магнитной ( H(r,t) ) напряженностей поля (r – трехмерный вектор

координат, t – время). Уравнения Максвелла или их приближенный вариант для огибающих (амплитуд напряженностей) запишем в форме

ˆ			,				(1.1.1)
A1{F,G} = 0
	ˆ
где A1		– дифференциальный оператор, G – вектор характеристик среды,
							– электрическая и
например G(r,t) ={D(r,t),B(r,t)} ,					а D(r,t)	и B(r,t)

магнитная индукция среды. Последние описываются материальным уравнением вида

ˆ			0.	(1.1.2)
A2{G,F} =
В ряде случаев уравнение (2) удается разрешить относительно G :
	ˆ			(1.1.3)
G = B2{F}.

Оператор Bˆ 2 содержит временные и пространственные производные, то

есть отклик среды нелокален (пространственная дисперсия) и не мгновенен (частотная дисперсия). Тогда первое уравнение превращается в замкнутое уравнение относительно только полевых характеристик

ˆ		(1.1.4)
A2	{F} = 0

(в развернутом виде Aˆ 1{F,Bˆ 2{F}} = 0 ). Для слабой нелинейности (3)

можно разложить в ряд по степеням поля. Ограничение линейными членами отвечает линейной оптике, членами 2-ой степени – квадратичной нелинейности, 3-ей степени – кубичной нелинейности и т.д. В резонансных условиях – при близости некоторых из частот излучения к собственным частотам переходов или колебаний среды – существенно, что среда обладает собственными степенями свободы, и выразить ее характеристики через характеристики электромагнитного поля не удается. Тогда требуется совместное решение (1) и (2). Укажем также, что в ряде случаев принципиальное значение имеет наличие флуктуаций. Тогда в управляющие уравнения следует вводить случайные источники полей.

1.2. Уравнения Максвелла для сплошных сред

Согласно Лоренцу [2], макроскопические уравнения Максвелла для сплошной среды выводятся из микроскопических уравнений Максвелла в вакууме с зарядами. В связи с большим разнообразием сред, в том числе стремительно развивающейся технологии метаматериалов, целесообразно привести здесь этот вывод.

Микровеличины – напряженности поля E и H, плотность заряда ρ и тока j – в вакууме помечаются индексом µ . Уравнения Максвелла в

вакууме имеют вид (гауссова система единиц)

	rot Eµ = −	1	∂Hµ	,	(1.2.1)
		c	∂t

7

rot H

=

1

∂Eµ

+

4π

j

.

(1.2.2)

µ

c

∂t

c

µ

divHµ = 0 ,

(1.2.3)

divEµ = 4πρµ .

(1.2.4)

При этом уравнение непрерывности электрического заряда

∂ρµ

+ div j

=

0.

(1.2.5)

µ

∂t

Усреднение проводится по физически бесконечно малым объемам V и временным интервалам 2τ (размер объема много больше межатомного расстояния, но много меньше характерного размера изменения поля, в том числе длины волны, или размера тела). Аналогично, временной интервал усреднения много больше характерного времени изменения микрополей, но много меньше времени изменения поля, в том числе оптического периода, и свойств среды. Среднее значение величины f определяется соотношением:

< f (r,t) >=	f (r	,t ) =	1	t0		+τ	dτ	1		dV f (r,t) .	(1.2.6)
	0	0	2τ t		∫−τ		V		V∫
					0

Конкретная форма объема V не существенна, можно считать, что это куб, включающий точку r0 .

Введя средние значения напряженностей полей

E =< Eµ >, B =< Hµ >

и усреднив (1) и (3), сразу получаем rot E = −1c ∂∂Bt ,

divB = 0 .

Усреднение двух оставшихся уравнений Максвелла дает rot B = 1c ∂∂Et + 4cπ < jµ >,

divE = 4π < ρµ >,

а из уравнения непрерывности (5) следует

∂ < ρµ >	+ div <j >= 0 .
∂t	µ

(1.2.7)

(1.2.8)

(1.2.9)

(1.2.10)

(1.2.11)

(1.2.12)

Преобразование этих уравнений, в которые входят плотности заряда и тока, требует задания некоторых свойств среды. Будем разделять заряды на связанные (индекс b) и свободные (индекс f), в зависимости от того, локализовано ли их движение под действием полей пределами атома или молекулы, или же значительно превышает эти размеры.

ρµ = ρb + ρf , jµ = jb + jf .

(1.2.13)

8

Будем считать, что заряды не переходят из одной группы в другую (тем самым мы исключаем из рассмотрения такие процессы как, например, ионизацию). Тогда уравнение непрерывности можно записать для каждой из двух групп

∂ < ρb > + div <j >= 0,		∂ < ρf >	+ div <j	f	>= 0 .	(1.2.14)
∂t	b	∂t
Введем вектор поляризованности (поляризации среды) P (его смысл
поясняется ниже) соотношением
< ρb >= −div P .						(1.2.15)

Поскольку поляризованность Р пропорциональна плотности связанных зарядов, дополнительно считаем, что вне тела, где ρb = 0 , будет и Р = 0.

Связь Р с ρb выражается оператором div по следующим причинам. Проинтегрируем (15) по объему, охватывающему тело:

∫	< ρb > dV = −	∫	div P dV = −	∫	P dS = 0.	(1.2.16)

S

Здесь S – поверхность объема интегрирования. Это следствие (15) означает, что полный заряд в объеме поляризованной среды равен нескомпенсированному заряду на поверхности этого объема.

Теперь

			∂P	(1.2.17)
div < jb > −			= 0 .
			∂t
Так как div rot V = 0 для любого вектора V, то
< j		> −∂P = c rot M ,		(1.2.18)
b		∂t
			вектор намагниченности среды M,
где		введен		смысл которого также

следует выяснить отдельно. Теперь традиционно вводятся вектор электрической индукции D и вектор магнитной напряженности H

D = E + 4πP,	H = B − 4πM .	(1.2.19)
Положим также
ρ =< ρf >,	j =< jf >.	(1.2.20)
Тогда оставшиеся два уравнения Максвелла примут вид
rot H = 1 ∂D	+ 4π j,	(1.2.21)
c ∂t	c
divD = 4πρ .		(1.2.22)

По смыслу введенной поляризованности и намагниченности вне вещества (в вакууме), где связанных зарядов нет, P = 0, M = 0 . Рассматривая

диэлектрик (без свободных зарядов), можно преобразовать выражение для дипольного момента d = ∫V dV < ρb > r к виду d = ∫V dV P [2, 11]. Отсюда

следует, что P имеет смысл плотности электрического дипольного

9

момента связанных зарядов среды. Аналогично, M имеет смысл плотности магнитного дипольного момента, так что магнитный момент объема V среды:

	∫		2c ∫
m =		MdV =	1		[r × j	]dV ,	(1.2.23)
					M

где jM = c rot M – ток намагничения (связанных зарядов).

Фигурирующие в уравнениях Максвелла напряженности и индукции осциллируют с высокой (оптической) частотой. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство и отличить эти величины от вводимых далее огибающих снабдим такие быстро осциллирующие величины знаком ~:

1

∂B

,

(1.2.24)

rot E = −c

∂t

0 ,

(1.2.25)

divB =

4π

1 ∂D

(1.2.26)

rot H = c

∂t

+

c

j,

4πρ .

(1.2.27)

div D =

Соотношения (19) запишутся в виде

(1.2.28)

D = E + 4πP,

H

= B − 4πM .

В

отсутствие

свободных зарядов и токов ( ρ = 0 ,

j = 0 ) уравнения

Максвелла принимают вид

1

∂B

,

(1.2.29)

rot E = −c

∂t

0 ,

(1.2.30)

divB =

1 ∂D

,

(1.2.31)

rot H = c

∂t

0.

(1.2.32)

divD =

Из фигурирующих в (24)-(32) величин плотность заряда ρ является скаляром, а E, D, P, j и H, B, M – трехмерными векторами, компоненты

которых линейно преобразуются при поворотах системы координат (мы не рассматриваем здесь более общие преобразования Лоренца между различными движущимися – инерциальными – системами отсчета). Между двумя последними группами векторов имеется существенное различие. Напомним, что различают полярные и аксиальные векторы. При зеркальном отражении направление полярных векторов не меняется, а для аксиальных векторов сменяется противоположным. Если V – полярный вектор, то rot V – аксиальный вектор; аксиальным вектором является и векторное произведение двух полярных векторов. Физический смысл имеет равенство векторов одного и того же типа. Поэтому уравнения Максвелла не допускают того, чтобы обе указанные группы были

10