N

Rk = −iδωRk +i∑(∆lk −iΓlk )Rl Zk −iΩZk ,

l=1

l≠k

(2.3.55)

Zk = i ∑∆lk (Rk Rl* − Rk*Rl ) − 1 ∑Γlk (Rk Rl*

+ Rk*Rl ) + i Ω(Rk* − Rk ),

N

N

2 l=1

2

l=1

2

l≠k

l≠k

где δω =ω21 −ω0

– частотная расстройка, Ω = dE(ext) / – частота Раби для

внешнего

поля,

Zk = ρ22(k ) − ρ11(k )

–

разность

населенностей

для k-ой

молекулы,

а

матрица

∆lk

−iΓlk

представляет внутримолекулярное

взаимодействие через излучение:

d 2

cos(k0a | l −k |)

+ k0a

sin(k0a | l

−k |)

∆lk =

3

2

×

a

3

| l

| l −k

−k |

|

×(1−3cos2 θ) −(k0a)2

cos(k

a

| l −k |)

sin2

,

0

θ

| l −k |

d 2

cos(k0a | l −k |)

sin(k0a | l −k |)

(2.3.56)

Γlk =

k0a

2

−

3

×

a

3

| l −k

| l −k |

|

×(1−3cos2 θ) +(k0a)2

sin(k

a

| l −k |)

0

sin2 θ .

| l −k |

Для цепочки молекул малой длины по сравнению с длиной волны

излучения (Na λ0 = 2π / k0 ) матрица ∆lk

описывает стандартное парное

диполь-дипольное взаимодействие молекул

∆

lk

=

d 2

(1−3cos2 θ) ,

(2.3.57)

rlk3

а Γlk

сводится к половине скорости естественного распада изолированной

молекулы:

Γ

=

2d

2k3

=

1

γ

.

(2.3.58)

lk

0

2

0

3

Отметим, что из (55) следует

d

(| R |2

+Z 2 ) = 0, k =1,2,..., N .

(2.3.59)

dt

k

k

Смысл сохранения соответствующих N величин будет обсужден позже.

2.3.4. Теория возмущения для матрицы плотности

Получить точные решения уравнения Неймана, как в п. 2.3.2, удается только в исключительных случаях. Чаще всего уравнения Неймана решается методом теории возмущений, где малым параметром

служит потенциал взаимодействия системы с излучением	ˆ	, который
	V

62

должен быть мал по сравнению с атомной напряженностью (напряженностью кулоновского поля ядра на расстоянии первой боровской орбиты). В действительности вопрос о сходимости ряда теории возмущений не столь прост, и ранее мы встречались с примерами гораздо меньших радиусов сходимости (см., например, п. 2.3.2). Далее, в современных лазерных установках уже достигаются и бóльшие значения напряженности поля. Но еще важней, что при практической реализации такого разложения обычно игнорируются динамические степени свободы среды, то есть считается, что она следит за полем (времена релаксации среды много меньше характерных времен изменения огибающей поля). Поэтому возможность разложения по степеням поля следует проверять в каждой конкретной задаче. Тем не менее, в этом разделе мы применим теорию возмущений для решения уравнения (16), которое перепишем в виде

dρmn		i		M	при	m = n,
			∑(wlm ρll − wml ρmm )
	+iωmn ρmn +		[Vˆ, ρˆ]mn = l=1				(2.3.60)
dt
				−γmn ρmn	при	m ≠ n.

Здесь M – номер уровня с наивысшей энергией среди учитываемых. Соответствующий ряд теории возмущений

ρnm = ρnm(0) +ξρnm(1) +ξ2ρnm(2) +....

(2.3.61)

После подстановки (61) в (60) и разделения членов разного порядка малости получим уравнения для составляющих матрицы плотности различных порядков. Для недиагональных элементов матрицы плотности ( n ≠ m ) они имеют вид

dρnm(0)

+iωnm ρnm(0)

+γnm ρnm(0)

= 0,

dt

dρnm(1)

(1)

(1)

i

ˆ

ρˆ

(0)

dt

+iωnm ρnm

+γnm ρnm

= −

[V ,

]nm ,

dρnm(2)

(2)

(2)

i

ˆ

, ρˆ

(1)

]nm ,

(2.3.62)

dt

+iωnm ρnm

+γnm ρnm

= −

[V

...

dρnm(k )

(k )

(k )

i

ˆ

, ρˆ

(k−1)

dt

+iωnm ρnm

+γnm ρnm

= −

[V

]nm ,

...

Для диагональных элементов матрицы плотности

63

(0)	M
dρmm − ∑
dt	l=1
(1)	M
dρmm − ∑
dt	l=1

...

dρmm(k ) − ∑M

dt l=1

...

(w

ρ(0)

− w

ρ(0) ) = 0,

lm

ll

ml

mm

(1)

(1)

i

ˆ

(0)

(wlm ρll

− wml ρmm ) = −

[V , ρˆ

]mm ,

(2.3.63)

(k )

(k )

i

ˆ

, ρˆ

(k−1)

(wlm ρll

− wml ρmm ) = −

[V

]mm ,

Эти системы линейных дифференциальных уравнений следует решать, последовательно увеличивая порядок теории возмущений, начиная с нулевого. Тогда правые части (62) и (63) будут известными (вычисленными на предыдущем этапе) функциями, а соответствующие однородные системы уравнений (системы (62) и (63) с нулевыми правыми частями) оказываются с постоянными коэффициентами.

В нулевом порядке теории возмущений общее решение первого уравнения (62) для недиагональных элементов матрицы плотности достаточно очевидно

ρ(0)	= c(0)	exp[−(γ	nm	+iω	)t].	(2.3.64)
nm	nm			nm

Естественно, что в отсутствие возбуждения излучением недиагональные элементы матрицы плотности со временем убывают экспоненциально со скоростью, определяемой постоянными релаксации γnm , причем имеются

также осцилляции с частотой перехода ωnm . Если отвлечься от чисто

релаксационных переходных процессов, то в качестве начального момента времени можно взять t0 = −∞. Тогда в соответствии с (1 8) для конечных

времен ρnm(0) = 0 ( n ≠ m ). Установившиеся значения диагональных

элементов матрицы плотности (населенности уровней) для ид еального газа даются соотношением (18). Описание процесса установления требует определения характеристических чисел однородной системы уравнений

(0)	M
dρmm +γ m ρmm(0)	− ∑' wlm ρll(0) = 0	,	(2.3.65)
dt	l=1

M

где γ m = ∑' wml и штрих у суммы означает, что в ней отсутствуют члены с

l=1

l = m . Полагая ρmm(0) ~ exp( pt) , получим из требования равенства нулю

отвечающего (65) определителя алгебраическое уравнение M-го порядка для характеристических чисел p:

64

...

−w2M

γ 1 + p

Det −w12

...

−w1M

−w21 ...

γ 2 + p ...

...

...

−w
−wM 1		= 0 .	(2.3.66)
M 2
...
γ M + p

Соответственно, M решений (66) определяют M ветвей скоростей релаксации к равновесному распределению населенностей, причем каждая из скоростей, вообще говоря, зависит от релаксационных постоянных всех уровней и переходов. Однако, из сохранения суммарной заселенности уровней при изменении времени следует, что один из характеристических

показателей		тождественно						обращается в нуль		, p1 = 0 , что отвечает
условию		−w21		... −wM 1
	γ 1
	−w	γ		...	−w				= 0.	(2.3.67)
Det	12		2	...		M	2
...		...			...
	−w	−w		...	γ	M
	1M		2M

Поэтому в системе (64) можно опустить одно из уравнений (для m =1) и

ввести отклонения населенностей	от равновесных	значений
δρmm(0) = ρmm(0) − ρmmeq . Решение для этих	величин будет	иметь вид

суперпозиции экспоненциально убывающих со временем членов с показателями экспонент, равными характеристическим числам pm .

Как пояснялось при обсуждении соотношения (20), в практически важном случае невысоких температур резервуара скорости переходов с нижних уровней на более высокие существенно меньше, чем в обратном направлении. Поэтому в достаточно точном приближении можно

пренебречь в (65) или соответствующем уравнении для δρmm(0) членами wmn

при m > n . В этом случае матрица в (66) становится треугольной, так что M −1 характеристических чисел совпадают с индивидуальными релаксационными постоянными M −1 возбужденных уровней: pm ≈ −γ m

( m = 2, 3,..., M ). Резко упрощается и вид самой системы (65):

(0)		M
dδρmm +γ mδρmm(0)	−	∑ wlmδρll(0) = 0, m = 2,3,...,M .	(2.3.68)
dt		l=m+1

Система имеет специфическую структуру, позволяющую легко решить ее, начиная с последнего уравнения (m = M ) и затем переходя к предыдущим. Естественно, что решение также имеет вид суперпозиции убывающих со временем экспонент. Нетрудно уточнить значения характеристических показателей pm и вид решения (65), учтя малые члены wmn как поправки.

В первом и б олее высоких порядках теории возмущений уравнения для недиагональных элементов матрицы плотности однотипны:

65

dρnm(k )	+(γ	nm	+iω	)ρ(k ) = −	i	[Vˆ, ρˆ(k−1) ] , k ≥1, n ≠ m .	(2.3.69)
dt			nm	nm		nm

Как уже пояснялось, правая часть (69) известна из решения уравнения для матрицы плотности в низших порядках теории возмущений. Решение (69) можно найти методом вариации постоянных [32]. Для этого заметим, что отвечающее (69) однородное уравнение имеет решение

ρ(k ) = c(k ) exp[−(γ	nm	+iω	nm	)t],	(2.3.70)
nm nm

где cnm(k ) – постоянная. Ищем решение неоднородного уравнения (69) в виде

ρ(k ) = c(k ) (t)exp[−(γ	nm	+iω	nm	)t].	(2.3.71)
nm nm

Подстановка (71) в (69) позволяет найти cnm(k ) (t) , после чего решение (69) с начальным условием

ρnm(k ) → 0 при t → −∞							(2.3.72)
записывается в виде
ρ(k ) (t) = −	i	t	[Vˆ, ρˆ(k−1) ] (t′)exp[−(γ		+iω	)(t −t′)]dt′.	(2.3.73)
		−∞∫		nm
nm			nm		nm

В k-ом порядке теории возмущений уравнения для диагональных элементов матрицы плотности записывается в виде системы уравнений

dρmm(k )	(k )	M	'	(k )		i	ˆ		(k−1)
dt	+γ m ρmm	− ∑		wlm ρll	= −		[V	, ρˆ		]mm .	(2.3.74)
		l=1

Это неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отметим, что отвечающая (74) однородная система при любых k имеет тот же вид, как в нулевом порядке. Поэтому ее характеристические показатели можно считать известными, ввиду чего система решается тем же методом вариации постоянных. Решение значительно упрощается при использованном выше пренебрежении членами wmn при m > n (заселением под действием

резервуара с нижних уровней). Тогда система (74) сводится к следующей:

dρmm(k )	(k )		M	(k )		i	ˆ		(k−1)
dt	+γ m ρmm	−	∑ wlm ρll		= −		[V	, ρˆ		]mm .	(2.3.75)
			l=m+1

Как и ранее, начинаем с решения последнего уравнения (m = M ):

(k )	i	t ˆ			(k−1)
ρMM (t) = −		−∞∫	[V	, ρˆ		]MM (t′)exp[−γ M (t −t′)]dt′.

После нахождения ρMM(k ) предпоследнее уравнение аналогичную структуру

dρ(k )			ρ(k )	= F (k )	,
M −1,M −1 +γ
dt		,M −1	M −1,M −1	M −1

где правая часть уже известна:

(2.3.76)

в (75) имеет

(2.3.77)

66

(k )	(k )	i	ˆ	, ρˆ	(k−1)	]M −1,M −1 .
FM −1	= wM ,M −1ρMM −		[V

Решение (77) имеет вид

t

ρ(k )1, 1(t) = ∫ F(k )1(t′)exp[−γ 1, 1(t −t′)]dt′.

M − M − M − M − M −

−∞

(2.3.78)

(2.3.79)

Продолжая этот процесс, записываем уравнение (75) для элемента ρmm(k ) в виде

dρmm(k )		+γ	m	ρ(k ) = F(k )			,			(2.3.80)
dt				mm	m
где		M				i
(k )				(k )			ˆ	(k−1)
Fm	=	∑ wlm ρll			−		[V , ρˆ		]mm .	(2.3.81)
		l=m+1
Решение (80) аналогично (78):
ρmm(k ) (t) = ∫t				Fm(k ) (t′)exp[−γ m (t −t′)]dt′.						(2.3.82)

−∞

Тем самым, мы располагаем алгоритмом полного последовательного определения всех элементов матрицы плотности во всех порядках теории возмущений.

Конкретизируем вид элементов матрицы плотности в различных порядках теории возмущений в важном специальном случае, когда

потенциал взаимодействия атомов с излучением Vˆ берется в виде (2.2.15) (электродипольные переходы), а излучение состоит из набора монохроматических полей:

	1	∑E(ωf )exp(−iωf t) .	(2.3.83)
E(t) =	2
		f

Полное поле E вещественно, так что суммирование в (83) ведется и по положительным, и по отрицательным частотам, причем

E(−ωf ) = E* (ωf ) .

(2.3.84)

Очевидно, в нулевом порядке теории возмущений сохраняется общий результат (18). В первом и более высоких порядках структура элементов матрицы плотности оказывается следующей:

ρnm(1) = 12 ∑f1 rnm(1); f1 exp(−iωf1t),

ρnm(2)	=	1	∑rnm(2); f1 , f2 exp[−i(ωf1 +ωf2 )t],
		2 f		, f	2
			1
ρnm(3)	=	1	∑ rnm(3); f1 , f2 , f3 exp[−i(ωf1 +ωf2 +ωf3 )t],
		2 f1 , f2 , f3

67

...

ρnm(k ) =	1	∑ rnm(k;)f1 , f2 ,..., fk exp[−i(ωf1 +ωf2 +... +ωfk )t].	(2.3.85)
	2 f1 , f2 ,..., fk

Здесь частоты ωf j берутся из набора частот, содержащихся в излучении

(соотношение (83)), а коэффициенты r не зависят от времени. Определить их проще после подстановки (85) в уравнения (69) и (74) или (75), которые превращаются в алгебраические. Для недиагональных элементов таким образом сразу получаем:

r(k )		=	1				1			×
			2 ωnm −ωf			−ωf	−... −ωf
nm; f1, f2 ,..., fk									−iγnm		(2.3.86)
			1			2		k
×∑	(k−1)						(k−1)
	rlm; f1, f2 ,..., fk −1 (dnl E(ωfk					)) − rnl; f1, f2 ,..., fk −1			(dlmE(ωfk )) , k ≥1, n ≠ m.
l

В первом порядке теории возмущений набор частот осцилляций матрицы плотности совпадает с набором частот поля, а коэффициенты

	r(1)	=	1	(ρ(0)	− ρ(0) )	(dnmE(ωf	))	.	(2.3.87)
						1
						ωnm −ωf −iγnm
	nm; f1			nn	mm
						1

Этого соотношения достаточно, так как диагональные элементы матрицы плотности в первом порядке обращаются в нуль, rnn(1); f1 = 0 . Такое

утверждение согласуется со следующей из (87) пропорциональностью коэффициента rnm(1); f1 разности населенностей уровней ρnn(0) − ρmm(0) . Отметим

наличие резонансов ширины ~ γnm вблизи совпадения частот излучения ωf1 и частот атомных переходов ωnm .

Теперь обратимся к определению диагональных элементов матрицы плотности в рамках указанной выше упрощенной схемы при k ≥ 2 . Подстановка (85) в ( 75) приводит к системе линейных алгебраических уравнений с треугольной матрицей:

M

i

[γ 1 −i(ωf1

+ωf2

+... +ωfk )]r11;(k )f1, f2 ,..., fk

−∑wlmrll(;kf)1, f2 ,..., fk

=

µ11(k−1) ,

2

l=2

M

i

[γ 2

−i(ωf1

+ωf2

+... +ωfk )]r22;(k )f1, f2 ,..., fk

−∑wl 2rll(;kf)1, f2 ,..., fk

=

µ22(k−1) ,

2

l=3

...

[γ

,M −1

−i(ω

+ω

+... +ω

fk

)]r(k )

− w

−1

r(k )

=

f1

f2

M −1,M −1; f1, f2 ,..., fk

M ,M

MM ; f1, f2 ,..., fk

=

i

µ

(k−1)

,

i

2

M −1,M −1

[γ

−i(ω

+ω

+... +ω

)]r(k )

=

µ(k−1) ,

(2.3.88)

2

M

f1

f2

fk

M ,M ; f1, f2 ,..., fk

M ,M

где

68

(k−1)		(k−1)	(dnl E(ωfk	(k−1)	(dnl E(ωfk		(2.3.89)
µnn	= ∑ rln; f1, f2 ,..., fk −1			)) − rnl; f1, f2 ,..., fk −1		)) .
	l

По-прежнему, эта система легко решается, начиная с последнего

уравнения.

При этом

для

величины

r(k )

, f

,..., f

из

(88)

следует

M ,M ; f

k

соотношение

1

2

1

r(k )

=

i

µ

(k−1) ,

(2.3.90)

2 γMM

−i(ωf

ωf

+... +ωf

)

M ,M ; f1, f2 ,..., fk

+

2

k

M ,M

1

которое совпадает с формулой (86) при n = m . После этого находим

r(k )

=

1

×

γM −1,M −1 −i(ωf

+ωf +... +ωf

)

M −1,M −1; f1, f2 ,..., fk

(2.3.91)

1

2

k

× f

M ,M

γ

r(k )

+

i

µ(k−1)

−1

.

−1 M ,M

MM ; f1, f2 ,..., fk

2

M −1,M

Наконец, в общем случае

(k )

1

M

(k )

i

(k−1)

rnn; f1, f2 ,..., fk =

∑ f jnγ jj rjj; f1,

f2 ,..., fk

+

µnn

. (2.3.92)

γnn

−i(ωf1 +ωf2

+... +

2

ωfk ) j=n+1

Все величины в правой части (92) уже найдены на предыдущих этапах. Естественно, что элементы матрицы плотности k-го порядка пропорциональны k-ой степени амплитуд поля. С повышением порядка теории возмущений число резонансов (с шириной ~ γ ) увеличивается. Так,

во втором порядке к «линейным» резонансам при ωf1 ≈ωnm добавляются

«квадратичные» резонансы при ωf1 +ωf2 ≈ωnm (см. (86)) и ωf1 +ωf2 = 0 (см. (92)). Аналогично, в k-ом порядке теории возмущений добавляются

резонансы при		комбинированных частотах ωf	+ωf	+... +ωf	≈ωnm и
ωf +ωf	+... +ωf	1		2	k
		= 0 . Эти резонансы естественно	интерпретируются на
1	2	k	что поскольку γnm > 0,
языке многофотонные переходов. Отметим также,

то в комплексной плоскости частот полюса (нули резонансных знаменателей) расположены в нижней полуплоскости. Это позволяет получить отвечающие принципу причинности дисперсионные соотношения между вещественными и мнимыми частями величин

r(k )	,..., f	типа соотношений Крамерса – Кронига между вещественной и
nm; f , f		k
1 2

мнимой частями линейной диэлектрической проницаемости [1, 2].

Таким образом, для излучения вида (83) мы получили сравнительно простую схему чисто алгебраического нахождения всех элементов матрицы плотности во всех порядках теории возмущений. В ряде практически важных случаев, например, при импульсном воздействии на среду, интерес представляет излучение в виде набора квазимонохроматических полей, когда амплитуды E(ωf ) в (83) медленно

меняются со временем. Соответственно, возникает вопрос о

69