- •Базовые задачи прикладной математики
- •Инструкция по подстановке индивидуальных abcd-номеров.
- •Ссылки.
- •Ответы на стандартные вопросы. Преподавателям.
- •Указания студентам.
- •1Й раздел: Списки литературы. (Всё искать на специализированном книжно- поисковом сайте www.Ebdb.Ru).
- •Задачи принятия решений в условиях конфликта интересов (теории игр)
- •Антагонистическая игра
- •Стохастическая игра. Сжимающее отображение.
- •Олигополия. Дуополия Курно и Штакельберга.
- •Вектор Шепли.
- •Последовательное равновесие для многопериодной дилеммы заключённого.
- •Игры в позиционной форме (дерево игры).
- •Смешанные равновесия. Игра2xn.
- •Популяционные игры. Игра ястреб-голубь.
- •Игра перекрёсток.
- •Равновесия в угрозах.
- •Теория и методы принятия многокритериальных решений. Метод Ларичева запрос
- •Анализ иерархий. Классический случай.
- •10 Составных критериев: Вальда, Сэвиджа, Байеса, Лапласа, справедливого компромисса, оптимизма и др.
- •Исследование Операций Управление запасами.
- •Задачи финансовой математики. РасчётIrr-рентабельности
- •Классические задачи на графах Алгоритм (Крускалла) построения минимального остовного дерева.
- •Задача коммивояжёра. Метод ветвей и границ.
- •Алгоритм Форда-Фалкерсона поиска максимального потока в сети.
- •Динамическое программирование. Динамическое программирование. Кратчайшие пути на ориентированном графе.
- •Алгоритм поиска кратчайших путей на неориентированном графе.
- •Сетевое планирование. Ребро-работа.
- •Сетевое планирование. Представление узел-работа.
- •Графический метод линейного планирования (программирования)
- •Транспортная задача.
- •Система массового обслуживания.
- •Вычислительная математика и теория алгоритмов Преобразование фурье.
- •Быстрое пф.
- •Имитация алгоритма Шеханге-Штрассена
- •Простейшее битовое преобразование Фурье.
- •Сортировка.
- •Алгоритм Карацубы.
- •Алгоритм Штрассена быстрого перемножения матриц.
- •Криптография
- •Алгоритм Евклида.
- •Алгоритм Масси-Омуры
- •Алгоритм Диффи-Хелмана.
- •АлгоритмRsa
- •Лабораторная в Экселе: ВзломRsa: алгоритм квадратичного решета для факторизации составного модуляRsa.
- •Дискретная математика. Расчёт функции Эйлера для составных чисел.
- •Логика. Нормальные формы. Теорема Поста.
- •Кванторы.
- •Релейно-контактныесхемы.
- •Алгоритм поиска кратчайших расстояний на графе (Уоршалла).
- •Моделирование Часть1. Задача об оптимальном применении вмещающего ландшафта.
- •Качественное исследование равновесий нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Алгоритмы. Часть 2.
- •Машина Тьюринга. Теорема Кука.
- •Теория информации
- •Вопросык экзаменам. Вопросы по теории алгоритмов.
- •Математическое и имитационное моделирование.
Вычислительная математика и теория алгоритмов Преобразование фурье.
Вычислить быстрое преобразование Фурье на степенях от многочлена(- они образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом), найти обратное преобразование.
Быстрое пф.
(4 задачи) (БПФ)Вычислить быстрое преобразование Фурье на степенях от
. Проверить обратным преобразованием(проверку сделать для только для Фурье образа четного полинома, см. пример)
(решатьa) этот запасной).
Пример проверки – расчёт обратного преобразование Фурье к преобразованному четному полином
Имитация алгоритма Шеханге-Штрассена
Перемножение полиномов и чисел с помощью преобразования Фурье ()
(1 задача, действ.Фурье2)ипредставить в виде вектора значений на точках. Перемножить значения, восстановить полином 4й степени по значениям, перевести в число с помощью поразрядного сдвига.
Схема решения:
Подставим наши аргументы, чтобы найти четыре уравнения на четыре (не известные нам пока) коэффициента:
(известно, для ускорения процесса второе уравнение вычесть из 4-гои посчитать их сумму найдетсяи связьи, подставив в первую строку найдетеи).
(1,5 задачи, комп. Фурье, Ш.Ш.) Перемножить алгоритмом типа Шеханге-Штрассена и. Использовать корни четвертой степени из 1:. (- они образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом) Пусть
(0,5 задачи, действ.Фурье - начало) иперемножить как полиномы. Восстановить с помощью поразрядного сдвига. Сопоставить результат с прямым перемножением чисел. Пример
Подставляем 10 вместо х, чтобы найти результат перемножения
Проверка прямым перемножением
(т.е. решение верно).
//Пример2: ,
Простейшее битовое преобразование Фурье.
битовое преобразование Фурье. перемножить с помощью дискретного битового преобразования Фурье по модулю простого числа (7) (по желанию Можно взять больший простой модуль, например 11,17 и т.д.). два числа cиd. если их произведение оказывается больше 63. одно из них разделить пополам, взять целую часть. желательно, чтобы при этом не получилось число 5 - чтобы этого избежать поделите другое число (ибо пример с числом 5 разобран нами ниже).
обратная матрицаили , что тоже, потому что.
пример перемножим число 5 и 5 (у нас слишком мало примеров ограниченной сложности, поэтому не будем показывать два разных числа)
, второе число совпадает с первым поэтому результат тот же
=
Восстановим результат перемножения полиномов с помощью поразрядного сдвига
.
Теория. Преобразование Фурье.
, где - примитивный кореньn+1 степени из 1. Обычно корни бывают в комплексной плоскости вида над полем комплексных чисел, - обычно берётся кореньn+1 степени из 1:(для удобства проведения быстрого преобразования Фурье важно, чтобы,), либо корни по модулю натурального числа. здесь тоже бывает важно, чтобы это был корень степени.
пример .
идея основана на
тогда вычисление прямого преобразования Фурье есть вычисление полинома в точках
1, ,,,..,,.
с учетом равенства
вычисление обратного преобразования Фурье основано на вычислении полинома с коэффициентами полученными на предыдущем этапе в точках обратным предыдущим
1, ,,,..,,.
и делении итогового результата на число точек.
Пример
Уточним корни
прямое преобразование ,обратное преобразование
проверим, что данные преобразования и их матрицы при перемножении дают единичную матрицу
.
Задача. Вычислить по схеме Горнера полином , вычислить в точкаx=1, х=-1,x=2,x=i, х=-i
общий подход
Теория Быстрого преобразования Фурье - продолжение предыдущего раздела:
Вычисления преобразования Фурье с помощью схемы Горнера во всех точках займет n2действий, что много и представляет проблему если вектор большой. при частоте 48 килогерц принятой при аудиозаписи в час мы имеемn=50 000c-1*4000c=200 000 000 компонент (читатель привыкший считать независимо от обстоятельств точно, наверное убеждён в НАШЕМ часе 60*60=3600 секунд, что примерно 4000). квадрат этого числа 4 1016
Быстрое преобразование Фурье позволяет вычислить за , что как минимум в миллион раз быстрее. Быстрое преобразование Фурье делается на корнях степении интегрирует идеи быстрого возведения в степень и схемы Горнера быстрого вычисления полиномов в одной точке.
Всё основано на равенстве.
. Мы последовательно разлагаем полином на четный и нечетный. из нечетного полинома выносимx, в результате имеем два полинома от