g

(0) i,

2

i

2

i

2

.

g (0)

Определяем 1-й и 2-й начальные моменты:

i

i2

( 2 )

2

;

.

i2

1

i

2

Теперь найдем числовые характеристики:

M[X] ;

D[X] 2 2 .

Видим, что для Пуассоновского закона M[X]

и D[X] совпадают. Это по-

зволяет сделать замечание: если для некоторой случайной величины M[X] и

D[X] совпадают, то такая случайная величина имеет,

скорее всего,

закон рас-

пределения Пуассона.

Р

Закон распределения Пуассона служит приближением для биномиального

закона, если n 100; 0 np 10.

И

У

Г

6.3. Равномерный закон распределения

Б

распреде-

Непрерывная случайная величина Х имеет р вномерный закон

ления на отрезке [a, b], если на этом

е плотность распределения вероят-

а

ностей f(x) сохраняет постоянное знач ние:

к

c,

x [a,b],

отрез

f(x)

f (x)

x [a,b].

0.

На рис. 6.5 пр ведентграфик

c

плотности распределенодля равно-

мерного закона.

и

mx

a

b

X

с из условия нормировки:

Рис. 6.5

л

b

б

1

f (x)dx f (x)dx c dx c(b a) 1 = > c

.

a

b a

Определим

Найдем функцию распределения:

Б

x

b

dx

x

x

x a

F(x) f (x)dx

.

a

b a

b a

a

b a

86

0,

x a,

F(x)

x a

F(x)

,

x [a,b],

b a

x b.

1

1,

a

b

На рис. 6.6 приведен график F(x).

X

Рис. 6.6

Р

Определим числовые характеристики:

b

dx

1

x

2

b

1

b

2

a

2

a b

M[x] xf (x)dx x

,

b a 2

2 b a

a

b a

a

2

b

x3

b

1 b3 a3

a2

ab b2

2

2

2 dx

1

M[x

] x

f (x)dx x

И3

,

b a

b a

3

3

b a

a

a

Г

Б

2

D[x] M[x

2

] (M

[x])

2

a2

ab

b2

a b

У(b a)2

3

2

12

.

6.4. Показательный (экспоненци льный) закон распределения

е

распределение имеет важное

Показательный (экспоненциальныйзакон)

значение и широко используется в ткории надежности.

Случайная

т

(экспоненциальный)

закон

величина им

показательный

распределения, если пло

ь распределения определяется так:

нос

0

x 0,

ения

f (x)

e x

x 0.

л

на рис. 6.8 приведен

график

На рис. 6.7 пр веден график функции f(x),

б

.

функции распреде

1

и

f

(x)

Б

F(x)

x

x

Рис. 6.7

Рис. 6.8

Определим числовые характеристики, используя характеристические функции. Найдем характеристическую функцию:

87

e x( it )

e x( it)

g(t) e xeit xdx e x( it )dx

( it) 1.

it

it

0

0

it

0

0

Вычислим производные g

и

g

(t)

(t):

i

i2

,

g (t) ( it)2

g

(t) 2( it)3 .

Найдем значения производных при t = 0:

2i2

(0)

i

,

2 .

g

g

(0)

Р

Вычислим 1-й и 2-й начальные моменты:

1

,

2

.

Определим M[X] и D[X]:

1

2

2

У

2

Г

И

M[X] 1

1

, D[x]

2

1

1

1

,

x

.

2

2

Отметим, что M[X] и x

Б

совпадают; это позволяет сделать замечание: ес-

ли для случайной величины M[X] и x

совпадают, то такая случайная величина

а

имеет скорее всего экспоненциальный закон р спределения.

6.5. Нормальный (гауссовс ий) з кон распределения

Случайная величина имеет нормальныйк

закон распределения, если плот-

т

т следующий вид:

ность распределения вероятност й им

е

(x m)2

о

1

2

f (x)

e

2

.

(6.2)

приведен

2

Здесь x

,

л

и m

– параметры.

б

график нормального закона.

На рис. 6.9

и

f(x)

Б

X

mx

Рис. 6.9

Проверим характеристические свойства f (x):

88

1.f (x) 0.

2.Проверим условие нормировки.

При вычислениях по нормальному закону широко применяется интеграл Пуассона:

x2

e 2

dx

2 .

Вычислим интеграл:

1

(x m)2

x m

f (x)dx

e

2 2

используем подстановку:

u

=

2

Р

1

u2

e

du 1.

2

У

2

И

Видим, что условие нормировки выполняется.

Пространство элементарных событий является непрерывным и представ-

ляет собой всю числовую ось ( ; ).

Функция распределения для нормального законаГзаписывается так:

x

а

x

(x m)2

1

Б

2

к

F(x)

f (x)dx

e

2 dx.

2

Уточним вероятностный смысл параметров и m. Найдем характеристи-

т

ческую функцию для нормального распр деления:

о

е

x m

z

(x m)

2

2

1

1

it(z )

z

g(t)

eit x f (x)dx

eitxe

dx

dz dx

e

2 2

2 dz

и

л

2

x z

2

и

z2

z2

it(z m)

2

itz itm

2

2

2

2

2

Б

2

2

1

2

2

(it )

2

1

itm

t

1

(z it )2

itm

t

2

2

2

б

e

itm

(z

2itz (it )

)

2

e

dz

e

.

2

2

itm

(it )2

1

(z it )

2

Продифференцируем характеристическую функцию 2 раза:

itm

t2 2

2

(im t

),

2

g

(t) e

g

2

e

itm

t2 2

2

)

2

itm

t2 2

.

2

2

(t)

(im t

e

89

Определим 1-й, 2-й начальные моменты:

1

g (0) m,

i

2

2

2

m

2

g (0)

i

i2 2 m2 .

Тогда

i2

i2

M[x] m,

D[x]

2

2

2 m2 m2 2 .

1

1

Таким образом, мы установили вероятностный смысл параметров m и .

Построим график плотности нормального распределения (кривой Гаусса).

Найдем моду случайной величины с нормальным законом, для чего решим

уравнение

Р

f

1

x m

(x m)2

2 2

0.

(x)

2 2

e

И

При x m

f (x)

достигает максимума,

m

является модой. Для определе-

ния точек перегиба функции необходимо решить уравнениеУ

(x m)

2

Г

f

3

1

2 2

(x

m)2

0.

(x)

e

1

2

2

Б

(x m)2

2

2

.

1

2

0,

(x аm)

Видим, что функция име

точки перегиба: x m . На рис.

6.10

приведены кривые Гаусса для разных знач ний . На рис. 6.11 приведены кри-

вые Гаусса для разных значений параметрадве

m.

f(x)

т

f(x)

о0,5

1

и

1

2

л

2

б

x

mx

x

X

m

2

m3

X

и

m1

Б

Рис. 6.10

Рис. 6.11

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой Гаусса и прямыми x m , приблизительно равна (S 0,68); если прямые раздвинуть на 2 – x m 2 , то S 0,95; при x m 3 , S 0,997. Эти соотношения позволяют сформулировать правило трех сигм (3 ):

90