямоугольникоме

.

Y

y = 10 - 2x

y = 2x

10

событий

8

о

6

и

4

л

2

б

0

X

0

2

4

6

и

Б

Рис. 1.8

Площадь прямоугольника SΩ = 2·5 = 10 [условных единиц]. Область бла-

гоприятствующих исходов определяется неравенствами (а), поэтому строим на

рисунке прямые, которые задаются из неравенств (а). Заштрихованная на ри-

сунке 1.8 область описывает благоприятствующие исходы (с учетом всех воз-

19

можных значений) и является трапецией, площадь которой SА=						5 3	2 8 [ус-
			2
ловных единиц]. Тогда вероятность события А
P(A)	SA			8	0,8.
			10
	S

Пример 2.

Найти вероятность того, что на экране радиолокатора отметка от цели

появится в кружке радиусом r

= 1 см, на азимуте

Р

ноль градусов, на расстоя-

нии L = 3 см от центра экрана, если радиус экрана равен 30 см.

И

00

У

Ω

r

Г

Б

R

а

L

900

2700

к

е

и

т

л

о

1800

и

Рис. 1.9

Экран радиолокатора, рис. 1.9, представляет собой электронно-лучевую

Б

трубку с радбальной разверткой, в которой от центра до края экрана движется

электронный луч и после достижения края движение луча опять начинается от центра к краю, но с некоторым смещением по азимуту. Это перемещение луча от центра экрана соответствует началу излучения радиоимпульса антенного радиолокатора, который укреплен на боковой стенке кабины с передающим устройством, а кабина, в свою очередь, вращается вокруг вертикальной оси, что соответствует смещению луча на экране по азимуту. И когда радиоимпульс отражается от цели, на экране радиолокатора вспыхивает яркая точка. По положению этой точки на экране легко определить расстояние до цели и ее азимут.

20