Рис. 2.8. Р

ния идет по оси Х от до 1 включительно. На второмУпромежуткеИпо оси Х (от 1 до 2), согласно пункту 2, значение F(x) = 0,2 – проводим ступеньку высотой 0,2. На третьем промежутке (от 2 до 4), согласно пункту 3, значение

Опишем построение функции распределения F(x). Рассмотрим первый

промежуток по оси Х (от до 1): согласно пункту 1, значение F(x) = 0 и ли-

личины в окрестности той или иной очки числовой оси. Более наглядно опи-

F(x) = 0,7 – проводим ступеньку высотой 0,7. На четвертом промежутке (от 4
				Г
до ), согласно пункту 4 значение F(x)=1 – проводим ступеньку высотой 1. В
точках Х = 1, 2, 4 функция распределения F(x) имеет разрыв.
				Б
2.4. Плотность распределения непрерывной случайной величины
			а
Недостатком функции распр д л ния непрерывной случайной величины
является то, что по ней трудно		к
		о характере распределения случайной ве-
	е
судить

сывает распределение непрерывной случайной величины функция, которая на-

Пусть непрерывнаяиослучайная величина X задана функцией распределения F(x). Найдем вероятность попадания этой случайной величины на элементарный участок (x, x+ x), используя свойство 2 функции распределения:

зывается плотностью распределения вероятностей или дифференциальным законом распределен я случайн й величины.

P(x < X < x + x) = F(x + x) – F(x). Разделим обе части этого соотношения на x:

л

P(x X x x)

F(x x) F(x)

б

.

(2.5)

x

x

Пусть функция распределения F(x) непрерывная и дифференцируемая,

и

вычислим предел от обеих частей (2.5), когда x 0:

Б

P(x X x x)

F(x x) F(x)

dF(x)

lim

lim

x

x

F (x).

x 0

x 0

dx

Определение. Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от x до x+ x к длине этого уча-

42

стка x, когда x 0, называется плотностью распределения (или плотностью вероятности) случайной величины в точке x, обозначается f(x) и вычисляется как производная от функции распределения F(x):

		dF(x)
	f(x) =			(2.6)
			=F (x).
		dx

Смысл плотности распределения f(x) состоит в том, что она показывает, как часто появляется случайная величина X в окрестности той или иной точки числовой оси при повторении опытов. Возможный вид f(x) показан на рис. 2.9.

На рис. 2.9 видно, что значение f(x1) – мало, значит в окрестности точки х1 случайная величина появляется редко, а значение f(x2) – значительно больше f(x1),

значит, в окрестности точки х2

случайная величина появляетсягораздо чаще.

f(x)

Р

И

У

f(x2)

Г

Б

f(x1)

а

x

x1

x2

к

Рис. 2.9

е

Свойства плотн с			и распределения:
1. Плотность распределения – положительная функция: f(x) 0.
Это следует		з т	т
			, что f(x) есть производная от неубывающей функции
распределения F(x).		го
2. Функцияираспределения непрерывной случайной величины равна инте-
гралу от плотности в интервале от до x:
	л		x	(2.7)
	б		F(x)= f (x)dx.
иДоказательство:
Из формулы (2.6) можно записать dF(x) f (x)dx.				Интегрируя обе части,
Б
получаем
x	x
f (x)dx= dF(x)=F(x) – F( ) = F(x),

согласно свойству 4 функции распределения F( ) = 0.

Геометрически функция распределения представляется площадью заштрихованной фигуры на графике плотности распределения (рис. 2.10).

43

Рис. 2.10

3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал ( равна определенному интегралу от плотности распределения, взя-

ная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ( , равна площади заштрихованной фигуры.

тому по этому интервалу:

Р

И

P( < X < ) = f (x)dx.

Доказательство:

У

На основании свойства 2 функции распределения и замечания к нему

имеем

Г

P( X ) P( X ) F( ) – F( ) =

f (x)dx

f (x)dx =

Б

=

... ... ...

=

а

f (x)dx = f (x)dx.

f (x)dx f (x)dx

к

е

т

о

и

л

Рис. 2.11

б

Геометрически (рис. 2.11) это означает: вероятность того, что непрерыв-

и

Б

4. Условие нормировки. Интеграл в бесконечных пределах от плотности

распределения равен единице:

f (x)dx 1.	(2.8)

44

Доказательство:

Из свойства 2 и 4 функции распределения имеем

F( )= f (x)dx 1.

Пример.

Задана плотность распределения

0

x a

f(x)=

a x b.

k

x b

Р

0

Определить коэффициент k и функцию распределения F(x).

Решение.

b

1

У

f (x)dx kdx k (b a) 1; Отсюда k =

.

b a

a

И

Построим график f(x) (рис. 2.12).

Г

Б

а

к

е

Рис. 2.12

Найдем функцию распределения, используя (2.7):

и

0

x 0

x

л

т

x a

a x b.

F(оx) = f (x)dx

б

b a

1

x b

Построим график F(x) (рис. 2.13).

и

F(x)

Б

1

	a					X
				b
			Рис. 2.13

45

ГЛАВА 3. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

3.1. Понятие о многомерных (векторных) случайных величинах
		Р
При решении многих практических задач каждому элементарному собы-
		И
тию можно поставить в соответствие не одну случайную величину, а не-
сколько : x1( ),x2( )… .
Пример 1.	Г
Пусть вероятностный эксперимент состоит в рождении ребенка. Тогда

каждому элементарному событию (каждому новорожденному) можно поста-
Б	(У) – вес,	X3( ) – пол
вить в соответствие следующие числа: X1( ) – рост, X2

(0 или 1). Таким образом , эксперимент Е описывается трехмерной случайной величиной, или системой трех случайных величин, или трехмерным вектором

( X1( ), X2( ), X3( )).

Пример 2.
Пусть эксперимент состоит в измерении коэффициента усиления транзи-
						а
стора Ku на высокой частоте. Тогда эл м нтарное событие – это Ku одного
						к
транзистора и ему можно поставить в соответствие следующие случайные ве-
личины:	X1( )				– коэффициентепередачи тока		на высокой частоте,
X2( ) Iко – обратный						к к ллек орного перехода,	X3( ) y11 – входная
проводимость, X4( ) CE						–емкость эмиттерного перехода, X5( ) Ск – ем-
кость коллекторного перехода, X6( ) y22 – выходная проводимость. Все пе-
речисленные параметры для каждого транзистора при массовом производстве
полупроводниковыхиприборов имеют отклонения от некоторого среднего зна-
чения (	с ожности поддержания технологического процесса стабильным
	л
для каждого кристалла при напылении, диффузии, травлении и т. д.). Поэтому
их можно счбтать случайными величинами, и от значения каждого из них зави-
сит коэффввидуц ент усиления транзистора Ku на высокой частоте. Тогда в данном
случае эксперимент описывается шестимерной случайной величиной, или шес-
тимерным вектором, или системой шести случайных величин.
Б	изучении				многомерных случайных величин		удобно пользоваться
При

следующей геометрической интерпретацией. Например (рис. 3.1), систему двух случайных величин (X,Y) можно рассматривать как случайную точку на плоскости с координатами X,Y или как случайный вектор на плоскости со случайными составляющими X,Y .

46