- •Базовые задачи прикладной математики
- •Инструкция по подстановке индивидуальных abcd-номеров.
- •Ссылки.
- •Ответы на стандартные вопросы. Преподавателям.
- •Указания студентам.
- •1Й раздел: Списки литературы. (Всё искать на специализированном книжно- поисковом сайте www.Ebdb.Ru).
- •Задачи принятия решений в условиях конфликта интересов (теории игр)
- •Антагонистическая игра
- •Стохастическая игра. Сжимающее отображение.
- •Олигополия. Дуополия Курно и Штакельберга.
- •Вектор Шепли.
- •Последовательное равновесие для многопериодной дилеммы заключённого.
- •Игры в позиционной форме (дерево игры).
- •Смешанные равновесия. Игра2xn.
- •Популяционные игры. Игра ястреб-голубь.
- •Игра перекрёсток.
- •Равновесия в угрозах.
- •Теория и методы принятия многокритериальных решений. Метод Ларичева запрос
- •Анализ иерархий. Классический случай.
- •10 Составных критериев: Вальда, Сэвиджа, Байеса, Лапласа, справедливого компромисса, оптимизма и др.
- •Исследование Операций Управление запасами.
- •Задачи финансовой математики. РасчётIrr-рентабельности
- •Классические задачи на графах Алгоритм (Крускалла) построения минимального остовного дерева.
- •Задача коммивояжёра. Метод ветвей и границ.
- •Алгоритм Форда-Фалкерсона поиска максимального потока в сети.
- •Динамическое программирование. Динамическое программирование. Кратчайшие пути на ориентированном графе.
- •Алгоритм поиска кратчайших путей на неориентированном графе.
- •Сетевое планирование. Ребро-работа.
- •Сетевое планирование. Представление узел-работа.
- •Графический метод линейного планирования (программирования)
- •Транспортная задача.
- •Система массового обслуживания.
- •Вычислительная математика и теория алгоритмов Преобразование фурье.
- •Быстрое пф.
- •Имитация алгоритма Шеханге-Штрассена
- •Простейшее битовое преобразование Фурье.
- •Сортировка.
- •Алгоритм Карацубы.
- •Алгоритм Штрассена быстрого перемножения матриц.
- •Криптография
- •Алгоритм Евклида.
- •Алгоритм Масси-Омуры
- •Алгоритм Диффи-Хелмана.
- •АлгоритмRsa
- •Лабораторная в Экселе: ВзломRsa: алгоритм квадратичного решета для факторизации составного модуляRsa.
- •Дискретная математика. Расчёт функции Эйлера для составных чисел.
- •Логика. Нормальные формы. Теорема Поста.
- •Кванторы.
- •Релейно-контактныесхемы.
- •Алгоритм поиска кратчайших расстояний на графе (Уоршалла).
- •Моделирование Часть1. Задача об оптимальном применении вмещающего ландшафта.
- •Качественное исследование равновесий нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Алгоритмы. Часть 2.
- •Машина Тьюринга. Теорема Кука.
- •Теория информации
- •Вопросык экзаменам. Вопросы по теории алгоритмов.
- •Математическое и имитационное моделирование.
Качественное исследование равновесий нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
Первое уравнение – 4 ветви гиперболы вида или
Исследовать уравнение
C четное
C НЕчетное
Выбирается
в зависимости от чётности с одна из
двух систем в рамке
Вариант 2:
а) и б)
Ответ даётся на очень БОЛЬШОМ графике выполненном на листе А4 (можно А5). Данный график в итоге должен содержать всю существенную информацию, относящуюся к решению.
В процессе написания ответа необходимо найти и построить главные изоклины (т.к. в нашем случае эллипс строится как по крайним точкам и точкам равновесия, целесообразно сначала осуществить аналитическую часть пункта в) )
Аналитически и графически найти и отметить равновесия.
*замечание: вертикальные и горизонтальные изоклины нужно отметить соответствующей вертикальной и горизонтальной штриховкой (ещё более правильно вертикальными и горизонтальными стрелочками отмечать направление прохода траектории через главную изоклину).
Выписать аналитическое дифференциальное уравнение линеаризованной системы (для начала общее для всех точек равновесия).
По очереди подставить координаты всех равновесий в общее аналитическое уравнение п. d.
Выписать уравнения линеаризованной в окрестности каждого равновесия системы на графике.
и собственные значения, классифицировать и изобразить фазовые портреты в окрестности равновесия, отметить устойчивые и неустойчивые.
Также в рамках предыдущего пункта придётся найти собственные вектора (если иное не оговорено преподавателем).
Указания по ходу решения.
Изобразить разным цветом и стилем главные изоклины
Приравнять все правые части 0
Построить изоклины
Решить систему уравнений приравняв правые части к нулю – найти точки равновесия (а геометрически – это точки пересечения изоклин). Можно доказать, что в варианте 1 во всех равновесиях модуль yравен 1.
Найти коэффициенты линеаризованной системы – для этого (в аналитической форма) вычислить матрицу частных производных от вектор-функции правых частей О.Д.У.
Примечание: получившаяся матрица – это матрица функций.
Т.к. в точках равновесия за отсутствием постоянного слагаемого система приблизительно определяется линейной частью, вычислить записать линеаризованную систему исследовать её на тип равновесия и устойчивость в каждой из найденных точек равновесия.
С этой целью решив в каждой точке характеристические уравнения для матрицы системы найти собственные вектора и с. Значения. Собственные значения помогут классифицировать фазовый потрет.
(Цит. По А.Б.Рубин Биофизика Т1 с.152)(а собственные вектора, в случае их нахождения, помогут уточнить основные направляющие на нём).
Исследовать на устойчивость
ДО
ОДУ
Исследовать на устойчивость при разных значениях параметра .
Решить уравнение , положивуказать решение для данных начальных условий. Указание разделение переменных + разложение дробей должны дать дробнолинейные функции. при интегрировании это даст (в будущем экспоненты) логарифмы
Для системы Чернавского найти все равновесия исследовать на устойчивость и определить тип ) . Построить портрет (использовать изоклины – см. 1е задание).
В модели обучения Капустина . 1)Численно найти границу областей притяжения и 2) бифуркацию слияния нижнего среднего равновесия в более общей модели
В системе типа Фитсхью-Нагумы
Положив найти порог рождения циклов
Рассмотреть амплитудные характеристик систем
, гдеa,d– параметры личных данных.- произвольный параметр, зависимость от которого исследуется.
Как зависит частота колебаний от периода в последнем случае.