применимости которого указаны в [26]. Это уравнение будет использовано в следующей части Пособия.

2.3. Матрица плотности

2.3.1.Уравнение Неймана

Как правило, взаимодействующая с оптическим излучением система

является открытой (незамкнутой), что ограничивает ее рассмотрение с помощью уравнения Шредингера. В действительности она является подсистемой, взаимодействующей с резервуаром (термостатом). Поэтому подсистема не обладает определенной волновой функций, то есть она не находится в «чистом состоянии». К характеристикам собственно подсистемы необходимо добавить статистически усредненные характеристики термостата. Эффективно «смешанные состояния» подсистемы описываются с помощью матрицы плотности, заменяющей волновую функцию.

Матрица плотности имеет смысл и для чистых состояний (замкнутая система), обладающих волновой функцией ψ. Введем матрицу плотности сначала именно в этом случае, исходя из уравнения Шредингера (2.2.1) и аналогичного (2.2.6) разложения волновой функции по произвольному полному набору ортонормированных функций ϕn (r) :

ψ(r,t) = ∑an (t)ϕn (r) ,	(2.3.1)
n
∫ϕm*ϕn dr =δnm .	(2.3.2)

Динамика коэффициентов an определяется аналогичной (2.2.9) системой уравнений

dan =	1	∑Hnja j ,							(2.3.3)
	i
dt		j
где (ср. с (2.2.10))						ˆ (0)
		(0)	ˆ	(0)	(0)*		dr,	*	(2.3.4)
Hnj = ψn			| H |ψ j		= ∫ψn	Hψ j		H jn = Hnj .

Матрица плотности ρˆ определяется как оператор с матричными элементами

ρmn = anam* ,	ρnm = ρmn* ,	(2.3.5)
то есть
∫drψm(0)*ρψˆ	n(0) = anam* .	(2.3.6)

Определение среднего значения физических величин (2.2.3) записывается с помощью матрицы плотности в виде

< f >= ∑ρmn fnm =Sp(ρˆ fˆ),

(2.3.7)

mn

где введено обозначение для суммы диагональных элементов оператораматрицы

50

ˆ	(2.3.8)
Sp L = ∑Lnn ,

n

называемое следом, или шпуром матрицы (немецкий вариант; в английской литературе используется символ Tr от “trace”). Для дискретного спектра (волновая функция ψ нормирована)

Sp ρˆ =1, 0 ≤ ρnn ≤1.	(2.3.9)
Для рассматриваемых чистых состояний
ρˆ ρˆ = ρˆ .	(2.3.10)

Это соотношение можно проверить, вычислив матричные элементы его правой и левой части и воспользовавшись определением (5) и условием нормировки волновой функции:

(ρˆ ρˆ)mn = ∑ρmk ρkm =∑amak*ak an* =aman* ∑ak*ak =ρmn ∑| ak |2 =ρmn . (2.3.11)

k

k

k

k

Уравнение эволюции матрицы плотности в данном случае находится непосредственно из определения (5) и уравнений (3) с учетом (4):

					*	1
∂ρnm = am* dan + an					dam =		am*	∑Hnja j −an ∑Hnj* a*j		=
∂t				dt	dt	i		j	j		(2.3.12)
			1	∑(Hnj ρjm − ρnj H jn ).
=
			i
				j
В матричной форме это уравнение Неймана имеет вид
	∂			ˆ
i	∂t	ρˆ =[H, ρˆ],									(2.3.13)
где введено обозначение коммутатора двух операторов
ˆ			ˆ	ˆ							(2.3.14)
[H, ρˆ] = H ρˆ − ρˆH .

Уравнение (13) эквивалентно уравнению Шредингера (2.2.1).

Далее кратко рассмотрим значительно более сложный случай открытой подсистемы, находящейся в смешанном состоянии [1, 28, 29]. Полная система с гамильтонианом

ˆ ˆ	ˆ	ˆ	(2.3.15)
H = H0	+V0 f +V0r

состоит из интересующей нас подсистемы (атома, молекулы, их ансамбля или кристалла и даже поля внутри резонатора) с гамильтонианом Hˆ 0 , которая может воздействовать с внешними полями (потенциал взаимодействия Vˆ0 f ), и ее окружения – резервуара, описывающего в том

числе термодинамические и квантовые флуктуации. Заметим, что для учета последних недостаточно использования полуклассического приближения и электромагнитное поле также должно трактоваться квантовым образом. Предполагается, что резервуар обладает практически сплошным спектром и, соответственно, весьма малым временем корреляции τc (определяемым, например, временем столкновения атомов

51

в резервуаре), а также существенно превосходит по размерам подсистему, ввиду чего воздействие подсистемы на резервуар пренебрежимо слабое. Теперь волновая функция зависит от переменных не только подсистемы, но и резервуара. Взаимодействие подсистемы с резервуаром (потенциал

взаимодействия Vˆ0r ) также считается слабым и трактуется в рамках теории

возмущений. Ввиду этого взаимодействия подсистема находится в смешанном состоянии и не может характеризоваться определенной волновой функцией вида (1) (в том числе когерентной смесью волновых функций различных энергетических состояний подсистемы). Вместо этого имеется лишь распределение вероятностей ее нахождения в том или ином энергетическом состоянии. Тогда применение теории возмущений по

взаимодействию подсистемы с резервуаром с потенциалом Vˆ0r приводит

при определенных предположениях к замкнутому уравнению Неймана, описывающему эволюцию матрицы плотности подсистемы. Среди этих предположений укажем огрубление временного масштаба (рассмотрение временных деталей с масштабом, превышающим время корреляции в резервуаре τc , которое совпадает с периодом оптических колебаний

τc ~ ω0−1 , если основным механизмом релаксации в резервуаре служит

взаимодействие с вакуумом и спонтанное излучение), но заметно меньшим времени релаксации рассматриваемой подсистемы. Используется также предположение об отсутствии вырождения энергетических уровней подсистемы (нет переходов между уровнями

m ≠ n с разностями частот |ωmn | τc−1 ). При рассмотрении релаксации

недиагональных элементов матрицы плотности отдельно следует анализировать случаи отсутствия близких частот переходов между различными парами уровней и противоположный случай эквидистантных энергетических уровней подсистемы.

Далее мы используем энергетическое представление, в котором диагональные элементы матрицы плотности имеют смысл населенностей соответствующих уровней. Будем считать сначала внешнее электромагнитное поле классическим. Тогда взаимодействие подсистемы с резервуаром приводит к следующим важным эффектам. Первый эффект

– релаксация и переходы между различными состояниями подсистемы, включая вызванные спонтанным излучением. Этот эффект описывается заменой (13) на следующее эволюционное уравнение:

∂ρmn

+iω′

i

ˆ

, ρˆ]

∑k

(wkm ρkk − wmk ρmm )

при

m = n,

ρ

+

=

(2.3.16)

mn

[V

∂t

mn

mn

при

m ≠ n.

−γmn ρmn

Здесь

γmn =γnm = 1 ∑(wmk + wnk ) −2Γmmnn ,

2 k

52

	′	1	(Γmm − Γnn ), wkm = 2Γmkkm ,		(2.3.17)
	ωmn =ωmn +			ˆ
	а матричные элементы релаксационного оператора				выражаются через
				Γ

квадратичные формы от матричных элементов оператора взаимодействия подсистемы с резервуаром [28]. Параметры γmn описывают скорость

релаксации недиагональных элементов матрицы плотности, через которые выражается дипольный момент и поляризуемость атомов и молекул. Величины wmn являются вероятностями переходов из состояния m в

состояние n за единицу времени вследствие взаимодействия подсистемы с резервуаром; они определяют времена жизни соответствующих уровней и скорости заселения уровня с других уровней. Релаксационные процессы не меняют суммарной заселенности уровней: из (16) также следует соотношение d (Spρˆ) / dt = 0 . В разреженных газах скорость релаксации

диагональных элементов (обратное время жизни уровней) для

разрешенных электродипольных оптических переходов ~ 109 c-1 . В газах с не слишком малой плотностью, сложных молекулах и конденсированных средах скорость релаксации недиагональных элементов матрицы плотности может значительно превосходить обратные времена жизни. Поэтому для данного перехода часто вводятся две феноменологические постоянные релаксации – продольная (для диагональных элементов) и поперечная (для недиагональных элементов).

В отсутствие внешних полей подсистема, взаимодействующая с резервуаром, должна приходить к равновесному состоянию, зависящему от температуры резервуара T. Для идеального газа можно принять статистику Больцмана и считать

eq

eq

1

ωn

,

(2.3.18)

ρmn = ρnn

δmn =

δmn exp

−

Z

kBT

где

kB

–

постоянная

Больцмана и Z –

статистическая сумма

(нормировочный множитель):

ωn

Z = ∑exp

−

.

(2.3.19)

kBT

n

Тогда из (16), в соответствии с принципом детального равновесия, следует

w	ρeq = w		ρeq , так что
mn	nn	nm		mm
w	= w	exp			ωnm	.	(2.3.20)
mn	nm				kBT

Так, если m > n , то при достаточно низких температурах вероятность перехода под действием резервуара с нижнего уровня на верхний много меньше, чем для перехода с верхнего уровня на нижний (wmn wnm ).

53

Другое следствие влияния резервуара на подсистему, отраженное в (16) и (1 7), заключается в сдвиге энергетических уровней подсистемы (замена ωmn →ωmn′ ). Такой сдвиг, характерный для второго порядка теории

возмущений, в случае резервуара, отвечающего вакууму или спонтанному излучению, называют сдвигом Лэмба; численно он весьма мал. Поэтому далее мы не будем различать величин ωmn и ωmn′ .

Наконец, принципиальное следствие взаимодействия рассматриваемой подсистемы с резервуаром (термостатом) – это возникновение шума из-за возвращения некоторой доли энергии от резервуара к подсистеме. Шум определяется двумя факторами: 1) температурными флуктуациями, зависящими от температуры термостата Т, и 2) чисто квантовыми флуктуациями, сохраняющимися и при нулевой температуре Т = 0. Последние наиболее ярко проявляются в задачах следующего типа. Рассмотрим квантовое электромагнитное поле в одномодовом резонаторе, заполненном нелинейной средой (результаты применимы и к задаче о квантовомеханическом гармоническом осцилляторе, взаимодействующем с резервуаром). Теперь в (15)

гамильтониан Hˆ 0 будет описывать именно квантовое поле, Vˆ0 f – потенциал его взаимодействия с внешним классическим полем (например, внешней накачкой) и Vˆ0r – потенциал взаимодействия квантового поля с

резервуаром. С учетом этого обстоятельства можно получить уравнение Неймана для матрицы плотности ρˆ подсистемы, взаимодействующей с

резервуаром – системой большого числа гармонических осцилляторов

[29]:

∂ρˆ

i

ˆ

γ

†

†

†

∂t

= −

[H, ρˆ]

+ 2 (1

+ N )(2CρˆC

−C

Cρˆ −

ρˆC

C) +

γ N

(2.3.21)

+

(2C†ρˆC

−CC†ρˆ − ρˆCC† ).

Здесь

ˆ

2

†

1/ 2) – гамильтониан

изолированного одномодового

H

= ω(C C +

поля с частотой ω (в отсутствие взаимодействия с резервуаром), C† и С – операторы рождения и уничтожения фотонов, подчиняющиеся

коммутационному соотношению [C,C† ] =1 , постоянная γ определяет интенсивность взаимодействия поля с резервуаром и, тем самым, скорость

релаксации, N – средняя населенность осцилляторов в резервуаре (N → 0 при T → 0 ). Уравнение (21) записано в операторной форме. Для матричных элементов в энергетическом представлении из него следует аналог (16). Отметим, что учет шумов в уравнении для матрицы плотности нужен для решения ряда принципиальных вопросов, например, о соотношении между гистерезисом в классическом нелинейном осцилляторе и в квантовомеханическом ангармоническом осцилляторе,

54