Стохастическая игра. Сжимающее отображение.

4. (Г(Г))(Цена 1/2 +1/2 за две части)(Презентация Теория Игр)

а) Методом сжимающих отображений решить стохастическую игру - стартовав с. выполнить 4(3) итерации

б) Найти устойчивые точки отображения выполнить десть итераций ; Рекомендуется начать с части б).

б)Решение и теория. Обе эти задачи на метод сжимающих отображений. Пусть ,. Стартуем с точки 10(это – к счастью - не соответствует никаким параметрам).

Отображение Последовательно вычисляем

,

(10 итераций)

Ответ неподвижная точка сжимающего отображения(указать точность, исходя из числа повторяющихся - стабилизировавшихся разрядов).

а) Приведём конкретный пример. Рассчитать цену игры

Решение части а) основывается на формуле для игры не имеющей решений в чистых стратегиях

Необходимо подставить исходное приближение вместов матрицу игры, рассчитать по формулецену игры,, повторить вычисление …,(4 раза). Если результаты ДОСТАТОЧНО высокой степени повторяются, то можно обрывать вычисления, записывая в ответ экстраполяцию ряда цен игры.

, начав со стартового приближения(у Вас, почти у всех не 0)

,

,

,

,

чрезвычайно мало отличается от, что означает, что мы с высокой точностью решили уравнение

Ответ: цена игры . Погрешность определяется темпом сходимости и модулем последней разности.

(1/1,5 задачи за обе игры)

а)решить игру

(заполнена диагональ, всюду вне её нули) и

б) решить игру существенно воспользовавшись её разложимостью на две игры 2х2:

(Презентация Теория Игр, книга Данилов. Лекции по теории игр.)

Краткие указания:

Второй случай сводится к решению 2х игр 2х2 (одна из которых точно имеет смешенное равновесие – во всех таких случаях применить теорему об активных стратегиях).

В случае(а) необходимо предположить распределение вероятностей вида и применить теорему о равенстве выигрышей на активных стратегиях. Разумеется, для её применения необходимо предварительно обосновать активность каждой стратегии, если она имеет место.

Олигополия. Дуополия Курно и Штакельберга.

5. (Курно)(2 условные задачи) рассчитать параметры олигополии

а) Курно , при издержках- первой фирмы и2-й фирмы.

б) рассчитать параметры олигополии Штакельберга (2я ведомая). Рассмотреть ситуации, когда первая фирма становится ведомой.

Взяв любую разумную процентную ставку из интернет-поисковика (ещё лучше на память) оценить капитализацию обеих фирм.

Теория. Для решения воспользоваться системой уравнений наилучших ответов игроков

,

смысл которых в том, что при линейной функции затрат монополист берет половину конкурентного рынка , а олигополист, как бы является монополистом на СОБСТВЕННОМ конкурентном рынке, оставленном ему другими игроками.

Иметь ввиду, что объёмы конкурентного рынка у всех игроков-олигополистов разные. Они определяются их индивидуальными издержками.

Для расчёта решить уравнение, где- функция спроса,- уровень (удельных) издержек производства второй фирмы исчисляемых с единицы продукции. Аналогично конкурентное равновесие рассчитывается для первой фирмы.

решив

получим выпуски и(если один из них отрицателен, значит фирма не участвует в рынке, вторая фирма - монополист).

Рассчитываем суммарное предложение двух фирм.

, и, с его помощью, рассчитываем:.

Зная цену можно рассчитать прибыль (вычитая издержкии) с единицы продукции и прибыль каждой фирмы. (Отрцательность прибыли говорить о том, что фирма не выходит на рынок – а оставшаяся фирма - монополист)

(Презентация Дуополия Курно) (Книга Данилов)

6. Ответить на те же вопросы для дуополии Курно с издержками игроков, соответственно, и. Вычислить установившиеся цены, их доли на рынке и их прибыль при функции спроса. При каком пороге издержек производство второй фирмы станет нерентабельным.

(Презентация Дуополия Курно) (Книга Данилов)