При n 25

закон распределения 2

практически совпадает с нормальным

законом.

Квантилем 2

,

(где – заданный уровень вероятности,

– число степе-

ней свободы) называется такое значение 2 2

, , при котором

P

f

d

2

2

2

2

,

(9.4)

,

2

,

Р

т. е. это то значение 2 ,

при котором площадь заштрихованной фигуры на

рис. 9.2 равна

.

Для

определения квантилей

2

составлены

таблицы

,

И

хи-квадрат распределения. Чтобы воспользоваться ими, необходимо задать

уровень вероятности и

число степеней свободы .

У

Г

9.3. Распределение Стьюдента (t – распределение)

Случайная величина t имеет распределение Стьюдента, если она опреде-

ляется так:

XБ

к

n

t X

X

1

,

(9.5)

Y

n

1

1

Xi2а

n2

е

n

n i 1

где X – нормированная нормальная случайная величина,

Y – величина

2

с n

с епенями свободы,

о

X и Y – независимые случайные величины.

венством

величина

tявляется

Случайная

функцией

нормально

распределенных

нормированных

случайных

величин

и

называется

безразмерной

дробью

Стьюдента. П отность распределения случайной величины t определяется ра-

и

л

n 1

t

2

n 1

б

f t

n

2

Б

1

,

(9.6)

n

n

n

где t .

2

Числовые характеристики случайной величины t:

M t 0;

D t

n

.

n 2

118

	На рис. 9.3 приведены кривые распределения
		f(t)
	Стьюдента. Кривые на рис. 9.3 качественно напо-

минают кривые нормального закона распределения

n

с математическим ожиданием, равным нулю, и при

n 5

n они стремятся к нормальному закону.

0,1

Квантили распределения Стьюдента t

2

, в за-

n 2

висимости от числа степеней

свободы

и заданно-

t

го уровня вероятности находятся из уравнения:

0

Р

P(

t

t /2, ) 2

f (t)dt .

Рис. 9.3

t 2,

У

Рис.

9.4 иллюстрирует

процесс

опреде-

f (t)

ления квантилей, т. е. необходимо так выбрать

Г

И

t

, , чтобы суммарная площадь заштрихован-

2

Б

ных фигур была равна .

/2

/ 2

а

p

к

0

t

е

t /2,

t /2,

имеет

Рис. 9.4

ется так:

9.4. Распределение Фишера (F-распределение)

Случайная

величина

F

распределение Фишера, если она определя-

л

о

F

U1

n1

,

(9.7)

U2

n2

где U и U

– независимые случайные величины, имеющие распределение 2 с

и

1

2

n1

n2 степенями свободы, т. е. F можно записать в следующем виде:

Б

б

1

n1

U12i

F

n

1

i 1

.

(9.8)

1

n2

i 1 U22i

n

2

Безразмерная случайная величина F (9.8) имеет плотность распределения, определяемую следующей формулой:

119

n1

n1

n1 n2

n1

2

2

n1

n2

2

1

f (F)

F 2 .

(9.9)

n n

n1

n2

n n F

1 2

2

2

2

2

1

Распределение случайной

величины

F зависит

от

двух

параметров

1 n1, 2 n2 – степеней свободы. График плотности распределения случайной величины F для разного числа степеней свободы приведен на рис. 9.5.

Р

И

У

Рис. 9.5

Г

а

Квантили распределения Фишера F для заданного уровня вероятности

и числа степеней свободы 1

и 2 определяются изБусловия

к

P(F F )

f (F)dF .

т

F

На рис. 9.6 показано, что надо так выбрать F , чтобы площадь заштрихо-

ванной фигуры была равна заданнойевероятности .

f (F)

о

и

0,5

л

б

и

0

F

Б

1

F

Рис. 9.6

Как правило, квантили F находят по таблицам распределения Фишера и для их определения необходимо задать три параметра: уровень вероятности и число степеней свободы 1 и 2 .

120

ГЛАВА 10. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

10.1. Доверительный интервал, доверительная вероятность

Точечная оценка неизвестного параметра , найденная по выборке объе-

ма n из генеральной совокупности, не позволяет непосредственно узнать ошиб-
		Р
ку, которая получается, когда вместо точного значения неизвестного параметра
	принимается некоторое его приближение (оценка) (x1,...,xn). Поэтому ча-
		И

ще пользуются интервальной оценкой, основанной на определенииУ некоторого интервала, накрывающего неизвестное значение параметра с определенной

вероятностью. На рис. 10.1 изображен интервал длиной 2 , внутри которого в
							Г
любом месте может находиться неизвестное значение параметра .
							Б
						а
					к		X
			е
					Рис. 10.1

обычно задают заранее: 0,9; 0,95; 0,9973. И доверительная вероятность показы-

Чем меньше разн сть | |, тем лучше качество оценки. И если записать
					т
| |< , то ε будет характеризовать точность оценки.
			о					вероятность
Доверите ьной				вероятностью оценки называется
p 1		и						вероятность р
	выпо нения			неравенства			| |< . Доверительную
	л
	б

вает, что с вероятностью р параметр будет накрываться данным интервалом
Б
	и	p(			< )=p=1-
						или
							(10.1)
		p( < < + ) 1 .
	Из (10.1) видно, что неизвестный параметр находится внутри интервала
] ; + [.
	Доверительным интервалом называется интервал ] ; [, накры-

вающий неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью p 1 . Длина его (см. рис. 10.1) 2 . Параметр α –уровень значимости.

121

10.2. Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х при известной дисперсии (или )

Пусть эксперимент Е описывается нормальной случайной величиной Х.

(x m)2

Плотность распределения f (x) 1 e 2 2 . Предположим, что известна

2

дисперсия D X = 2 , а М[X] = m – неизвестна. Тогда точечную оценку матема-

	тического ожидания можно получить из выборки объемом n:x1					,x2,	...,xn – и она
				1	n		Р
	определится так:	x			xi . Рассматривая выборку x1,...,xn как n независимых
				n i 1

случайных величин, имеющих одно и тоже нормальное распределение, определим числовые характеристики x :

1 n

1

n

1

n

1

n

M[

x

] M[

x

]

M[

x

]

M

x

m m,

i

n

i

i

n

И

n i 1

i 1

n i 1

i

1

n

1

n

1

n

2

2

У2

D[x]= D[

xi

]=

D[xi]=

=

x

,

n

2

n

2

откуда получим

n i 1

i 1

i 1

Гn

Б

.

(10.2)

x

n

Для определения доверит льного

интервала

рассмотрим разность между

оценкой и параметром:

x

m. Нормирукм ее (сделаем безразмерной), т. е. раз-

делим на

D

x

и обозначим как случайную величину U:

е

U

x

m

=

x

m

x

m

.

(10.3)

/

n

D[x]

Покажем,

т x

что случайная величина U имеет нормированный нормальный

о

закон распреде ен я. Найдем ее числовые характеристики:

и

x

m

m m

лM[U] M

0,

n

/

n

б

/

x

m 2

1

2

2 /n

и

D[U] M

M

[(x m)

]

1.

2

2

n

/

/n

/n

Таким образом M U

= 0, D U

=1 – это значит, что U имеет нормиро-

Б

ванное нормальное распределение, график которого изображен на рис. 10.2.

122

Рис. 10.2

f (U )

/ 2	/ 2
	U
U p	0
	U p

Зная плотность распределения случайной величины U, легко найти вероятность попадания случайной величины U в интервал [ Up;Up ] (см. рис. 10.2):

Up

Up

У

Р

1

2

P( Up

U Up )

2 Up

e 2 du

2

0

e

2 du Ф(Up ).

(10.4)

И

Левая часть этого уравнения представляет собой доверительную вероятность p:
									Б
		x			m
P( Up							Up		) p 1Г.	(10.5)
		/ n						а
				к
Тогда из (10.4) и (10.5) следует уравнение
	е									(10.6)
т				Ф(Up ) p.

Решая уравнение (10.6), по таблицам функции Лапласа для заданной доверительной вероятности p 1 можно найти границы доверительного ин-

о

Up . Считая, что квантили Up

известны, преобра-

тервала для U, т. е. кван или

и

зуем правую часть уравнения (10.5), подставляя в нее (10.3):

л

P( Up

x

m Up

) 1 ,

б

n

n

P(

x

Up

m

x

Up

) 1 .

(10.7)

n

Б

n

Сч тая, что 2 – известна, из (10.7) следует, что доверительный интер-

вал ]

x

U

;

x+U

[ накрывает неизвестное математическое ожида-

иp

n

p n

ние m c заданной доверительной вероятностью p =1 . Точность оценки ма-

тематического ожидания или длина доверительного интервала

Up . (10.8)

n

Замечания по формуле (10.8):

123

1)при увеличении объема выборки n из (10.8) видим, что е уменьшается, значит, уменьшается длина доверительного интервала, а точность оценки увеличивается;

2)увеличение доверительной вероятности p=1 приводит к увеличе-

нию длины доверительного интервала (см. рис. 10.2, где квантили Up увеличи-

ваются), т. е. е увеличивается, а точность оценки падает;

3) если задать точность е и доверительную вероятность p=1 , то можно найти объем выборки, который обеспечит заданную точность:

	U2 2
n	p	.			(10.9)
	2
					Р
Пример.
Сколько конденсаторов одного номинала надо измерить, чтобы с вероят-
			У
ностью 0,95 можно было утверждать, что мы с точностью 1 % определили их
среднее значение – математическое ожидание.			Г	И
Обозначим = 0,01, р = 0,95;	по таблицам функции Лапласа найдем

квантиль для заданной доверительной вероятности 0,95: Up = 1,96. Для прове-

дения расчетов положим = 0,05. Подставляя эти значения в (10.9), получим
					а
	n		1,962	0,052		96Б.
				к
		0,012
			е
	инт
10.3. Доверительный			рвал для математического ожидания
нормальной случайной величины Х при неизвестной дисперсии или
о
Пусть эксперимент писывае ся случайной величиной Х с нормальным
и

распределением с не звестными параметрами m и . Для определения точечных оценок этих параметров из генеральной совокупности извлечена выборка

борочную дисперсию, несмещенную оценку. Для построения доверительного интервала рассмотрим разность между оценкой и параметром: x m. Нормиру-

x1

,...,xn объемом n. Тогда точечные оценки этих параметров определяются так:

л

1

n

2

(xi x)

.

m x ,

S

б

n 1 i 1

2

Здесь спользовали для оценки дисперсии

S

– модифицированную вы-

и

Б

ем ее, т. е. разделим на D x и обозначим результат как случайную величи-

ну t. Ранее мы показали, что D x 2 /n, но т. к. здесь неизвестна, возьмем ее оценку , и тогда D x 2 /n. Тогда случайная величина t принимает вид

124

t

x

m

.

S/

n

Умножим числитель и знаменатель в (10.10) на :

t

x

m

x

m

1

1

1

n

2

1

n x

x

2

(xi x)

n

i

n

n 1 i 1

n 1 i 1

(10.10)

		X				.	(10.11)
		1		ч2
		n 1
				n 1

Здесь Х – нормированная нормальная случайная величина, знаменатель –

распределение 2	Р
	с n–1 степенями свободы. Поэтому, согласно определению

(см. раздел 9.3, формула (9.5)), можно утверждать, что случайные величины t,

И

определяемые по формулам (10.10) и (10.11), имеют закон распределения

Стьюдента с n–1 степенями свободы.

У

Зная закон распределения случайной величины t

и задавая доверительную

Г

вероятность p 1 , можно найти вероятность попадания ее в интервал ] tp ,

tp [ (рис. 10.3).

Б

f

(t)

а

/2

к

/2

е

p

т

t

0

tp

tp

о

Рис. 10.3

л

P( tp

t tp )

tp

f (t)dt p 1 .

(10.12)

б

tp

Стьюдента по заданной доверительной вероят-

Из та иц распределенийи

и

t /2, n 1 ,

ности p 1 и числу степеней свободы n–1 находим квантили tp

удовлетворяющие условию

Б

P( tp

t tp ) p 1 .

(10.13)

Подставляя в (10.13) вместо t равенство (10.10), получаем

P( tp

x

m

tp ) p 1 .

(10.14)

S /

n

Разрешим неравенство в левой части формулы (10.14) относительно m:

125

P(

x

tp

S

m

x

tp

S

) p 1 .

(10.15)

n

n

Отсюда

непосредственно

следует, что

доверительный

интервал

S

S

x

tp

,

x

tp

накрывает неизвестный параметр m – (математи-

n

n

ческое ожидание) с доверительной вероятностью р.

Интервал (10.15) несколько шире интервала (10.7), определенного для той

Р

же выборки и той же доверительной вероятности. Зато в (10.15) используется

меньшая априорная информация – знать не надо.

Можно обозначить ширину доверительного интервала или точность через

0 , и из (10.15) следует

У

S

И

0 tp

.

Г

(10.16)

n

Б

Все замечания, сделанные по формуле (10.8), справедливы и для форму-

лы (10.16).

Пример.

а

Даны результаты четырех измерений н пряжения сети (значения приве-

дены в [В],

n 4):

x1 220,

x2 226,

x3

224,

x4

222.

е

Считаем, что X – напряжение с ти – является нормальной случайной ве-

т

личиной. Построить доверительный инткрвал с вероятностью 0,95 для истинно-

го напряжения сети – m.

оценку

m:

Найдем точечную

1

и

2

m x

(220 226 224 222) 223

[В].

Из

n

ц

распределения

Стьюдента

для

p 0,95;

1 p 0,05;

n 1 3 –

число

степеней свободы;

находим

квантиль

t

t

= 3,18. Вычислим модифицированную выборочную дисперсию

:

0,025, 3

S

0,95

табл

4

и

2

1

(x

)2

1

(9 9 1 1)

20

[В2].

Б

S

x

б n 1

1

i

3

3

Тогда

S

2 2,6[В].

Полученные значения подставим в формулу (10.16):

2,6

0 tp

S

3,18

4,2 [В].

2

n

Найдем левую и правую границы доверительного интервала для m: x 0 223 4,2 218,8 [В],

x 0 223 4,2 227,2 [В].

126

Таким образом, истинное напряжение сети с вероятностью 0,95 накрывается доверительным интервалом ]218,8, 227,2[ [В].

Найдем минимальное число измерений, чтобы c вероятностью 0,95 точность определения истинного напряжения сети не превышала 0,5 В, т. е.

	0 0,5. Из (10.16) имеем
		tp2		2		2,62 3,182
	n		S				273 измерения.
		2				0,52

Видим, что число измерений n велико. Следует отметить, что значение квантиля t0,95 t0,025, 3 = 3,18 зависит от n и при увеличении n будет убывать. При

больших n (n >100) значение квантиля стремится к постоянной величине и рав-

но tp t0,95 1,96 .

Тогда

после коррекции

значения

И

квантиля

вычисляем по

формуле (10.16) скорректированное значение n :

У

Р

n

tp2S2

2,62 1,962

Г

2

0,5

2

104 измерения.

Б

10.4. Доверительный интервал для дисперсии или нормальной

случайной величины Х

Рассмотрим вероятностный э сперимент

с нормальной моделью, где па-

раметры m и неизвестны. Пр дположима, что по выборке x1,...,xn найдены

точечные оценки этих параметров:

к

т

е

1

n

2

(xi

x)

.

m x ,

S

n 1 i 1

Составим всп м га ельную случайную величину

и

л

оV (n 1)S2 .

(10.17)

б

2

ч2 с = n–1 степенями

Эта с учайная величина имеет распределение

2 :

свободы. Покажем это, подставив в (10.17) выражение для S

Б

иV

n 1 1

n

2

n (x

x

)2

n x

x

2

2

(xi x)

i

i

.

2

2

n 1 i 1

i 1

i 1

Это и есть распределение хи-квадрат с n–1

степенью

свободы. На

рис. 10.4 приведен график этого распределения.

127

f (V)

/2

/2

0

p

V

V1

V2

Рис. 10.4

Зная закон распределения случайной величины

V, определим вероят-

ность того, что случайная величина V попадет в интервал ]V1,V2 [:

Р

V2

И

(10.18)

P(V1 V V2) f (V)dV p = 1 .

V1

У

Здесь f(V) плотность распределения 2 с n–1Гстепенями свободы. Из

рис. 10.4 видно, что кривая для плотности распределения 2

несимметрична

Б

относительно центра распределения, поэтому гр ницы доверительного интер-

вала или квантили V1 и V2

для данной вероятности р не определяются одно-

а

значно. Чтобы избежать неопред л нности будем их находить из условия

1 p

к

1 p

P(V V )

,

P(V V )

.

(10.19)

1

2

2

е

2

2

2

Это означает,

что пл щади заш рихованных фигур равны. Задавая дове-

рительную вероятность p =1–т, по таблицам распределения 2

для числа сте-

пеней свободы n–1,

спользуяусловия (10.19), находим квантили V1 и V2 .

Считая V1, V2

p известными, перепишем (10.18) в следующем виде:

и

P(V1 V V2) p.

(10.20)

л

V , определяемое формулой (10.17):

Подстав м в (10.20) значение

б

(n 1)

s

2

и

P(V

V ) p.

(10.21)

2

1

2

Решаем неравенство в левой части (10.21) относительно 2 :

Б

2

2

P(

(n 1)S

2

(n 1)S

) p.

(10.22)

V2

V1

Из (10.22) записываем доверительный интервал для 2 :

128

2

2

(n 1)S

,

(n 1)S

.

V

V

2

1

Для среднего квадратического отклонения доверительный интервал

имеет следующий вид:

n 1

n 1

S

,

S

.

V

V

2

1

Можно ввести коэффициенты г1иг2 :

.

n 1

n 1

,

n 1

n 1

(10.23)

1

V

2

2

V

2

И

2

/2,n 1

1

1- /2, n 1

У

Тогда доверительный интервал для определится следующимРобра-

зом:

Г

.

S

, S

2

1

Коэффициенты

1 и 2 , соответствующие доверительной вероятности

p =1–α и числу степеней свободы n

а

1, находятся по таблицам распределе-

ния 2 .

е

Б

Пример.

В предыдущем разделе (10.3) прив ден пример для измеренных значений

напряжения сети. Продолжим и найдкм доверительный интервал для среднего

квадратического отклонения .

Найдена точечная оценка для :

2,6. Задавая доверительную ве-

S

роятность p =1 – α = 0,95 , зная число степеней свободы n 1= 4–1= 3, по
			и	2
таблицам распределен я				т, используя (10.23), находим коэффициенты
1 0,566,		л
		2 3,73. о
	б
							S 0,566 2,6 1,47[B].
Тогда нижняя граница для : 1
						3,73 2,6 9,7[B].
Верхняя граница для : 2 S
и
И окончательно: 1,47 9,7.
Б

129

ГЛАВА 11. ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

11.1. Основные понятия

гистограмму, то можно по виду гистограммы сделать предположениеР(выдвинуть гипотезу) о виде закона распределения генеральной случайной величины X.

Пусть имеется выборка x1,x2,...,xn объемом n. Если по выборке построить

Тогда нулевой гипотезой H0 называют основную (проверяемую) гипоте-

зывается гипотеза, которая принимается тогда, когда отвергается нулевая.

зу, которая утверждает, что различие между сравниваемыми величинами от-
сутствует.		И
Альтернативной (конкурирующей, противоположнойУ) гипотезой Н на-
	Г
	Б

Целью статистической проверки гипотез является выбор критерия по выборке x1,...,xn , на основании которого приним ется гипотеза H0 или отклоняет-

ся в пользу альтернативной. При этом возможны ошибки двух видов:

1. Отклонение H0 , когда она на самом деле верна – ошибка первого рода.
								а
							к
Вероятность этой ошибки обознача тся								и называется уровнем значимости.
					т
2. Принятие H0 , когда она на самом деле не верна – ошибка второго рода,
вероятность ошибки – .						е
			о
Чем серьезнее будут п следс вия ошибки первого рода, тем меньше надо
выбирать уровень		значим
				сти . Обычно выбирают 0,01 0,05.
Статистическ й характеристикой Z гипотезы H0 называется неко-
	л
торая случайная ве ч на, определяемая по выборке, для которой известен за-
кон распреде ения.
Областью отк онения (критической областью) G0 называется область,
и
при попадан в которую статистической характеристики Z гипотеза H0
Б
отклоняетсяб.

Дополнен е области отклонения до всех возможных значений статистической характеристики Z называется областью принятия G.

При попадании статистической характеристики Z в область принятия гипотеза H0 принимается. На рис. 11.1 изображены область отклонения G0 и область принятия G. Разделяет их точка на числовой оси z .

130

f (z)

0	Z
	z

G0 – область принятия		G – область
		отклоненияя
Рис. 11.1					И
0
При попадании Z в область принятия гипотеза H0 принимается. По суще-
ству область принятия есть доверительный интервал для статистическойРхарак-
теристики Z с доверительной вероятностью p =1 – .				У
Область отклонения G выбирается таким образом,					чтобы вероятность
попадания в нее статистической характеристики Z при условии, что H0 верна,
0	0	Б
равнялась уровню значимости . То есть область отклонения удовлетворяет ус-
ловию:	а		Г
P(Z G			0		(11.1)
	:H ) .
к

С другой стороны, для того чтобы уменьшить вероятность ошибки второго рода при выбранном , область от лонения G , удовлетворяющую усло-

вию 1, нужно выбрать таким образом, чтобы вероятность попадания в нее ста-

тистической характеристики Z при условии, что верна альтернативная гипотеза

Н, была максимальной,

. е.

е

и

P(Z G0

:H) max.

Вероятность

– называетсят мощностью критерия проверки гипотез.

л

Так как события

Z GоZ

G – противоположны, то можно написать

б

0

0

P(Z G0 :H) P(Z

G0 :H) 1.

и

Таким о разом, имеем

Б

1,

(11.2)

где P(Z

G0 :H)

( – вероятность совершения ошибки второго рода).

Отметим, что ошибка первого рода существенней, поэтому мы выбираем, а – нет (принимаем полученное значение).

Из (11.2) следует, что между и существует простая зависимость и чтобы уменьшить , надо увеличить мощность критерия . Если max, то min.

Между и простой функциональной связи не существует, можно только сказать, что с увеличением одной, другая уменьшается и наоборот.

131

На рис. 11.2 приведены две кривые плотности распределения: одна кри-

вая y = f(Z|H0) – когда верна гипотеза H0 , другая кривая y = f(Z|H) – когда верна

альтернативная гипотеза H.

y f (z H0 )

y f (z H)

Р

z z

z

z z область

отклонения

Рис. 11.2

И

Из рис. 11.2 видно, что при уменьшении z

возрастает, область откло-

У

нения сужается и, следовательно, уменьшается вероятность отклонения гипоте-

Г

зы H0 , если она верна. Вместе с тем при сужении области отклонения G0 рас-

ширяется область принятия G и увеличив ется вероятность принятия гипотезы

Б

H0 , если она на самом деле не верна. Поэтому нельзя брать слишком малой.

Гипотезы бывают двух видов – параметрические и непараметрические.

а

Параметрические гипотезы – это гипотезы о проверке параметров за-

конов распределения.

к

Непараметрические – э

о гипо

езы о виде закона распределения.

е

11.2. Проверка г п

равенства математических ожиданий

при не

тезы

звестной

дисперсии (критерий Стьюдента)

Пусть X

и

и Y – независимые нормальные случайные величины.

Введем о означения:

л

б

M[X] x,

M[Y] y,

и

D[X] 2x.

D[Y] 2y.

Пусть дисперсии этих случайных величин равны и неизвестны:

Б

2x 2y 2 ,

где 2 – не предполагается известным.

Пусть даны выборки

(x1,...,xn1 ) X, (y1,...,yn2 ) Y.

132

По выборкам найдем критерий проверки гипотезы H0 , состоящей в том, что математические ожидания этих случайных величин одинаковы:

H0 : x y .

При альтернативной гипотезе H : x y .

Известно, что случайные величины

2

n S2

2

n S

2

1

1

,

2

2

Р

1

2

2

2

имеют распределение 2

c n 1и n

1 степенями свободы, где

1

2

1

n1

1

n1

S12

i 1 (xi

x

)2,

x

i 1

xi,

n

n

1

1

У

S2

1

n2

(y

)2,

1

n2

y .

И

y

y

2

n

i

n

i

i 1

i 1

2

2

Сумма независимых случайных величин с распределением

2

имеет то

же распределение 2 с суммарным числом степенейГсвободы:

а

2

n S

2

2

2

2

n SБ

W

к

2

2 .

(11.3)

1

2

2

е

Случайная величина W

с n1 n2 –2 степенями

им

т распределение

т

свободы, (этот факт не очевид н, но н сложно показать с помощью характери-

стических функций).

о

Ранее мы показывали, ч о несмещенной оценкой математического ожи-

дания является выб р чн е среднее. Поэтому для проверки гипотезы H0 возь-

и

x

y

мем разность между

ценками математических ожиданий:

. Нормируем

эту разность, т. е. сделаем безразмерной. Для этого разделим ее на D[x y] и обозначим как U:

л

но: D[

x

]

2x

, D[

y

]

2y

,

x y

x y

U

б

n1

n2

D[

x

y

]

D[

x

] D[

y

]

учтем, что 2x

2y

2

и

Б

x

y

.

(11.4)

1

1

n1

n2

133

Очевидно, что случайная величина U имеет нормальное распределение, т. к. X и Y нормально распределены. Если проверяемая гипотеза Н0 о равенстве математических ожиданий выполняется ( x y ), то имеем:

M[U] M[

x

y

]

M[

x

] M[

y

]

x

y

0.

1

1

1

1

1

1

n2

n2

n1

n1

n1

n2

D[U] D[

x

y

]

1

D[

x

] D[

y

]

1

2 1

1

2 1

1

1

1

n1

n2

n1

n2

n1

n2 Р

D[

1

n1

x ] D[

1

n2

y

]

1

1

D[

n1

x ]

1

D[ n2

y ]

2

2

i

n2

i

2 1

1

i

Иi

n1 i 1

i 1

n1

i 1

n2

i 1

У

n

n

1

2

Г

1

2

2

2

2

2

y

верна

x

т.к. x

1.

y

2

1

1

n1

n2

Б

к

n1

n2

е

, то случайная величина U имеет

Таким образом, если гипотеза

Н0

нормированный нормальный закон распр деления.

Рассмотрим случайную величину t:

о

x y

t

,

(11.5)

S

0

1

1

тn1 n2

где S

2

n S2

n S2

1

б

– объединенная выборочная дисперсия.

1

2

2

0

n n

2

и

1

2

Случайнуюлвеличину t можно представить в следующем виде через ранее

введенные U

W:

и

t U

n1 n2 2

.

(11.6)

БДействительно:

W

n n 2 2

n n 2

x

y

x

y

t U

1

2

1

2

,

(11.7)

W

n1S12 n2S22

1

1

S

0

1

1

n

n

n

n

1

2

1

2

т. е. правые части (11.5) и (11.6 или 11.7) совпадают.

134