∂			δε		δµ
	2ik		E + ∆ E + k2			+	E = 0.	(1.7.8)
		∂z			ε0
							µ0

При этом без потери точности можно считать

	ε0				2
δµ =δµ	µ0		E		.	(1.7.9)

Замечание. Подход работы N. Lazarides, G.P. Tsironis. Phys. Rev. E. Vol. 71. 036614 (2005), в которой вводятся связанные квазиоптические уравнения для напряженностей электрического и магнитного полей, некорректен.

1.8. Приближение слабой непараксиальности

Хотя квазиоптический подход чрезвычайно плодотворен и позволяет решить большое число нелинейной оптики, область его применимости ограничена пучками сравнительно большой ширины (в единицах длины волны) и импульсами достаточно большой длительности (в единицах периода оптических колебаний). В то же время в ряде ситуаций такое предположение неприемлемо. Например, для сред с керровской самофокусировочной нелинейностью (см. гл. 2) квазиоптический подход описывает так называемый коллапс пучка с мощностью, превышающей критическую. При приближении к точке нелинейного фокуса максимальная интенсивность излучения стремится к бесконечности, а ширина пучка – к нулю. Понятно, что последнее обстоятельство нарушает условия применимости квазиоптического подхода и требует уточнения рассмотрения.

Непосредственное решение нелинейных уравнений Максвелла затруднительно и на сегодня практически возможно лишь для одномерной или двумерной геометрии (следующая часть Пособия). В данном разделе мы представим вывод более точного, чем квазиоптическое, уравнения распространения широких пучков монохроматического излучения в среде с кубичной нелинейностью, причем непараксиальные члены служат малой поправкой к основным параксиальным [18].

Вывод близок к представленному выше в разделах 1.5-1.7, но теперь мы учтем некоторые дополнительные члены. Исходим из тех же уравнений Максвелла и пренебрегаем для простоты частотной дисперсией. Среда вновь считается изотропной и немагнитной (μ = 1). Положим вместо

(1.5.5)

	(1.8.1)
E = Re{E(r , z)exp(iΓz −iω0t)}.

Сдвиг постоянной распространения (Г вместо k0 ) удобен, например, для

описания пространственных солитонов (следующая часть Пособия) с огибающей Es (r ) , которая зависит только от поперечных координат

24

r = (x, y) . Теперь точным следствием волнового уравнения служит соотношение

2iΓ	∂E +	∂2E + ∆		E		−(Γ2 − k2 )E		+ k02	δD		− graddivE = 0. (1.8.2)
	∂z	∂z2				0		c2

Это уравнение незамкнуто относительно поперечных составляющих огибающей E = (Ex , Ey ) из-за формы последнего члена в левой части (2).

Как и ранее, замкнутое уравнение может быть получено при использовании приближенного выражения для продольной компоненты Ez через E вида (1.5.19). Тогда, пренебрегая членами высшего порядка

по малому параметру непараксиальности (k0r )−2 , находим

2iΓ	∂E	+ ∆ E −(Γ2	−k02 )E +	k2	δD = Q .	(1.8.3)
				0
	∂z			c2

Правая часть (3) представляет малую непараксиальную поправку вида Q = Qs +Qz , причем в случае кубичной нелинейности среды вида (см.

гл. 2)

δD =α(E,E* )E + β(E,E)E*										(1.8.4)
получим
Qs = −		1	{α | div E |2 E − β(div E )2 E* +
		ε0
+ grad [div (α | E |2 E + βE2E* )] −
−αgrad [| E |2 (div E )] + βgrad (E2div E* )},
		2						2
		∂ E2 =			1
Qz = −						∆ −	(Γ2 −k02 ) + k0 α | E |2 ×
					2
		∂z			k0			ε0
							2
			E −(Γ2 −k02 )E + k0							+
× ∆								(α | E |2 E + βE2E* )
							ε0
+		α		[(∆ E ,E* ) −(∆ E* ,E )]E +
		4ε	0
+		β		[2(∆ E ,E )E* − E2 ∆ E* −(Γ2 −k02 )E2 E* +
		4ε	0							(1.8.5)
		k2						k2
						2	2 *		4
		0						0
+		ε0	(α + 2β) | E |				E E −	ε0 β | E	| E ].
В низшем (параксиальном, или квазиоптическом) приближении
правая		часть			(3) обращается			в нуль,	Q = 0 , и тогда (3) сводится к

варианту (1.5.18) для монохроматического излучения. Можно сказать, что параксиальный подход реализуется как предел при стремлении ширины пучка к бесконечности. В отличие от исходного волнового уравнения это

25

уравнение эволюционного типа с первой производной по z. Поэтому оно позволяет находить огибающую поля в любом сечении z, если она задана в исходном сечении z = 0. Одним из следствий непараксиальности служит повышение степени нелинейности. Так, если, как это принято в (4), δD – 3-го порядка по огибающей, то Q содержит и члены 5-го порядка.

Естественно, что их учет обоснован, если коэффициенты членов 5-го порядка в самой нелинейности δD достаточно малы. Учет непараксиальных эффектов принципиально важен в пограничных (вырожденных) ситуациях, когда даже малые поправки могут качественно изменять характер результата (например, устранение коллапса при самофокусировке в среде с керровской нелинейностью, см. следующую часть Пособия). Также в следующей части Пособия будут обсуждены особенности эволюционных уравнений в случае предельно коротких оптических импульсов.

Литература к главе 1

1. S.I. Wawilow, W.L. Lewschin. Z. Physik. 1926. № 35. P. 932.

2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М., Физматлит, 1982.

3.C. Cohen-Tannoudji, A. Kastler. Progress in Optics. 1966. Vol. 5. P. 1.

4.P. Franken, A. Hill, C. Peters, G. Weinreich. Phys. Rev. Lett. 1961. V. 7. № 3. P. 118.

5.Е.Б. Александров, А.А. Ансельм, А.Н. Москалев. ЖЭТФ. 1985. Т. 89. С. 1181.

6.Н.Н. Розанов. ЖЭТФ. 1993. Т. 103. № 6. С. 1996.

7.Н.Н. Розанов. ЖЭТФ. 1998. Т. 113. № 2. С. 513.

8.N.N. Rosanov. Phys. Vibration. 1999. Vol. 7. № 1. P. 28.

9.В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. Квантовая электродинамика. М., Наука, 1989.

10.Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М., Наука, 1989.

11.В.И. Денисов. Введение в электродинамику материальных сред. М., МГУ, 1989.

12. И.Р. Шен. Принципы нелинейной оптики. М., Физматлит, 1989.

13.Н.Н. Розанов, В.А. Смирнов. Опт. спектроск. 2004. Т. 97. № 4. С. 638.

14.М.А. Леонтович. Изв. АН СССР. Сер. физ. 1944. Т. 8. № 1. С. 16.

15.М.А. Леонтович, В.А. Фок. ЖЭТФ. 1946. Т. 16. № 7. С. 557.

16.Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. М., Физматлит. 1960.

17.Ф.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., Наука, 1973.

18.N.N. Rosanov. Spatial hysteresis and optical patterns. Springer, Berlin, 2002.

26