Lektsii_po_fiziki

ным размером является диаметр трубы, а характерной скоростью - средняя скорость потока.

Характер течения жидкости определяется числом Рейнольд-

са

Re = υρD (4.10) .

η

Рейнольдс определил критическое число Re0 = 2300.

Если Re < Re0 , то течение является ламинарным, при Re > Re0 течение является турбулентным.

Ламинарное течение - это течение, которое носит слоистый характер, слои движутся не перемешиваясь. Оно наблюдается при сравнительно невысоких скоростях. Устанавливается при течении жидкости по трубам с гладкими стенками, без резких изменений площади сечения или изгибов, при отсутствии множественных разветвлений.

При нарушении этих условий течение становится турбулентным.

Турбулентное течение характеризуется вихреобразным движением жидкости, при котором происходит интенсивное перемешивание жидкости в макроскопическом масштабе.

Эти два течения характеризуются различными зависимостями силы сопротивления от скорости. При ламинарном течении FTP ~ υ , при турбулентном течении FTP ~ υ2 .

Распределение скорости и градиента по сечению трубы при ламинарном течении.

Рассмотрим течение вязкой жидкости, смачивающей стенки, по горизонтальной трубе постоянного сечения, т.е. ламинарное течение (рис. 4.8). Т.к. жидкость смачивающая, то слой молекул, прилегающих к стенке трубы, прилипает к ней и остается неподвижным. Следующий слой молекул под действием силы давления смещается относительно стенок. Но, т.к. движению молекул противодействуют силы внутреннего трения, скорость смещения этого следующего слоя невелика. Каждый последующий слой, смещаясь относительно предыдущего слоя, движется по отношению к стенке трубы с постоянновозрастающей скоростью. Наи-

большее значение скорость имеет в центре трубы.

61

Распределение скорости по сечению трубы носит параболический характер:

		υ =	P1 − P2		(R2 − r2 )	(4.11) ,
	Рис. 4.8	где радиус		4lη			радиус
				трубы, r −
		рассматриваемого слоя,				1	и 2 –
	коэффициент вязкости жидкости, l − длина трубы,
η −						P	P

давление в начале и конце трубы, соответственно.

Наибольшее значение скорость имеет в центре трубы:

υmax = P1 − P2 R2 , r = 0.

4lη

Градиент скорости, наоборот максимален в пристеночной части трубы:

υ = P1 − P2 r . r 2lη

Течение реальной жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения.

Закон Гагена-Пуазейля.

При течении жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения (рис. 4.9) потенциальная энергия её частиц расходуется на работу по преодолению внутреннего трения. Поэтому статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Для того чтобы обеспечить течение жидкости, необходимо в начале трубы создать давление, превышающее падение давления вдоль всей трубы.

62

Рис. 4.9

Из рисунка видим, что давление в трубе постоянного сечения понижается равномерно. Если соединить уровни жидкости в манометрических трубках, установленных вдоль трубы, то получится прямая линия. Если её продлить до основного сосуда, то она разделит высоту столба жидкости на две части: h1 и h2 . Высота h1 соответствует начальному статическому давлению, а высота h2 – гидродинамическому давлению, обеспечивающему скорость течения жидкости. Крутизна этой кривой (тангенс угла наклона) характеризует продольный градиент давления:

tgα = Pl = gradP . P = P1 − P2 . Градиент давления показывает, на

сколько изменяется давление при изменении длины трубы на единицу.

Скорость течения жидкости определяется по формуле (4.11), но ламинарный характер течения определяется средней скоростью.

Пуазейль опытным путем установил, что средняя скорость течения жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения определяется как

υcp = R2 P1 − P2	(4.12) – закон Пуазейля.
8η l

Количество жидкости, протекающей через поперечное сечение за время Δt,

Q =υcpS t .

63

При t =1c	cp	,		cp	определяется формулой (4.12), а
	Q =υ S		υ
S = πR2 .
Следовательно,
Q =	πR4 ( P1 − P2 )			(4.13) − закон Гагена-Пуазейля.
	8lη
Введем величину ω =				8lη	и назовем её гидравлическим со-
				4
			πR

противлением. Тогда закон Гагена-Пуазейля запишется как

Q = P1 ω− P2 .

Гидравлическое сопротивление резко уменьшается при увеличении радиуса трубы, поэтому количество жидкости, протекающее по трубе, увеличивается с увеличением её радиуса.

Течение жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения

Рис. 4.10.

Средняя скорость течения определяется формулой (4.12)

υcp = R2 P1 − P2 ,

8η l

т.е. υcp = f (R) . Поэтому на участках трубы различного сечения скорости различны (манометрические трубки установлены в начале и конце каждого участка). Соответственно изменяются и градиенты давлений. К тому же по правилу Бернулли статическое давление невязкой жидкости при течении по горизонтальной трубе увеличивается там, где скорость её уменьшается, и наоборот. Кроме того, в местах изменения сечения трубы течение становит-

64

ся турбулентным, что вызывает потери энергии. Кроме того, из

закона Гагена – Пуазейля,	Q =	πR4 (P1 − P2 )	следует, что, поскольку
		8lη

количество жидкости, протекающее через поперечное сечение, не меняется, то меняется градиент давлений: при переходе от мень-

шего сечения к большему давление падает меньше, а при переходе от большего сечения к меньшему давление падает больше.

Течение жидкости по разветвленной трубе

Рис. 4.11

В разветвленной трубе градиент давлений зависит:

1)от общего сечения разветвленной части, т.к. от этого зависит средняя скорость течения жидкости, и, следовательно, общие потери энергии.

2)От числа труб в разветвленной части. Это легко понять, если вспомнить формулу Ньютона FTP =ηS ddzυ . Сила тре-

ния зависит от градиента скорости, который имеет наибольшее значение около стенок трубы. Поэтому потери энергии на преодоление силы трения в пристеночном слое выше, чем в центральной части. А поскольку в разветвлении площадь пристеночного слоя велика, то и потери энергии большие.

Чем больше трубок, тем больше потери энергии, тем больше падает давление.

65

Течение жидкости по эластичной трубе

Если жидкость течет по эластичной трубе, то упругие свойства материала стенок влияют на характер течения жидкости. При поступлении жидкости в трубу труба растягивается, а затем, сжимаясь, проталкивает жидкость силой обратной деформации.

66

Лекция 5.

Биореология.

Биореология - раздел физики, изучающий течение биологических жидкостей, обладающих вязкостью и пластичных.

Впредыдущей лекции мы отметили, что у большинства жидкостей коэффициент вязкости зависит от природы жидкости

иот температуры. Эти жидкости называются ньютоновскими жидкостями.

У некоторых жидкостей, преимущественно высокомолекулярных, коэффициент вязкости зависит не только от температуры

иприроды жидкости, но и от режима течения, градиента скорости, давления и др. факторов. Такие жидкости называются неньютоновскими. В качестве примера неньютоновских жидкостей кровь. Это пластичная, вязкая жидкость. Она относится к неньютоновским жидкостям из-за своего состава: кровь – это суспензия форменных элементов в белковом раствореплазме.

Вбиореологии из-за пластичности жидкостей формула

Ньютона FТр = −ηs ddzυ записывается в иной форме

σ c = ηγ (5.1) .

Это связано с тем, что высокомолекулярные вещества образуют крупные агрегаты и их следует рассматривать как сплошные среды. Например, кровь образует агрегаты в виде монетных столбиков из эритроцитов. В расчет принимаются только

эритроциты, т.к. эритроцитов в крови ≈ в 50 раз больше, чем тромбоцитов и лейкоцитов. Поэтому реологические свойства кро-

Рис. 5.1 ви определяются только концентрацией и.

механическими свойствами эритроцитов. Как видно из рисунка при движении крови наблюдается деформация сдвига. Поэтому формулу Ньютона преобразуют в формулу, похожую на закон Гука, описывающий деформацию твердых тел.

67

В уравнении (5.1) σc = FS - напряжение сдвига, γ = ddzυ - ско-

рость сдвига.

Кривые течения – графики зависимости напряжения сдвига от скорости сдвига.

На рис. 5.2 кривая 1 соответствует ньютоновской жидкости. Видим, что ньютоновская жидкость начинает течь при самых небольших скоростях сдвига. Кривая 2 соответствует неньютоновской жидкости, т.е. вязко-пластичной жидкости. Здесь жидкость начинает течь только при

Рис. 5.2 σc > σпр . σпр − предел текучести. Это связано с тем, что для приведения в движение агрегатов – монетных столбиков нужны дополнительные усилия в сравнении с ньютоновскими жидкостями.

Зависимость коэффициента вязкости крови от различных физических факторов.

1) от градиента скорости (скорости сдвига)

1 –эффективная вязкость,

2 – коэффициент вязкости ньюто-новской жидкости

(взяли ηньют., равный кажущейся вязкости крови –

предельной вязкости).

Рис. 5.3

Из графика видно, что с увеличением скорости сдвига, т.е. с увеличением

68

grad υ, эффективная вязкость крови резко падает и при γ > 100 с-1 вязкость крови становится равной некоторому предельному значению, остающемуся далее неизменным как у ньютоновской жидкости. Это происходит оттого, что агрегаты эритроцитов с увеличением градиента скорости распадаются, следовательно, кровь находится под напряжением σc > σпр .

Предельное значение вязкости крови называют кажущейся вязкостью.

2) от гематокритного показателя (гематокрита) H%,

т.е. от концентрации эритроцитов в крови:

С увеличением гематокритного показателя вязкость крови падает, т.к. увеличивается число комплексов и увеличиваются их раз меры.

Рис. 5.4

3)от температуры

Сувеличением температуры вязкость уменьшается – уменьшаются силы взаимодействия между молекулами эритроцитов, уменьшаются размеры агрегатов.

69

Рис. 5.5

В пределах температур от 100С до 380С вязкость крови имеет экспоненциальную зависимость от температуры

− ω

η = const × e kT

При температурах меньше 100С и выше 380С зависимость очень сложная, что связано с процессами, приводящими к изменению свойств крови.

3)от диаметра сосуда, по которому течет кровь

Сувеличением диаметра сосуда вязкость крови уве- личи-вается. В сосудах диаметром меньше 50 мкм этот эффект проявляется столь сильно, что может маскировать зависимость вязкости крови от скорости сдвига и от гематокритного показателя.

70