Lektsii_po_fiziki

Рис. 2.15

Рис. 2.16

Гармонический спектр позволяет провести анализ сложного колебания. Очевидно, каждая гармоника описывает какой-то отдельный процесс, вносящий свой вклад в общее колебание.

В лабораториях, в том числе и медицинских, разложение колебаний и анализ их производится автоматически с помощью приборов, называемых анализаторами или Фурье-спектро-метра- ми

Механические волны.

Если же рассматривать колебания точки в среде, где она взаимосвязана с другими точками, то колебания данной точки среды будет передаваться другой точке, затем к третьей и т.д.

Процесс распространения колебаний в данной упругой среде, при котором происходит процесс переноса энергии без переноса вещества, называется волновым процессом.

В результате внешнего воздействия на среде в ней возникает возмущение – отклонение частиц среды от положения равновесия. Механическая волна – возмущение, распространяющееся в упругой среде.

Рассмотрим образование поперечных волн (рис.2.16). По-

перечная волна – это волна, в которой частицы среды перемещаются перпендикулярно направлению распространения волны.

Точка 1 приводится в гармоническое колебание с периодом Т, так что она движется перпендикулярно линии 1-8. Через время

31

t = T4 точка .1 сместится максимально относительно положения равновесия и передаст свою энергию точке 2.В момент времени

t = T2 точка 1 возвращается в положение равновесия, точка 2 от-

клонится максимально, точка 3 начинает колебаться. Последовательно в процесс включаются все частицы среды.

В среде образуется волна, в которой каждая частица

движется только вверх и вниз. Наблюдатель видит бегущие частицы, а на самом деле происходит только передача энергии от одной частицы к другой.

Поперечные волны образуются только в твердых телах, в которых имеются внутренние упругие силы,

противодействующие деформации сдвига. Поперечные волны не могут возникать в газах и жидкостях, т.к. в них отсутствует фиксированное положение частиц и, следовательно, противодействие деформации сдвига, но на свободной поверхности жидкости под действием сил тяжести и поверхностного натяжения, стремящихся поддержать горизонтальный уровень поверхности, поперечные волны возникают.

Продольная волна – это волна, в которой колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продольные волны могут распространяться в средах, имеющих внутренние силы, противодействующие деформации объёмного сжатия, т.е. во всех средах.

Образование продольной волны показано на рис. 2.17.

32

В стеклянный цилиндр с воздухом вставлен с одного конца поршень, который совершает гармоническое колебание вдоль оси цилиндра.

Движение поршня вызывает колебания в том же направалении прилегающих к нему частиц воздуха и образование в нем участков сгущения, а затем на тех же участках разряжения частиц. Т.к. воздух – упругая среда, колебания передаются соседним частицам, возникают новые участки сгущения и разряжения

Рис. 2.17 частиц, которые, перемещаясь, образуют продольную волну.

Основной характеристикой волны является длина волны λ - это расстояние между двумя ближайшими точками волны, колеблющимися в одной фазе, что соответствует периоду Т колебания. Иначе можно сказать, что длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за время одного периода

λ =υT = νυ , т.к. T =ν1

Здесь υ - скорость распространения волны – скорость, с которой перемещается в среде любая фиксированная фаза волны, например, гребни волны.

Уравнение плоской механической волны.

В однородной изотропной среде колебания, возбуждаемые в одной точке, распространяются от неё равномерно по всем направлениям; такая волна называется сферической. Если источник колебаний имеет значительную плоскую поверхность, то вол-

33

на от него распространяется параллельным потоком, направленным перпендикулярно поверхности источника. Такая волна называется плоской. Уравнение плоской волны выражает зависимость смещения любой колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты её равновесного положения и времени, s = f ( x,t). Выведем это уравнение, считая, что волна распространяется вдоль оси ОХ, без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек среды одинаковы для всех точек среды:

Пусть в точке x = 0 находится точка В среды, которая первая начинает колебания, вибратор, так что смещение её описывается уравнением

SB = Asinωt

До точки среды С, находящейся на расстоянии от точки В, возмущение дойдет с некоторым запозданием на время t1 , так что время колебаний точки С будет определяться как t −t1, а смещение её опишется уравнением

SC = Asinω(t − t1 ) .

Время запаздывания можно определить как t1 = vx , где v–

скорость распространения волны. Уравнение смещения точки С запишется теперь как

S = Asin ωæt - x ö. C ç v ÷ è ø

Такое же уравнение мы можем записать для любой точки среды. Поэтому мы можем сказать, что уравнение плоской волны есть:

æ	x ö		(2.18)
S = Asinωçt -		÷
è	v ø

Т.к. v = λν и ω = 2πν , то уравнение (2.18) можно записать как

æ	x ö		æ	x ö		(2.19)
S = Asinωçt -		÷	= Asin 2πν çt -		÷
è	λν ø		è	λν ø

Для любого конкретного времени, t = const, уравнение волны представляет зависимость смещения только от расстояния x :

s = f ( x,t). График зависимости s = f ( x,t) представляет собой как бы

34

где m0

фотографию волны в момент времени t . Для гармонической волны график показан на рисунке 2.18.

Рис. 2.18.

Если график волны, приведенный на рис.2.18, отнести к некоторому времени t1 , то для других моментов времени t2 , t3 , t4

график перемещается вдоль оси x со скоростью υ распространения волны. Кривые, соответствующие указанным моментам времени, показаны штриховыми линиями.

Энергия волны. Поток энергии волны. Вектор Умова.

Энергия, переносимая волной, складывается из потенциальной и кинетической энергии всех колеблющихся частиц. Среднее значение полной энергии одной колеблющейся частицы за один период определяется как

		m ω2	A2	(2.20),
W	=	0
1	2

– масса частицы.

Если волна распространяется в некотором объёме среды V , содержащем N частиц, то средняя энергия всех этих частиц определится как

		m ω2A2		(2.21) .
W	= W N =	0	N
cp	1	2

35

Удобнее выразить эту энергию через макроскопические параметры, в частности, через плотность среды

ρ = mV = m0VN .

Поэтому, домножив и разделив выражение (10) на V и

обозначив	ρω2 А2	= ε	(ε - объёмная плотность энергии), получим:
	V		m ω2A2				ρω2A2
		W		N	DV	=		DV = ε × DV	(2.22)
			= 0
		cp	2		DV		DV

Количественной характеристикой перенесенной энергии является поток энергии

	F =	Wcp	(2.23) -
		t

поток энергии - величина, численно равная средней энергии волны, переносимой волной в единицу времени через некоторую поверхность S , перпендикулярную направлению распространения волны. [Φ] =1 Bm.

Плотность потока энергии (интенсивность волны), I − поток энергии через единицу площади поверхности, т.е. средняя энергия, переносимая волной в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны:

	I =	F	=	Wcp	(2.24) ,
		S		St

[I ] =1 Bmм2 . Плотность потока, переносимая волной без потерь, может быть рассчитана через характеристики волны.

Для этого выделим в среде, в которой распространяется волна, некоторый

объём цилиндрической формы, V = Sl . Будем считать, что вся энергия, сосредоточенная в этом объёме, переносится че-

рез поверхность S , за время Dt =υl (l – высота цилиндра, υ -скорость распространения волны). Тогда

I =	Wcp	=	ε DV	=	ε Sl	=	ε l	,
	SDt		SDt		SDt		Dt
откуда			(2.25) ,
I = ε ×υ

36

т.е. плотность потока энергии волны равна произведению

объёмной плотности энергии на скорость волны.

Формула (2.25) выражена в скалярном виде. Но скорость распространения волны векторная величина, поэтому формула может быть записана в векторном виде

I =ευ

Отсюда следует, что вектор I , называемый вектором Умова, совпадает по направлению со скоростью распространения волны.

Эффект Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты волн, воспринимаемых наблюдателем (приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя.

При относительном движении источника волн и наблюдателя возможны следующие типичные ситуации:

1)Источник волн неподвижен относительно среды. Он

испускает волны частотой ν, скорость которых υ. Наблюдатель приближается к источнику со скоростью υн . При этом он встречает за один и тот же интервал времени больше волн, чем при отсутствии движения. Это значит, что воспринимаемая наблюда-

телем частота ν1 будет больше частота испускаемых источником волн:

ν1	=	υ + υн		. Т.к.λ =	υ		, то
			λ		ν

ν1 = υ + υнν .

υ

37

2) Наблюдатель неподвижен, а источник движется со скоростью υи . Т.к. источник движется вслед за волной, то меняться будет длина волны: она будет меньше, чем при неподвижном источнике.

За время одного периода волна пройдет расстояние, равное длине волны, λ, а источник в это же время переместиться на расстояние, равное υи ×Т . Расстояние между началом волны и источ-

ником будет равно длине волны λ1 = λ −υиТ. Так как λ λ =νυ , то

λ1 = λ1 =	υ	−	υи	=	υ − υи	,
	ν		ν		ν

ачастота, воспринимаемая наблюдателем, определится как

υυ

ν2 = λ1 = υ −υи ν .

3)И наблюдатель, и источник волн движутся навстречу

друг другу. Тогда от источника будут исходить волны частотой ν2, а движущийся приемник будет воспринимать частоту

ν 3	=	υ + υН		=	υ + υн υ				ν =	υ + υн	ν
			υ			υ υ − υи				υ − υи

Если источник и приемник удаляются друг от друга, то

ν3 = υ − υнν

υ+ υи

Эффект Доплера наблюдается и в том случае, если волна движется в движущейся среде при неподвижных источнике и приемнике волн. В зависимости от того, куда движется среда, в сторону приемника или в сторону наблюдателя, частота бу-

дет рассчитываться или как ν1 , или как ν2. Эта ситуация применяется для определения скорости кровотока. (см. уч. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика, стр. 149).

Литература: 1) Ремизов А.Н. “Медицинская и биологическая физика”, стр.130-150, 2) Ливенцев Н.М. “Курс физики”, т.1, стр.67-88.

Лекция 3.

АКУСТИКА.

Природа звука.

38

В широком смысле акустика – раздел физики об упругих колебаниях и волнах во всем диапазоне частот и об особенностях их распространения в разных средах.

Мы под акустикой будем понимать только учение о звуке. Звук или звуковые колебания – колебания частиц в упругих

средах, распространяющиеся в форме продольных волн, частота которых лежит в диапазоне частот, воспринимаемых ухом человека, от 16 до 20 000 Гц.

Все звуки делят на тоны, шумы и звуковые удары.

Тоном называется звук, представляющий собой распространяющееся регулярное колебание с постоянными или закономерно изменяющимися во времени амплитудой и частотой. Тоны делятся на простые (чистые) и сложные. Простой тон – распространяющееся гармоническое колебание. Уравнение звуковой волны, описывающей простой тон, есть

æ	x ö		æ	x ö		(3.1) .
S = Asinçt -		÷	= Asin 2πν çt -		÷
è	υ ø		è	λυ ø

Простых тонов в природе нет. Они могут быть получены с помощью камертона или звукового генератора.

Сложный тон соответствует ангармоническому колебанию и состоит из нескольких простых тонов. К сложным тонам относятся звуки музыкальных инструментов, гласные звуки речи человека и др.

Шум – звук, в котором сочетается множество различных тонов, частота, форма, интенсивность и продолжительность которых беспорядочно меняются. К шумам относятся звуки машин, аплодисменты, скрип, шорох, согласные звуки речи человека и др.

Звуковой удар – это кратковременное звуковое воздействие: хлопок, взрыв и др. Звуковой удар не следует путать с ударной волной.

Физические характеристики звука.

К физическим (объективным) характеристикам звука следует отнести: частоту (период, длина волны), амплитуду, акус-тиче-

39

R – универсальная газовая постоянная, μ – молярная

- отношение теплоёмкостей при постоянном давлении

ский (гармонический) спектр, скорость распространения, интенсивность, звуковое давление, удельное акустическое сопротивление.

Скорость звука в каждой конкретной среде при данных условиях является постоянной, но в разных средах она различна и определяется свойствами среды: составом, температурой, плотностью, теплоемкостью. В воздухе скорость звука может быть определена из формулы Лапласа для идеального газа

υ =	γRT	(3.2),
	μ

где γ = CP

CV

и объёме, масса газа.

Акустический (гармонический) спектр характеризует сложный тон. Сложный тон можно разложить на простые тоны с помощью теоремы Фурье.

Рис.3.1

Наименьшая частота ν0 такого разложения соответствует основному тону, остальные гармоники называются обертонами и имеют частоты кратные частоте ν0 : 2ν0; 3ν0... Набор частот с указанием их относительной интенсивности и называют акустическим спектром.

Интенсивность звука I - плотность потока энергии звуковой волны, т.е. средняя энергия, переносимая волной за 1 секун-

40