Lektsii_po_fiziki

AЗАТ = A0e−βt .

Само же колебание остается гармоническим и происходит с

периодом T =		2π			. График зависимости смещения затухающе-
		ω2	− β 2
		0

го колебания от времени приведен на рис. 2.5.

Рис. 2.5

Быстроту затухания, т.е. быстроту убывания амплитуды, определяют логарифмическим декрементом затухания

λ = ln	A(t)
	A(t +T )

или, после подстановки в это отношение значений амплитуд в моменты времени t и t + T ,

λ = β ×T .

Вынужденные колебания

Чтобы компенсировать потери энергии на преодоление силы трения, необходимо колеблющейся точке извне добавлять энергию, т.е. необходимо действовать на точку внешней вы- нуж-дающей силой FВЫН . Эта сила должна удовлетворять следующим требованиям: она должна быть периодической и иметь частоту ω, отличную от частоты собственных колебаний точки,

ω, т.е. её можно записать как

0

FВЫН = Fmax sin ωt

где Fmax - амплитуда вынуждающей силы.

21

Следовательно, при вынужденных колебаниях точка движется под действием равнодействующей F сил FВОЗВ, FTP и FВЫН . Уравнение движения теперь запишется в виде

F = FВОЗВ + FTP + FВЫН	(2.11)
или в проекциях на ось OX
ma = −kx − rv + Fmax sinωt	(2.12) .

После деления на m и введения применяемых ранее обозначений, получим дифференциальное уравнение 2-го порядка для вынужденных колебаний

d 2x	+ 2β dx	+ ω02x = Fmax sinω0t	(2.13) .
dt2	dt

Решением этого уравнения является функция

x = AВЫН sin(ω0t + θ ) .

Точнее

					Fmax
		x =			m		sin(ω0t + θ )
					(ω02 − ω 2 ) + 4β 2ω 2
		Fmax
Здесь A =					– амплитуда вынужденных колеба-
		m
ВЫН		(ω02 − ω 2 ) + 4β 2ω 2

ний. Как видим, она зависит от частоты и амплитуды вынуждающей силы. Анализируя решение, замечаем, что колебания точки происходят с частотой вынуждающей силы, колебание остается гармоническим с новой начальной фазой θ.

Если коэффициент затухания стремится к нулю (это возможно при малом сопротивлении), то

АВЫН ≈ ω021− ω2

График смещения вынужденных колебаний показан на рис.2.6. Начальный период мы не рассматриваем. Все проведенные выше рассуждения касались только установившихся вынужденных колебаний.

22

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы при различных коэффициентах затухания показан на рис.2.7.

Рис. 2.6

Рис.2.7 При выполнении условия ω = ω0 амплитуда АВЫН резко воз-

растает (β = 0) . Это явление резкого возрастания амплитуды при равенстве собственной частоты колебаний точки и частоты вынуждающей силы называется явлением механического резонанса.

Явление механического резонанса может быть полезным: при малых усилиях можно увеличить амплитуду колебания; но может быть и вредным: разрушение, действие вибраций на организм. Предупреждают резозанс тем, что создают колебания с ча-

стотой ω, отличной от частоты ω вынуждающей силы.

0

23

Автоколебания

Мы выяснили, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды Fmax и частоты внешней, вынуждающей, силы.

		Fmax
АВЫН =		m
		(ω02 − ω 2 ) + 4β 2ω 2

Это означает, что внешнее воздействие “управляет” колебаниями системы и сообщает ей энергию, не согласовываясь с процессами, происходящими в системе. Можно создать такую систему, в которой вынужденные колебания происходят с собственной частотой. Такие системы называются автоколебательными, а происходящие в них колебания - автоколебаниями.

Механическая автоколебательная система содержит источник внешней силы, постоянной по величине и направлению, которая периодически в необходимые моменты “подталкивает” колеблющееся тело и таким образом поддерживает его свободные колебания незатухающими. Блок-схема автоколебательной системы представлена на рис. 2.8.

Рис. 2.8.

Сложение колебаний

24

Колебательное движение, при котором смещение описывается во времени любым законом, но не законом синуса или косинуса, является сложным колебанием. Сложное колебание – это результат сложения простых, гармонических, колебаний. Поэтому мы должны уметь складывать колебания.

Смещение тела, участвующего одновременно в двух или нескольких колебаниях, находится на основании принципа суперпозиции, согласно которому эти колебания накладываются, не влияя одно на другое.

I.Однонаправленные колебания.

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Смещения этой точки для каждого колебания описывается уравнениями

x1 = A1 sin(ω01t + ϕ01 ) , x2 = A2 sin(ω02t + ϕ02 )

а) Если ϕ01 = ϕ02 = ϕ0 ; ω01 = ω02 = ω0 , но A1 ¹2	A2 то смещение ре-
зультирующего колебания описывается как
x = x1 + x2 = (A1 + A2)sin(ω0t + ϕ0)	(2.14) .

б) В общем случае при условии, что ω01 = ω02 = ω0 ,

ϕ01 ¹ ϕ02 , A1 ¹2 A2 , сложение удобнее проводить с использованием метода векторных диаграмм.

При указанных условиях смещения точки запишутся как

x1 = A1 sin(ω0t + ϕ01 ) ,

x2 = A2 sin(ω0t + ϕ02 ) ,

а смещение результирующего колебания определится как

x = x1 + x2 = A1sin(ω0t + ϕ01) + A2 sin(ω0t + ϕ02) (2.15) .

Смещение результирующего колебания будем описывать уравнением

x = Asin(ω0t + ϕ0 )

Для расчета амплитуды A результирующего колебания построим векторную диаграмму. Из точки 0 системы координат ХОУ (рис.2.9) проведем векторы A1 и A2 под углами ϕ01 и ϕ02 к оси ОХ, соответственно. Длины этих векторов равны модулям амплитуд A1 и A2 складывающихся колебаний. Векторы A1 и

25

A2 вращаются с одинаковой частотой, следовательно, вектор

A

будет вращаться с той же частотой.

Амплитуду

результирующего

колебания найдем из треуголь-

ника 0 A1 A , применив теорему

косинусов

A2 = A2

+ A2 − 2A A cosβ (16)Т.к.

1

2

1

2

cos β = cos(π − (ϕ01 − ϕ02 )),

то A =

A12 + A2 +2A1A2 cos(ϕ02 −ϕ01 )

рис. 2.9

Начальная

фаза

0

ре-

ϕ

дится как

зультирующего колебания нахо-

Α

Α

+ Α

Α sinϕ

+ Α sinϕ

tgϕ0 =

У

=

1У

2У

=

1 01

2 02

.

Α

Α cosϕ

+ Α cosϕ

Α

+ Α

Х

1Х

2 Х

1

01

2

02

Частные случаи:

1) ϕ02 − ϕ01 = 2kπ ,

Þ cos 2kπ = ±1,

где k =0;1; 2....

Тогда A =

A12 + A22 + 2A1 A2

= A1 + A2 - усиление колебаний (рис.2.10):

Рис. 2.10

2) ϕ02 −ϕ01 = (2k +1)π ,

Þ cos(2k + 1)π = -1

Тогда A = A12 + A2 − 2A1 A2 = A1 − A2 - ослабление колебаний (рис.2.11):

26

Рис. 2.11

Биения. Если частоты слагаемых колебаний мало отличаются, т.е. ω01 ω02 , то результирующее колебание будет подобно гармоническому колебанию с медленно изменяющейся амплитудой. Наблюдается амплитудная модуляция. Такие колебания называются биениями (рис. 2.12)

Рис. 2.12

2. Взаимноперпендикулярные колебания.

Возможна ситуация, при которой точка участвует одновременно в двух взаимноперпендикулярных колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое - вдоль оси ОУ. Смещения точек описываются при этом уравнениями (считаем, что собствен-

ная частота ω у обоих колебаний одинакова):

0

x = A1 sin(ω0t + ϕ01 ) ,

y = A2 sin(ω0t + ϕ02 ) .

Исключая из этих уравнений время t, получим уравнение y = f ( x) в виде

х2

+

у2

− 2

ху

cos(ϕ

02

−ϕ

01

) = sin2

(ϕ

02

−ϕ

01

) (2.16)

А 2

А2

А1А2

1

2

27

Это и есть уравнение траектории, по которой движется точка, а именно, уравнение эллипса (рис.2.13).

Рис. 2.13

28

Конкретный

вид

траектории

зависит

от

разности фаз

ϕ = ϕ02 −ϕ01. Если

ϕ = ϕ02 − ϕ01 = kπ , где k = 0,1,2...,

то cos kπ = ±1, sin kπ = 0, и уравнение (2.16) запишется как

х2

+

у2

± 2

ху

= 0

А2

А2

А А

или после преобразований

1

2

1

2

A2

æ

х

у

ö2

,

х

±

у

= 0

,

y = ±

x

,

ç

±

÷

= 0

А1

А2

A

А

А

ç

÷

è

1

2

ø

1

т.е. получаем уравнения прямой, по которой будет двигаться точка (рис.2.11 соответствует знаку +, рис.2.12 соответствует знаку -).

Рис.2.11

Рис.2.12

Если ϕ = (2k +1)

π

, то cos(k +1)

π

= 0

, sin

(k +1)

π

=1, и уравнение

2

(2.16) запишется как

2

2

х2

у2

+

= 1

(2.17)

А2

А2

1

2

Это уравнение эллипса, расположенного симметрично относительно осей координат. Именно такую траекторию будет описывать точка (рис. 2.13).

Если при такой разности фаз, ϕ = (2k +1)π2 , амплитуды равны

между собой ( A1 = A2 = R), то уравнение (2.17) станет уравнением окружности (рис. 2.14).

x2 + y2 = R2

29

Рис. 2.13

Рис. 2.14

Траектории, по которым движется точка в результате сложения колебаний, называются фигурами Лиссажу.

Сложное колебание. Гармонический спектр сложного колебания.

В природе наблюдаются сложные колебания – колебательное движение, при котором смещение точки описывается не по гармоническому закону, а по любому другому периодическому закону

х(ω,t) = ò òA(ω,t)sinωtdωlt

∞∞

На практике очень часто такие сложные колебания приходится раскладывать на простые, т.е. решать задачу, обратную сложению колебаний. Вопрос разложения сложных колебаний на простые решил Фурье, поэтому при разложении сложного колебания на простые мы пользуемся теоремой Фурье: “Любое слож-

ное периодическое колебание может быть представлено суммой простых гармонических колебаний, периоды или частоты которых кратны периоду или частоте основного колебания”.

Совокупность простых колебаний, на которые раскладывается сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.

Пример: на рис. 2.15 представлен график сложного колебания (сплошная линия) и простых колебаний (пунктир) с частота-

ми ν1, ν2, ν3, на которые оно может быть разложено, а на рисунке 2.16 – гармонический спектр этого сложного колебания.

30