Подставляем эти выражения в (5.11):

f

(y y) f

(y ,

1

(y ,y))

1(y ,y)

.

y

1

1

1

1

y

Интегрируя это выражение по y1

(и заменяя y1

на x1), получаем

1(x ,y)

fy (y)

fy (y1,y)dy1

fy

(x1,

1

(x,y))

dx1.

(5.15)

1

y

5.3. Распределение суммы независимых случайных величин

Пусть для независимых случайных величин X1 и X2

известны плотности

распределений

f1(x1)

и f2(x2). Задана функциональная зависимость Y X1 X2 .

Р

Требуется найти плотность распределения случайной величины Y. Эта задача

рассматривается в качестве примера на использование формулы (5.15).

Запишем случайные величины вида (5.13):

И

У

Y1 X1,

Y X1

X2 .

Определим обратные функции:

Г

1(x ,Бy) y x .

X

1

Y ,

X

2

1

1

1

Найдем

1

(y x1)

1.

а

y

y

к

Подставляя в формулу (5.15), получим

е

fy (y)

fy (x1,y x1)dx1 =│т. к. X1

и X2 независимы, то

т

2(x2)│=

f1(x1), f2(y x1)dx1.

fy (x1,x2)

f1(x1) f

(5.16)

о

Распреде

суммы независимых случайных величин X

1

и X

2

называ-

ение

ется композицией распределений этих величин.

л

б

5.4. Характеристические функции

и

Характеристической функцией случайной величины X называется мате-

матическое ожидание случайной величины ejtx :

Б

g(t) M[ejtx ],

(5.17)

где j

, t – вещественная переменная, x – случайная величина.

1

79

Используя общее определение математического ожидания, запишем характеристическую функцию для непрерывной случайной величины, если задана плотность распределения f (x):

g(t) ejtx

f (x)dx.

(5.18)

Если для дискретной случайной величины Х заданы вероятности возмож-

ных ее значений: P(X xk ) pk ,

k

, то характеристическая функция при-

1,n

нимает вид:

n

Р

g(t) eitxK pk .

(5.19)

k 1

У

Характеристическая функция существует для любой случайной величины,

поскольку ввиду равенства

eitx

Г

1 ряд (5.19) и интеграл (5.18)Исходятся абсо-

лютно.

Б

Свойства характеристической функции

1. g(0) 1, например из (5.17) при t = 0;

g(0)

f (x)dx=1.

2.

g(t)

1.

3.

Если

известна характеристич с аяафункция g(t), то плотность распре-

деления случайной величины Х находитсякс помощью обратного преобразова-

ния Фурье:

о

е

1

e itxg(t)dt .

f (x)

(5.20)

т

2

4. Если Y ax

itb

g(at).

b, где a и b– const, то gy (t) e

л

з определения, формула (5.17), получим

Покажем это,

сходя

и

[e

it(ax b)

] e

itb

M[e

itax

] e

itb

g(at).

gy (t) M

n

5.

Y X1

X2 ... Xn

– независимы, то gy (t) gk (t).

Б

б

k 1

ИзЕслинезав симости Xi

следует независимость ejtxI . Применяя свойство

мультипликативности математического ожидания, получим

n

n

n

gy (t) M[ejt xi ] M[ ejtxi ] M[ejtxi ]

gi(t).

i 1

i 1

i 1

6. Пусть у случайной величины Х существует начальный момент k-го порядка k . Тогда, зная характеристическую функцию, можно найти начальный момент k-го порядка:

80

g(k)(0)

k

,

(5.21)

ik

где g(k) (0) – k-я производная при t = 0.

Доказательство:

Дифференцируя (5.18) по t к раз, получим:

первую производную

g(t)

(ix)

eitx f (x)dx,

dt

Р

вторую производную

И

itx

g

2

e

f (x)dx,

(t) (ix)

……..

Г

k-ю производную

У

g(k) (t) (ix)k eitx f (x)dx.

Полагая t 0,

(k)

k

k

k

g

,

i

к

(0) i

x

f (x)Бdx i k

е

а

откуда получаем k

g(k)(0)

.

k

т

о

и

л

б

и

Б

81

ГЛАВА 6. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

6.1. Биномиальный закон распределения	Р
И

Пусть производится n опытов, в каждом из которых наступает событие А

с одной и той же вероятностью Р. Обозначим Х как число наступлений события

А в этих n опытах. Тогда Х – дискретная случайная величина и вероятности
	Г
возможных ее значений записываются с использованием формулы Бернулли:
Pn(X xk k) Cnk pkqn k .	Б	У

Ряд распределения, в котором вероятности определяются с использованием формулы Бернулли, называется биномиальным распределением.

Закон описывает вероятность во многих з дачах, таких, как число элементов радиоаппаратуры, выходящих из строя за время t; число приборов, вы-

ходящих из строя за время t при испытаниях

дежность и др.

Ряд распределения имеет вид:

на

к

X

0

1

е

k

n

P

qn

npqn 1

Cnk

pkqn k

pn

т

Для вероятностей p q, входящих в формулу Бернулли, можно записать

о

следующее раз ожен е в ряд:

n

и1 (p q)n Cnk pkqn k .

л

k 0

В правой части стоит бином Ньютона, откуда и произошло название би-

номиальногобраспределения.

Пространство элементарных событий здесь дискретно и состоит из

и

,..., n

, где k – элементарное событие,

n 1 элементарного события: 0, 1, 2

состоящее в том, что при n опытах событие А наступит к раз.

Б

На рис. 6.1 изображено распределение вероятностей биномиального рас-

пределения. На рис. 6.2 приведено изображение функции распределения F(x).

Это ступенчатая функция со скачками в точках разрыва X k ,	F(x) Pk .
	xK x

82

P

F(x)

x

0 1 2 . . . . N

x

1.Определяем характеристическую функциюГg(Уt), применяяИРформулы

(5.18), (5.19).

2.Находим первую g (t) и вторую g (t) Бпроизводные от характеристиче-

4. Используем свойство 6 хара теристической функции и, применяя (5.21),

5.

Определяем

ма ема

ическое

ожидание

M[X]=

1

и

дисперсию

определим 1-й и 2-й начальные мом нтыа:

стическую

кg (0)

g (0)

, 2

1

i

i

2 .

D[X]=

2

2 .

1

Найдем характер

функцию для биномиального распределе-

ния:

n

о

n

n

jtxk

k

itk

k

k

n k

k

it

k

n k

it

n

g(t)

k

k |

e

C

n

p q

C

n

(pe )

q

(pe q) .

eиP | x

и

k 0

k 0

k 0

ее 2 раза по t:

Прод фференцируемл

б

g

it

q)

n 1

pe

it

i,

(t) n(pe

g

it

q)

n 2

pe

it

i pe

it

i n(pe

it

q)

n 1

p i

e

it

i.

(t) (n 1)n(pe

Найдем значения производных при t = 0:

Б

n 1

p i n p i,

g

(0) n(p q)

1)n p

2

i

2

n

p

i

2

n p i

2

[(n 1)p 1].

g (0) (n

Определяем 1-й и 2-й начальные моменты:

83

1 g (0) np, i

2 gi(0)2 g (0) n2 p2 np2 np n2 p2 np(1 p) n2 p2 npq.

Найдем числовые характеристики:

M[X] 1 np,

D[X] 2 12 n2 p2 npq n2 p2 npq.

6.2. Закон распределения Пуассона

Распределение Пуассона описывает вероятности во многих задачах, таких,

ность успеха p стремится к 0. Вычисления по формулам биномиального рас-

как число отказов радиоэлектронной аппаратуры за время t, число радиоактивных
											Р
атомов, распавшихся к моментуt, число вызовов на телефонной станции и др.
Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если ее
закон распределения задан формулой										И
									У
							k
			Pk P(X k)					e , Г			(6.1)
							k!
								Б
где k		,
	0,
– параметр закона Пуассона,
						а
= np.
Формула Пуассона получа тся
						предельная для биномиального рас-
				ак
пределения, когда число испытаний n					стремится к бесконечности, а вероят-
			е
			стей

пределения приводят при больших n к очень громоздким вычислениям. Поэтому важно иметь приближенные, но достаточно простые формулы для вычисле-

ния соответствующ

х вер ятн

.

Пусть вероятность p наступления события А при каждом испытании рав-

о

на

, т. е. = np. Найдем предел формулы Бернулли при n :

n

и

лn!

k

n k

k

n k

n!

lim Pn (k) lim

p

q

lim

1

n

n (n k)!k!

n (n k)!k!

n

n

б

n

k

k

n

k

n(n 1)...(n k 1)

lim

1

1

lim

1

и

n

n

k

n

n

n k

!

k! n

Б

1

2

k 1

k

lim 1

1

1

...

1

1

n

n

n

n

n

k

n

k

k

lim 1

lim 1

e

.

n

k! n

n

n

k!

84

Ряд распределения дискретной случайной величины Х записан с применением формулы (6.1):

X

0

1

k

P

e

e

ke

k!

k

k

Р

Найдем Pk

e e

e e

1. Видим, что события

X xk

k!

k 0

k 0

k!

k 0

И

составляют полную группу.

Пространство элементарных событий здесь дискретно и состоит из счет-

У

k

e

ного множества элементарных

событий

:

P( ) P(X k)

. На

k

k

k!

Г

рис. 6.3 приведено распределение вероятностей, а на рис. 6.4 график функции

распределения.

Б

P

а

F(x)

к

е

0

1 2

k

т

x

x

о

Рис. 6.4

Рис. 6.3

и

Для определен я ч сл вых характеристик составим характеристическую

функцию:

л

ke

(eit )k

б

itk

itk

g(t) e

Pk

e

e

и

k 0

k!

k 0

k!

k 0

e

x

x

x2

xn

e

e

exp(it)

e

(exp(it) 1)

=

1

...

...

.

Б

1!

2!

n!

Продифференцируем 2 раза g(t):

(exp(it) 1)

e

it

i,

g

(t) e

g

(exp(it) 1)

e

it

i e

it

i e

(exp(it) 1)

i

e

it

i.

(t) e

Найдем значения производных при t = 0:

85